关于一类p-拉普拉斯Neumann问题的非平凡解

高婷梅

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院， 陕西 汉中 723000)

考虑以下p-拉普拉斯Neumann问题

(1)

(f1)f(x,0)=0且∀t≠0,f(x,t)t>0;

(f2) ∀r>0,∃ar∈L∞(Ω)+={u∈L∞(Ω):u(x)≥0,∀x∈Ω},s.t.∀|t|≤r,|f(x,t)|≤ar(x),a.e.x∈Ω;

(f5) ∃δ>0,q∈(1,p)及C>0,s.t.∀|t|≤δ,F(x,t)≥C|t|q,a.e.x∈Ω。

方程(1)频繁出现在耗散量子力学等物理现象的研究中，因而受到人们的广泛关注，如文献[1-8]。变分法,特别是山路引理[9]是解决这类问题的常用方法。但使用山路引理时，为了保证方程所对应的泛函结构和临界序列有界,常假设著名的(AR)条件成立，(AR)条件对应用山路引理非常方便，但是很多函数并不满足此条件。长期以来，人们一直试图削弱(AR)条件，并且取得了不少有用的结果。例如，文献[1]将(AR)条件削弱为

易知，条件(f4)是条件(G)的一个直接结论。文献[1-3]利用局部环绕定理[10]研究了当p=2时方程(1)的解，但是文章都假设函数f(x,t)在无穷远处是超线性的，即f(x,t)满足

很明显,条件(f3)和(F)是不相容的。文献[6—8]也对方程(1)进行了研究，但是未涉及一般项b(x)u。本文将在条件(f1)—(f5)下，证明方程(1)至少存在一个非平凡解。

1 预备知识

令

∂BLp={u∈Lp(Ω):‖u‖p=1},S=W1,p(Ω)∩∂BLp,

定义1[12]设X是Banach空间,φ∈C1(X),c∈R,如果使得

φ(un)→c,(1+‖un‖)φ′(un)→0 (n→+∞)

的任一序列{un}(un∈X)都有一个收敛子列,则称φ在c处满足Cc条件，简称C条件。

定义2[13]设Y是一个Hasdorff拓扑空间,C0、C、D是Y的非空闭子集,且C0⊆C。若

C0∩D=∅,且γ(C)∩D≠∅,∀γ∈Γ={γ∈C(C,Y):γ|C0=id|C0},

则称{C0,C}和D在Y中是连结的。

以下定理称为极小极大原理，它在本文主要结果的证明中起着至关重要的作用。

2 一些重要的引理

在W1,p(Ω)空间中定义如下泛函

则φ∈C1(W1,p(Ω),R)且它将有界集映射为有界集。

引理1 设条件(f1)和(f4)成立，则φ满足C条件。

证明令un⊆W1,p(Ω)使得

φ(un)≤M,且(1+‖un‖)φ′(un)→0 (n→+∞),

(2)

其中M>0是常数。下证{un}有界。

wn→w在W1,p(Ω);wn→w在Lp(Ω);wn(x)→w(x),a.e.x∈Ω。

(3)

(4)

由sobolev紧嵌入及标准化过程可知，存在u∈W1,p(Ω)及{un}的子序列(仍记为{un})满足un→u(n→+∞),即φ(u)满足C条件。

引理2 设条件(f1)和(f4)成立,则当|t|→+∞(t∈R)时，φ(t)→-∞。

(5)

由(5)式、Poincare不等式及t∈R,b(x)∈L∞(Ω),则有某常数C2>0，使得

(6)

由(6)式、b(x)>0及D的定义可得

(7)

由引理2和引理3可找到某个τ0>0,使得

(8)

考虑以下集合

引理4 设条件(f1)—(f4)成立,则{C0,C}和D在W1,p(Ω)中是连结的。

证明由于条件(f1)—(f4)成立，利用引理2和引理3可得(8)式，由(8)式及C0的定义可知，C0∩D=∅。下证∀γ∈Γ,γ([-1,1])∩D≠∅。

若0∈γ([-1,1]),则由D的定义,0∈γ([-1,1])∩D,即γ([-1,1])∩D≠∅。

3 主要结果及证明

证明由引理1、4及(8)式,利用定理1,可找到φ的一个临界点u*∈W1,p(Ω)，满足

(9)

(10)

由条件(f3)、(f5)知，∃C4>0,s.t. ∀t∈R，有

(11)

(12)

由(12)式及q

(13)

由条件(f1)及Poincare不等式,∀t∈[s0,τ0],∃C5>0,满足

因此，

(14)

类似地,

(15)

φ|γ1<0。

(16)

φ|γ2<0。

(17)

φ|γ3<0。

(18)