基于LMI优化法的多VSC接入弱网下的锁相环同步暂态稳定性分析

何 平，张德政，李 慧，宣文博，罗 涛，闫大威

（1.国网天津市电力公司，天津 300010；2.国网天津市电力公司经济技术研究院，天津 300171）

2021年3月15 日召开的中央财经委员会第九次会议，首次明确提出要构建以新能源为主体的新型电力系统这一目标。电力系统中的新能源比例必将越来越高，新能源运行控制特性对电力系统稳定性的影响也将越来越大[1]。基于锁相环PLL（phase-locked loop）同步的电压源换流器VSC（volt⁃age source converter）具有响应速度快、谐波水平低、控制灵活、成本低等优点，已广泛应用于新能源并网领域[2]。但由于我国新能源和负荷分布不均衡，对集中式新能源不可避免地要进行远距离输送，导致系统的连接程度变弱，使并网点电压易受扰动，进而恶化PLL的动态特性并引起系统同步暂态失稳，因而分析VSC接入弱网系统的同步暂态稳定性具有十分重要的意义[3]。

目前，PLL同步暂态稳定性分析的相关工作主要关注于两类问题：一是遭受大扰动后系统是否存在平衡点；二是系统能否由扰动前的运行状态稳定过渡到扰动后的可行平衡点。对于第一个问题，文献[4]表明VSC无功电流注入过大是导致扰动后系统没有平衡点的主要原因，并给出了无功电流的电流极限；为进一步揭示扰动后系统失去平衡点的机理，文献[5]将PLL的输入分解为电网同步项和自同步项，并提出自同步项大于电网同步项会导致系统失去平衡点。实际上，扰动后系统存在满足小扰动稳定的平衡点是系统稳定运行的前提，然而考虑到PLL的非线性动态，即使扰动后系统存在小扰动稳定平衡点，系统仍有可能暂态失稳。因而研究扰动后系统暂态稳定性非常必要。

针对第二个问题，目前较为成熟的分析方法是基于李雅普诺夫直接法构建VSC并网系统的最大估计吸引域LEDA（largest estimated domain of at⁃traction），然后通过判断扰动前工作点与扰动后平衡点LEDA的位置关系进而判断系统的暂态稳定性，即将由扰动前的平衡点过渡到扰动后平衡点这一暂态过程的稳定性判断转化为比较Lyapunov能量函数值与临界值的大小关系。文献[6]将PLL动态方程变换为摇摆方程的形式，在此基础上基于等面积定则从机理上揭示了系统暂态失稳的机理，并基于势能界面法PEBS（potential energy boundary surface）构建系统的LEDA，分析系统控制参数和主电路参数对LEDA的影响。但文献[6]未考虑PLL的PI控制器的比例环节引入的不定阻尼项，导致无法利用该LEDA定量分析系统性能。为解决这一问题，文献[7]运用LaSalle不变集定理将文献[6]构建的LEDA限定于正阻尼区域，如此虽保证了所构建LEDA的有效性，但也大大增强了所构建LEDA的保守性。为进一步降低所构建LEDA的保守性，使基于LEDA的分析结果更接近系统实际的稳定结果，文献[8]运用平方和SOS（sum-of-square）规划法构建VSC并网系统的LEDA，该方法本质是基于最优化理论构建系统的多项式Lyapunov函数和LE⁃DA，因此相比文献[6-7]所提的方法，其求得的LE⁃DA保守性将更低。

文献[4-8]只对单VSC接入弱网系统的暂态稳定性进行了研究与分析。针对更加复杂的弱连接条件下的多VSC并网WG-MVSC（weak-grid con⁃nected multi-VSC）系统相关的稳定性研究，目前主要集中在小扰动稳定分析，文献[9]提出了耦合同步项的概念来描述多VSC之间的相互影响，并在工作点处将WG-MVSC系统进行线性化处理，然后基于阻抗分析法分析WG-MVSC系统的小扰动稳定性。但文献[10]表明，当WG-MVSC系统遭受大的扰动，如故障点电压大幅迭落时，PLL的非线性特性是导致系统PLL同步暂态失稳的主要原因，即WGMVSC系统遭受大扰动时，小信号稳定分析的结果可能并不适用[11]。因而分析WG-MVSC系统暂态稳定性显得尤为重要，且目前几乎没有涉及针对该问题进行研究的文献。

