基于DSMM法的工型截面梁结构的局部屈曲分析

张岩峰

(中铁十九局集团第三工程有限公司，辽宁 沈阳，110136)

对于主要受弯矩应力的结构单元，通常通过耗尽材料抗力而达到临界失效，实现材料的最佳利用。然而，实际上还应考虑由于构成截面梁的局部单元出现屈曲现象而导致的失效，这就是所谓的屈曲现象[1-3]。为降低最大应力和位移，将弯曲单元横截面模量值最大化。无论是开口、闭合或其他薄壁截面都会以工型截面为标准[4-5]。

大多数结构单元可被认为是由一组平板组成。当平板受到压缩、弯曲、剪切或多种应力的影响时，就可能产生局部屈曲失效现象，可能会引起其他类型的故障。

XU等[6]提出了受4边支承的矩形板局部屈曲解决方案。结果表明：对于特征值问题无法解析的情况，采用能量法能够得到较好地解决。之后，KIM等[7]进一步拓展了该研究，考虑了平板的不同边界条件，以获得更精确的临界凹痕应力。上述研究根据广义胡克定律施加应力和应变，发现两者之间存在完美的比例关系。然而，对于金属结构材料，通常这些条件的有效性可能不足。与研究受轴向压缩的孤立棱柱零件屈曲的情况相反，目前理论研究还不能解决该类条件下矩形板体屈曲的一般行为。且不能够为用户提供实际应用的设计参考。

在柱体受轴向载荷时，屈曲载荷及其后部抗力之间的差值很小，可以认为后屈曲抗力比它的前临界荷载高得多。与此不同的是，板块呈现的是孤立柱模式。随着变形幅度增加，会出现膜效应，膜效应产生的位移会导致结构力学行为发生改变。这种效应随着膜稳定力的出现而产生应力的重分布，使板在新的变形构型中重新获得稳定性。 如果载荷继续增加，处于新状态的板会在拉伸状态最大的区域塑化，直到达到其极限抗力[8-9]。屈曲系数的变化取决于型材类型和采用的加强筋数量[10]。姚行友等[11]研究发现屈曲系数对平板边缘的嵌入程度取决于平板和材质的厚度。

利用计算机进行全局屈曲理论评估，采用直接刚度法 (DSMM) 的矩阵公式，利用线性假设估计几何非线性情况下的结构失稳临界荷载[12-13]。但是，并不能对潜在的局部失稳进行任何形式的验证。形成双 T 型轮廓的单元很大程度取决于平板型材的厚度和材质，一般对该类结构进行分析时往往需要用板式代替棒状结构类型,见图1。在对结构系统进行矩阵分析后，根据求解结果对截面中钢筋的位移和力度进行检核，并由材料强度理论将这些结果传递为平板问题的边界条件，以便能够估计导致该临界载荷因子条件下出现的凹痕现象[14-15]。

图1 IPE系列层压型材Fig.1 Laminated profile series IPE

1 理论分析

结合一维条带结构离散单元和直接矩阵方法 (DSMM)，利用基尔霍夫薄板理论，计算和验证孤立结构单元的局部不稳定性[1]。该理论忽略了基于平板纲材最小厚度横向变形的影响。基于这个假设，板的任何材料点的位移u可以表示如下：

(1)

其中，u、v、w为3个自由度的位移；θx、θy为转角，见图2。基于平板单元的假定，平面应变(Exx、Eyy、Exy)表达式如下：

(2)

其中，Ep是平面中应变，Kb表示由于弯曲引起的曲率变化。

图2 归一化板单元(4 个节点，5 个自由度/节点)Fig.2 Normalizing plate element (Four nodes, five degrees of freedom per node)

切线刚度矩阵(MRD)的表达式如下：

(3)

其中，

其中，

(4)

考虑几何非线性后的Gα系数如下：

板内的扭矩 (Tp) 和弯矩 (Mb)如下表达式：

(5)

(6)

其中，T为板的厚度。

2 数值建模

对在任意空间结构中最稳定的单元工型型材进行局部弯曲分析，假设材料具有线弹性行为。该结构采用细长杆单元建模，并采用DSMM 求解。因此，获得结构的自由度、位移和节点处的未知转数的标值荷载。对模型进行非线性分析，用于计算临界全局屈曲载荷系数的钢筋和相应的相关临界载荷，被确定为杆型单元可能的屈曲模式有：弯曲屈曲、扭转、横向或扭转屈曲等。

以下通过3个例子阐释,所有计算采用参数如下：长度(L=4 m)，工型截面(h=300 mm,b=150 mm,e1=10.7 mm,e=7.1 mm)，对应于 IPE300型材(见图 1)，由钢制成E=2.110 11 Pa，υ= 0.3，y=275 MPa。

