一类含Lipschitz非线性的广义离散系统的预见控制

杨冬梅， 祝春霞

(东北大学 理学院，辽宁 沈阳 110819)

所谓预见控制，就是把已知的参考信号和(或)其他可预见信号的未来值提前加以利用，以改善系统的控制效果.预见控制的相关研究始于1966年，在控制系统中，如果已知目标信号或者干扰信号的未来信息，对控制系统施加一定的操作使其满足一定要求，可以提高控制系统的性能[1].多年来，研究者从各个角度拓展了预见控制理论.文献[2]针对一类线性广义离散系统，运用广义离散系统最优控制相关的理论，结合二次型成本泛函，设计出广义增广误差系统的最优预见控制器.文献[3]利用离散提升技术，将原系统转化为形式上不含状态时滞的系统，得到了对系统具有预见前馈补偿的最优预见控制器.文献[4]考虑了一类不确定广义离散系统，构造出扩大误差系统，给出了预见控制器的存在条件及设计方法等等.

相比于正常系统，广义系统有着更加广泛的形式，且广义系统模型存在于社会生产的诸多领域中.广义系统与正常系统有许多不同之处，比如：对于齐次初值问题，正常系统满足解的存在唯一性，但广义系统的解可能不相容[5-6].

本文在文献[7]的基础上，将正常离散系统预见控制相关理论推广到广义离散系统.在系统结构参数的扰动下，正常离散系统可以有系统的结构稳定性，但是广义离散系统很难具有结构稳定性，因此，广义系统的研究要比正常系统更加困难，所以本文的研究是一项很有意义的工作.与文献[4]相比，本文考虑了一类不同的系统，且没有采用文献[4]中所提及的离散提升技术.并且针对一类含有非线性项的广义离散系统，其中，非线性部分满足Lipschitz条件，基于预见控制的基本思想，研究此系统输出跟踪问题，并设计相应的状态反馈控制器.

1 问题描述

考虑广义离散系统

(1)

其中，x(k)为n维状态变量，u(k)为m维输入向量，d(k)为q维干扰向量，y(k)为p维输出向量，f(x(k))是一个非线性函数向量，E,A,B,C,D为常数矩阵.其中，矩阵E奇异.

假设1[5]设系统(1)正则，即存在常数s0使得

det(s0E-A)≠0.

假设2非线性项f(x(k))满足Lipschitz条件：∃γ>0,使得对于∀x1,x2∈n，有

‖f(x1)-f(x2)‖≤γ‖x1-x2‖.

(2)

r(k+i)=r(k+lr),i=lr+1,lr+2,….

d(k+i)=d(k+ld),i=ld+1,ld+2,….

引理2[11]若L,G为适当维数的实矩阵，G>0，则：

-LTG-1L≤-L-LT+G.

定义误差信号:e(k)=y(k)-r(k).目标是设计一个有预见作用的控制器，在有外部干扰影响的条件下，实现系统(1)的输出y(k)仍然能够稳态、无差地跟踪参考信号r(k)，即

2 扩大误差系统的构造

选取一阶前向差分算子:Δx(k)=x(k+1)-x(k).对系统(1)中状态方程的两端取差分，

EΔx(k+1)=AΔx(k)+BΔu(k)+DΔd(k)+Δfk,

(3)

其中，Δfk=Δf(x(k))=f(x(k+1))-f(x(k)).

易知Δe(k)=Δy(k)-Δr(k)，由系统(1)输出方程，Δe(k)=CΔx(k)-Δr(k).

由Δe(k)=e(k+1)-e(k)，

e(k+1)=e(k)+CΔx(k)-Δr(k).

(4)

结合式(3)和式(4)，

(5)

为了进一步引入参考及干扰信号，分别定义新的向量:

xR(k)=[Δr(k)Δr(k+1) …Δr(k+lr)]T,

xD(k)=[Δd(k)Δd(k+1) …Δd(k+ld)]T.

由假设3和假设4，

xR(k+1)=ARxR(k),xD(k+1)=ADxD(k),

(6)

xR(k)∈p(lr+1)和xD(k)∈q(ld+1)分别包含参考和干扰信号的信息.

由式(5)和式(6)可得增广系统：

(7)

(8)

3 状态反馈预见控制器的设计

(9)

下面分析系统(9)稳定的条件，并求解增益矩阵Kx.

注文中出现的对称矩阵，其下三角部分均为“*”代替.

定理1设假设1～假设4成立，如果存在正定矩阵P、可逆矩阵G1、矩阵R以及常数γ>0，令Z=P-1,使得如下线性矩阵不等式(LMI)成立：

(10)

其中，

至此，若Ω≤0成立，则ΔV≤0，进而由Lyapunov稳定性理论，可得闭环系统(9)是渐近稳定的.下面证明，条件(10)的成立保证了Ω≤0.由引理2，

由Block-diag(-Z,-I)<0.结合引理1，

令Z-1=P，此不等式左端即为Ω，即Ω≤0.因此，系统(9)是渐近稳定的.证毕.

4 数值仿真

例考虑系统(1)，有关系数矩阵为

非线性函数向量、干扰信号及参考信号依次取值如下：

本例取Lipschitz常数γ=0.01经验证f(x)满足假设(2).其次，上式中r(k)、d(k)满足假设3和假设4.通过Matlab对定理1中的LMI条件进行求解，得到一个预见控制器，作用于原广义系统方程，即可得闭环系统的输出.分别考虑不同预见作用的跟踪效果，取lr=0,ld=0(无预见)、lr=1,ld=1、lr=7,ld=3三种情形.图1为系统的输出响应，图2是控制输入，图3是跟踪误差.

图1 输出响应

图1可得，采用预见控制器的情况下(lr=1,ld=1;lr=7,ld=3)，闭环系统的瞬态响应得到了一定程度的提升，其跟踪参考信号r(k)的结果是更加令人满意的.图3显示预见作用下的跟踪误差波动更小，表明其闭环系统有更好的跟踪效果.且跟踪误差e(k)在有界范围内趋于0值.如图2所示，控制量在有界的范围内，这也是合理的.

图2 控制输入

图3 跟踪误差

5 结 论

本文针对一类含Lipschitz 的广义离散时间系统，采用增广误差法，进行预见控制器的设计.首先，通过前向差分法，构造出一个广义增广误差系统，随之跟踪问题转为镇定问题.然后，基于Lyapunov方法，得到了增广误差系统的状态反馈控制器的求解办法.最后，通过一个算例验证了该方法的可行性.