综上所述，本文基于文献[12]提出的线性矩阵不等式LMI（linear matrix inequality）优化法构建了WG-MVSC系统的LEDA，在此基础上分析故障前、后系统存在小扰动稳定平衡点但系统仍暂态失稳的原因。主要工作包括3个方面：

（1）建立WG-MVSC系统的等效降阶数学模型，并通过电磁暂态仿真软件PSCAD/EMTDC对该等效降阶模型与详细开关模型进行对比分析，验证了降阶模型的有效性；

（2）运用LMI优化法构建WG-MVSC系统的LEDA，并基于该LEDA分析系统暂态失稳的原因；

（3）最后，基于PSCAD/EMTDC仿真软件验证了本文所构建LEDA的有效性和可行性。

1 WG-MVSC系统的结构与数学模型

1.1 WG-MVSC系统结构

本文研究的WG-MVSC系统结构如图1所示，其中，udc1、udc2分别为VSC1和VSC2左侧直流母线的电压；2台变流器经过LC滤波器接入右侧的无穷大电网，Lf1、Lf2和Cf1、Cf2分别为VSC1、VSC2的滤波电感和电容；V̇PCC、V̇F和V̇s分别为并网点、故障点和无穷大电网电压；ZF、Zs分别为并网点至故障点和故障点至无穷大电源之间的等效阻抗，且并网点至故障点F处的等效阻抗ZF可以计及严重故障下的弱连接特性对系统同步暂态稳定性的影响。

图1 WG-MVSC系统的结构Fig.1 Structure of WG-MVSC system

虽然VSC1与VSC2由同一并网点接入无穷大系统，但当PLL1和PLL2的控制参数不同时，暂态过程中其输出相角不同，因而其输入也不相同，分别记作VPCC_q1和VPCC_q2，如图1虚线框所示。PLL1和PLL2经过各自的比例积分PI控制器后，分别输出角频率ωpll1、ωpll2，以及相角θ1、θ2和相对相角θpll1、θpll2，需要指出的是θpll1、θpll2均以无穷大电网电压频率对应的角频率ωs为参考轴；ω0为额定角频率。Id_ref1、Id_ref2和Iq_ref1、Iq_ref2分别为VSC1、VSC2电流环的d和q轴电流参考值；İ1、İ2分别为VSC1和VSC2注入电网电流；Id1、Id2和Iq1、Iq2分别为İ1、İ2的d轴和q轴分量。

1.2 仅计及PLL动态的WG-MVSC的数学模型

为了对大量现有VSC接入弱网系统的PLL同步暂态稳定性进行研究[4-8]，在建模过程中可作如下简化：

（1）忽略LC滤波器和交流网络的电磁暂态；

（2）考虑内环电流控制动态响应远快于PLL动态响应，故忽略电流内环动态，认为注入电流能近似实时跟踪电流参考值。

在上述简化条件下，VSC1和VSC2的外特性表现为电流源，因而可将图1所示的拓扑结构等效为如图2（a）所示的电路等值模型。其中，θPCC为并网点电压的相角，选故障处F点的电压为相角基准。本文建模采用的坐标系包含3个参考坐标系：①电网公共基准坐标系即DQ同步旋转坐标系；②PLL1的参考坐标系即d1q1旋转坐标系；③PLL2的参考坐标系即d2q2旋转坐标系。图2（b）分别呈现了稳态和暂态时3个参考坐标系间的关系。

图2 WG-MVSC系统等效模型及向量图Fig.2 Equivalent model of WG-MVSC system and vector diagram

在DQ坐标系下，根据图2（a）所示的VSC接入弱网系统电路等值模型，可将并网点电压表示为

式中：VPCC_D、VPCC_Q分别为并网点电压的D轴和Q轴分量；ID1、IQ1、ID2和IQ2分别为并网点电压V̇PCC和VSC1、VSC2注入电流的D轴分量和Q轴分量；RF、XF分别为并网点至故障点之间的等效电阻和电抗。

