非局部弹性周期纳米板振动特性研究

何东泽， 布英磊， 史冬岩， 王青山

(1. 哈尔滨工程大学 机电工程学院，哈尔滨 150001；2. 中国船舶及海洋工程设计研究院，上海 200011；3. 中南大学 高性能复杂制造国家重点实验室，长沙 410083)

目前，纳米材料以及微型元器件在微/纳米机电系统中的影响程度逐渐增大，得到了空前的发展。纳米板结构作为纳米机电系统中的基本组成构件，在纳米传感器、电荷传感器以及谐振器等中均有着广泛的应用范围，其动力学特性的研究对纳米机电系统的发展有着一定的影响作用[1-2]。采用经典连续介质理论对微纳米结构进行分析时，无法考虑尺度效应对微纳米材料的影响。因此，众多学者提出修正连续介质理论模型，主要有表面弹性理论[3]、应变梯度理论[4-5]、修正偶应力理论[6]以及非局部理论[7]。其中，非局部理论是目前对微纳米结构以及机电系统分析中最常见的理论，Edelen等[8-9]建立了非局部场中的数学理论模型，后经Eringen采用格林变换，将微分型非局部本构关系转化为积分型本构关系，直接应用于控制方程之中。

目前，对于纳米板的研究取得了较大的研究进展，众多优秀的学者发表多篇相关文献。如，滕兆春等[10]采用微分变换法，结合非局部理论与经典薄板理论，对Winkler-Pasternak弹性地基上面内受压的正交各向异性矩形板的自由振动特性以及屈曲特性进行了分析研究。讨论了弹性基地刚度、几何参数对矩形纳米板固有频率以及屈曲临界载荷的影响。张大鹏等[11]采用非局部理论，结合Galerkin条形传递函数法对不同边界条件下黏弹性基体上压电纳米板热-机电振动特性进行分析研究，揭示了非局部效应、外载荷等对纳米板振动特性的影响规律。王平远等[12]采用非局部应变梯度理论，对功能梯度纳米板弯曲和屈曲特性进行分析。王平等[13]采用非局部理论，结合板壳磁弹性理论对载流纳米板在简支条件下的磁弹性稳定性进行了分析研究。研究发现，改变磁感强度以及纳米板几何尺寸对纳米板稳定性的提高有着明显的促进效果。Liu等[14]对不同边界条件下周期纳米板的动力学特性进行分析研究。Karami等[15]对湿热环境中多孔纳米板结构的自由振动问题进行分析研究。

本文结合非局部理论，对非局部弹性周期Mindlin纳米板结构振动特性进行分析研究。因采用Lévy解形式，将周期纳米板结构两端设置为简支条件。采用波动法，结合不同材料板间的协调条件对分析模型进行建立。采取文献对比与有限元对比方法验证本文模型建立正确性以及求解方法准确性。同时，分析纳米板周期数、弹性支撑条件以及纳米板几何参数对非局部弹性周期纳米板结构振动特性的影响情况。

1 分析模型

本文所建立的研究模型如图1所示。由N组不同材料构成的纳米板A和B在x轴方向上按照顺序排列，形成周期性弹性纳米板。图1中：Ly为纳米板的宽度；Lx1和Lx2为纳米板A和B的长度；Kw为弹性支撑刚度；F(x0,y0)为外界施加力。在本文的研究中，对周期纳米板在y=0和Ly边界设置简支条件。

图1 弹性周期纳米板示意图Fig.1 The scketch diagram of elastic supporting periodic nanoplate

2 数值模型建立

与传统的弹性力学理论不同，非局部理论认为微元体中任意一点的应力是整个物体的应变状态之和的叠加，需要考虑该点状态在整体作用区域内的影响。Eringen提出的非局部微分型本构方程为

(1-μ∇2)σ0=σ

(1)

式中：μ为非局部参数；σ0为非局部应力向量；σ为局部应力向量； ∇2为二阶拉普拉斯算子。根据胡克定律以及应力应变之间的关系，非局部力矩向量M={Mxx,Myy,Mxy}T可以表示为

(2)

式中：Mxx为x方向上的弯矩；Myy为y方向上的弯矩；Mxy为扭矩。根据Mindlin板理论，控制方程可以表示为[16]

(3)

式中：q=Kww;w为沿z轴的位移变量；φx和φy为旋转变量；Qxx和Qyy为关于y轴和x轴的剪切力。结合式(1)与式(3)，可以得到

(4)