2.1 平板凹痕

研究的第1个例子是一个自由嵌入柱，在其自由端受到M0= 105 N·m的集中力矩影响。采用线性模型分析，获得三维条形单元(采用16个单元)，分析得到最大侧向位移δMAX=0.045 6。柱的数量主要考虑了平面和扭转的弯曲，而不是均匀情况。经过变形构型的平衡分析，得到载荷因子临界值λcr,1=0.63，这意味着结构将发生整体屈曲并产生翻转。从线性角度分析整个结构的自由度，柱子采用板式单元(4×4，每个型材截面划分成16个板单元，2个平板型材共有48个板块单元)，如此从三维杆模型转换到板单元模型进行位移和扭转分析，以确定板型中的应力。对板块模型进行非线性分析，估算其所在的应力区间，分析荷载局部不稳定性可能会发生的情形，并检测荷载系数λcr,2=11.45，该情况下的平板边缘被压缩后出现了凹痕，见图3。

图3 平板对应λcr,2=11.45时的凹痕Fig.3 Dent in flat plate corresponding to λcr,2=11.45

为了验证前述板单元模型方法的有效性，采用商业有限元软件Simulation Mechanical 2015 Autodesk(缩写为 ASM)进行分析，采用映射网格划分技术将此柱子进行网格划分得到60个实体单元，单个网格尺寸为0.066 m，具体网格见图4。经网格无关分析后发现该基于网格划分的结果已收敛。模型材料参数与示例1中相同，通过屈曲分析得其翼降压不稳定临界 ASM荷载系数λcr,2=11.45，与前述采用板单元模型方法得到的结果一致。

图4 对应示例1中的模型网格Fig.4 Model meshing of example 1

图5 型材对应λcr,2= 11.45时的凹痕Fig.5 Profile dent

2.2 通过切割使型材产生凹痕

对于一个自由凹进的柱子，其自由端承受横向载荷P0= 105 N(图5)。先打开线性分析开关并进行整体稳定性分析,获得横向位移最大值δMAX=0.122 m(采用 16 个单元)，得到荷载因子临界值的临界值λcr,1=0.63。这与弯曲和/或扭转变形屈曲的载荷水平相对应。柱子用板式单元(16×4，纵向16个单元板，横向4个单元板，总共 19个板单元)，通过板单元模型的线性分析以确定应力。经过稳定性分析估算，得出局部不稳定性的荷载系数λcr,2=3.41，该情况下腹板中的凹痕见图 3。再次采用ASM程序进行验证(共采用了1 218个单元)并获得了ASM 荷载因子的临界值λcr,2=3.42。因此，上述对于因型材凹陷导致的不稳定现象问题已得到解决。

2.3 空间龙门架

作为应用示例，求解龙门型空间钢结构(图 6)。假定施加如图所示的集中载荷P，所有的柱具有相同的长度L，柱子的底部处于理想状态下的凹进状态，所有节点都为刚性的。

进行结构受力线性分析，钢结构模型采用16 个单元/条，通过 DSMM和度数结构、位移和未知转弯的自由度结。当P0=105 N，λ=1时，结构的最大侧向位移δMAX=0.021 9 m。钢结构模型的临界屈曲载荷系数计算得λcr,1=2.08并确定相应的临界载荷。然后从杆模型转换到板单元模型来进行分析。因此，将第1次分析中获得的条形模型结果作为模型位移的边界条件，采用板单元模型进行线性分析以获得板应力并进行不稳定性分析。

图6 三维龙门架Fig.6 Three-dimensional gantry

图7 三维龙门架和型材凹痕Fig.7 Three-dimensional gantry and profile dents

柱的每个壁划分16×4单元板的网格(2个平板和型材)，因此，采用了16个纵向板单元、4个横向和纵向板单元。分析屈曲时的载荷系数λcr,2=10.78。同样，对于这个应用示例，希望将结果与采用实体单元的ASM软件获得的结果进行对比。整个结构已用单元网格化板块(共采用9 476个单元)和程序估算受力最大的支柱网中的凹痕(图 7)。可见，发生在ASM的荷载因子值λcr,2=10.83, 该值与此文提出的方法所估算的结果非常接近。提出的板单元模型对于分析三维柱体结构失稳问题是有效的，验证了该工作能够满足具有更多柱子的腹板凹陷的问题。

3 结论

1)结合一维条带结构离散单元和简单的矩阵方法(DSMM)，解决了板单元模型分析梁局部截面屈曲问题，该方法允许对空间梁体的轮廓施加压力，能将计算量降低到最低，还能分析其呈现的复杂不稳定现象。

2)通过利用基尔霍夫薄板理论，计算和验证孤立结构单元的局部不稳定性，探究了薄板单元对于屈曲现象的影响。该方法实现的关键点在于确保切向刚度矩阵特征值不能奇异，即结构的形态不能处在分叉阶段或者负刚度阶段。