由PLL的原理可知，通过坐标旋转将式（1）分别变换到d1q1和d2q2坐标系下，可得VPCC_q1和VPCC_q2，即式中：a1=RFIq1-XFId1；b1=RFId1+XFIq1；a2=RFIq2-XFId2；b2=RFId2+XFIq2。本文重点考虑VSC1和VSC2的dq轴电流参考值皆大于零的情况，故有b1>0，b2>0成立。

基于图1中PLL的控制框图可得PLL的动态模型，即

式中，kp1、ki1和kp2、ki2分别为PLL1和PLL2的PI控制器的比例、积分系数。

对于无穷大系统而言，频率恒定，故ωs=ω0。结合式（2）～（4），并基于文献[5]可得仅计及PLL动态的WG-MVSC系统的模型示意如图3所示。

图3 WG-MVSC系统的模型示意Fig.3 Schematic of model of WG-MVSC system

由图3可知，每一个PLL的输入项均由3部分组成：①随PLL输出正弦变化的负反馈量，即电网同步项；②由参考电流决定且不发生改变的正反馈量，即自同步项；③由2个PLL的相角差引起的输入量，即耦合项。

当PLL1与PLL2控制参数相同时，二者输出相角相同，二者之间无相互影响；当二者控制参数不一致时，它们通过两者间的相角差相互影响，此时系统的稳定性较为复杂，而这也是本文要重点研究的。

结合式（2）～（4）和图3，可得WG-MVSC系统的数学模型，即

式中，x1、x2和x3、x4是状态变量，分别表示θpll1、∫VPCC_q1dt和θpll2、∫VPCC_q2dt。此外，该数学模型的小扰动稳定平衡点为xe=(xe1,xe2,xe3,xe4)=(A,0,A,0)，其中A=arcsin{[RF(Iq1+Iq2)-XF(Id1+Id2)]VF}。

由于数学模型式（5）中含有正余弦是非线性的，因而其小扰动稳定平衡点xe是局部稳定平衡点，当电网侧发生严重故障大扰动时，如果故障前系统的运行状态xe,0在故障后系统平衡点xe,1的吸引域内，则随着时间趋于无穷大，数学模型式（5）的解即系统的轨迹将收敛于xe,1。否则故障后即使系统存在小扰动稳定平衡点，系统仍会暂态失稳。因而判断故障后WG-MVSC系统由xe,0过渡到xe,1所对应的暂态过程的同步暂态稳定性的关键在于构建xe,1的吸引域或LEDA。

为此，本文将运用LMI优化法构建WG-MVSC系统平衡点的LEDA，并在此基础上分析WG-MVSC系统的PLL同步暂态稳定性。

2 基于LMI优化法的WG-MVSC系统平衡点的LEDA

本节将运用LMI优化法构建WG-MVSC系统的LEDA，并给出判断系统由xe,0过渡到xe,1所对应的暂态过程同步暂态稳定性的判据。

针对一般多项式动力系统，文献[12]提出LMI优化法以构造系统的Lyapunov函数，并基于此构建相应的LEDA。但对于本文分析的WG-MVSC系统，其数学模型式（5）中包含三角函数。因此，首先在系统平衡点xe的某一邻域内将模型式（5）中的三角函数泰勒展开为多项式。

由泰勒展开式与原三角函数的关系可知，当三角函数展开到8阶时，泰勒展开式与原三角函数在区间[-π，π]内几乎重合。考虑到一般情况下，VSC1和VSC2的相角差，以及VSC1和VSC2各自的相角偏离平衡点的角度不超过π，故本文将式（5）所示的数学模型̇=f(x)中的 sin(x1-x3)、 cos(x1-x3)和sinx1、sinx3展开到8阶，可得其等效多项式模型，记作̇=g(x)，具体表达式为

由上述分析可知，在区域ψ={x∊R4|-π≤x1+xe1≤ π，-π≤x3+xe3≤π，-π≤x1-x3≤π}内，数学模型式（5）中的三角函数与数学模型式（6）中的相应多项式几乎是等效的，也就是说，若WG-MVSC系统的数学模型ẋ=f(x)与泰勒展开后的等效多项式模型ẋ=g(x)的运行轨迹位于ψ内，则ẋ=g(x)与ẋ=f(x)的运行轨迹高度一致。为说明这一点，本文在PSCAD/EMTDC中分别搭建了数学模型式（5）和多项式等效模型式（6）的仿真算例，并对以下工况进行仿真验证，仿真结果见图4，其系统参数见表1。

图4 工况A1和工况A2的仿真结果Fig.4 Simulation results under working conditions A1 and A2

表1 系统参数Tab.1 System parameters

（1）工况A1：故障点电压跌至0.1 p.u.，仿真结果如图4（a）所示。

（2）工况A2：故障点电压跌至0.7 p.u.，仿真结果如图4（b）所示。

在上述两种工况下，VSC1和VSC2的电流设定值均从故障前的 0.5 p.u.、0 p.u.调整至0 p.u.、0.5 p.u.，以进行故障限流和无功支撑模拟。

图4的仿真结果表明，当系统运行轨迹位于ψ内时，即使系统最终暂态失稳，数学模型式（5）和多项式等效模型式（6）的系统轨迹也高度一致。由此可知，若Ωv∈ψ是ẋ=g(x)的最大估计吸引域，则Ωv同时也是ẋ=f(x)的最大估计吸引域。

由于多项式等效模型式（6）中的非线性全部为多项式，故而可基于文献[12]提出的LMI优化法进行求解，得到模型式（6）的Lyapunov函数v(x)和最大估计吸引域Ωv={x∈R4|v(x)≤c}。如果Ωv∈ψ，则由上述分析可知Ωv同时也是ẋ=f(x)的LEDA。但有些情况下，Ωv可能超出ψ，此时无法保证Ωv是ẋ=f(x)的LEDA。对于这种情况，可系统性地缩小Ωv使其包含于ψ，此时的Ωv即为ẋ=f(x)的LEDA。

综上，本文提出了构建WG-MVSC系统模型ẋ=f(x)的LEDA算法（算法1），具体步骤如下。

步骤1基于文献[12]提出的LMI优化法构造ẋ=g(x)的v（x）和Ωv。

步骤2求出v（∂ψ）的最小值λ，其中∂ψ是ψ的边界。将λ和c进行比较，如果λ>c，说明Ωv⊂ψ，令λ=c。

步骤3最后得到WG-MVSC系统的最优Ly⁃apunov函数V(x)=v(x)/λ及其LEDA：Ωv={x∈ R4|V(x)≤1} 。

由算法1得到WG-MVSC系统的LEDA（Ωv）后，对于系统由故障前的运行状态xe,0过渡到故障后的平衡点xe,1所对应的暂态过程的同步暂态稳定性可以通过比较V(xe,0-xe,1)与1的数值关系实现，即

如果式（7）成立，则有xe,0位于xe,1的LEDA内或边界上，系统必然同步暂态稳定；如果式（7）不成立，则有xe,0位于xe,1的LEDA外，由李雅普诺夫直接法所固有的保守性可知，此时系统有可能暂态失稳，也可能暂态稳定。增加V(x)的最高次幂可以在一定程度上降低LEDA的保守性，但会显著增加计算量。因此，在本文后续的计算和分析中，针对所研究对象和问题，V(x)的最高次幂选择为2。

3 WG-MVSC系统同步暂态稳定分析及仿真验证

3.1 WG-MVSC系统暂态失稳现象和数学模型验证

为验证数学模型式（5）的有效性和本文所提算法1构建的LEDA的有效性和可行性，在PSCAD/EMTDC中分别搭建如图1所示的基于详细开关模型的WG-MVSC系统和数学模型，并对以下工况进行仿真验证，仿真结果见图5，其系统参数见表1。

图5 工况B1和工况B2的仿真结果Fig.5 Simulation results under working conditions B1 and B2

（1）工况B1：故障点电压在t=3 s时跌至0.1 p.u.，将此时系统的平衡点记作xe,1，然后在t=17 s时进一步跌落至0.075 p.u.，将此时系统的平衡点记作xe,2，仿真结果如图5（a）所示，而将故障前系统的平衡点记作xe,0。

（2）工况B2：故障点电压在t=3 s时跌至0.075 p.u.仿真结果如图5（b）所示。

在上述两种工况下，VSC1和VSC2的电流设定值均从故障前的 0.5 p.u.、0 p.u.调整至0 p.u.、0.5 p.u.，以进行故障限流和无功支撑模拟。

由图5（a）可得出：①开关模型和本文所提的数学模型式（5）具有较好的拟合度，验证了模型式（5）的准确性；②故障点电压分别跌落至0.1 p.u.和0.075 p.u.时，系统存在小扰动稳定平衡点，即系统是小扰动稳定的。

由图5（b）可得出：①开关模型和本文所提的数学模型式（5）在系统暂态失稳的情况下仍具有较好的拟合度，进一步验证了模型式（5）的准确性；②当WG-MVSC系统遭受大的扰动时，例如故障电压直接跌落至0.075 p.u.，即使扰动后系统存在稳定平衡点，系统仍有可能暂态失稳，即WG-MVSC系统存在PLL同步暂态稳定问题；③当故障点电压跌落较为严重时，如果变流器无功电流设定值选为各自的额定电流以进行电压无功支撑，系统可能会暂态失稳。这是当前大部分故障穿越控制研究中未曾考虑的，需要引起特别注意。

本文将基于第2节介绍的算法1对工况B1和B2进行暂态稳定性分析，从而解释工况A2出现的暂态失稳现象并验证本文所构建的WG-MVSC系统的LEDA的有效性和可行性。

3.2 WG-MVSC系统暂态失稳现象分析和基于LMI优化法构建的LEDA验证

在三维相平面x1x2x3上，图6分别给出了xe,1和xe,2的LEDA和工况B1与工况B2的相轨迹。

图6 工况B1和B2的相轨迹及局部放大图Fig.6 Phase trajectory under working conditions B1 and B2,and partial enlarged figure

由图6可知，xe,0∈Ωv(xe,1)、xe,1∈Ωv(xe,2)且工况B1对应的系统轨迹最终收敛到xe,2，这与基于李雅普诺夫稳定性第二定理分析结果一致。此外，上述理论分析结果与图5（a）所示的电磁暂态仿真结果也一致。图6和图5（a）分别从理论上和仿真验证了本文所提算法所构建的LEDA的有效性与可行性。

此外，将xe,0代入V2(x)可得V2(xe,0-xe,2)=2.313 1>1，这表明xe,0在xe,2的LEDA（Ωv(xe,2)）外，因而故障点电压直接跌落至0.075 p.u.时，WGMVSC系统可能暂态失稳，理论分析结果与图5（b）所示电磁暂态仿真结果和图6所示的工况B2的轨迹，以及xe,0和Ωv(xe,2)的位置关系一致，进一步验证了基于本文所提算法1构建的LEDA的有效性和可行性。

4 结论

本文利用LMI优化法构建了多VSC接入弱网系统的LEDA，然后在此基础上分析了WG-MVSC系统的同步暂态稳定性，最后通过电磁暂态仿真验证了理论分析的正确性，主要结论如下。

（1）故障点电压跌落较为严重时，即使故障后的WG-MVSC系统存在小扰动稳定平衡点，系统仍有可能暂态失稳，且出现该现象的原因在于故障前系统的运行状态位于故障后系统平衡点的LEDA外。

（2）当故障点电压跌落较为严重时，如果变流器无功电流设定值选为各自的额定电流以进行电压无功支撑，系统可能会暂态失稳

综上，本文得到的WG-MVSC系统的LEDA对工程应用具有一定的借鉴意义。