式(4)为Mindlin板弯曲振动控制方程。式中：h为板的厚度；I0,I2为质量惯性矩,I0=ρh，I2=ρh3/12；κ为剪切修正系数；D为板的弯曲刚度；G为剪切模量；v为泊松比。将位移变量以及旋转变量设置为Lévy解形式，可以表示为[17]

(5)

式中：W0，Φx以及Φy为位移、旋转幅值变量；Ky为y轴方向上的模态波数，Ky=nπ/Ly；kf为弯曲振动特征波数；n为模态数;ω为角速度； i为虚数单位；t为时间变量。将式(5)代入式(4)中，可得

[Tf]{Γ}=0

(6)

式中，Tf为弯曲振动参数矩阵，具体表达为

(7)

(8)

式中：w1,2jn为不用模态数下的弯曲位移幅值参数；χ1,2j和λ1,2j(j=1～6)分别为旋转位移幅值参数，为

(9)

根据所得到的弯曲波数以及位移、旋转幅值参数，对不同材料纳米板的位移向量进行定义，为

(10)

式中：σ1,2n为位移波动向量；Yfn(y)为y方向上的模态矩阵；D1,2n为位移参数矩阵；P1,2n为轴向波数矩阵；u1,2n为位移幅值向量。具体可以表示为

Yfn(y)=diag{sin(Kyy),sin(Kyy),cos(Kyy)}

(11)

P1,2n(x)=diag{ejkf1,21x, ejkf1,22x,…,ejkf1,26x}

(12)

(13)

u1,2n={w1,21n,w1,22n,…,w1,26n}T

(14)

相应的，对力波动向量f1,2n分别定义，为

(15)

式中，F1,2n为力参数矩阵，为

[F1,2n]1,j=KcGh(ikf1,2j+χ1,2j),
[F1,2n]2,j=D(-vKyλ1,2j+iχ1,2jkf1,2j),

(16)

对于不同材料构成的纳米板连接处(A和B)，需要满足位移与力连续性条件，具体表示为

wA(x1,y,t)=wB(x2,y,t),
φx,A(x1,y,t)=φx,B(x2,y,t),
φy,A(x1,y,t)=φy,B(x2,y,t)

(17)

(1-μ1∇2)Qxx,A(x1,y,t)=(1-μ2∇2)Qxx,B(x2,y,t),
(1-μ1∇2)Mxx,A(x1,y,t)=(1-μ2∇2)Mxx,B(x2,y,t),

(1-μ1∇2)Mxy,A(x1,y,t)=(1-μ2∇2)Mxy,B(x2,y,t)

(18)

式中：x1和x2为连接处在纳米板A和B中的横向坐标；μ1和μ2为纳米板A和B的非局部参数；位移变量和力变量中的下角标A和B分别对应纳米板A和B的变量参数。将式(17)和式(18)转化为矩阵形式，可以表示为

(19)

式中，i=1-N，x(i-1)B

[K]{Γ}={F}

(20)

式中，K为总体结构矩阵，具体表示为

(21)

式中，KA10和KBN1为边界矩阵，由周期纳米板具体的边界情况决定。KAj0,1和KBj0,1(j=1-N)为板单元矩阵，可以表示为

(22)

式(20)中，F为外力向量，由周期纳米板的具体受力情况决定。当一作用集中力F(x0,y0)施加于纳米板时，采用狄克拉函数进行描述，为

F(x0,y0)=F0δ(x-x0)δ(y-y0)

(23)

式中，F0为力的幅值大小。因此，外力向量可以表示为：

(24)

Γ为整体位移向量，由各个单元纳米板位移向量按照一定顺序组合而成，可以表示为

{Γ}={u1n1,u2n1,…,u2n(N-1),u1nN,u2nN}T

(25)

结合周期纳米板外界受力情况，边界条件情况对总体控制方程进行求解，得到总体位移向量。根据位移响应点的位置对其位移值进行求解，为

(26)

式中：x′,y′为位移响应点的位置；u′ni为所在纳米板对应的单元位移向量；Dni和Pni为对应的位移参数矩阵和轴向波数矩阵。

3 数值结果与讨论

通过第2章介绍，首先对本文所建立的周期弹性纳米板振动特性的正确性进行验证。基于第2章所建立的模型，在对固有频率进行求解时，忽略外界力向量F。采用搜根算法对整体矩阵K在一定频率范围内进行搜索，所求得的零点位置即为纳米板结构的固有频率。在表1的对比算例中，边界条件1和2分别设置为固支-固支和固支-简支。因此，对于两种边界条件下整体矩阵中边界矩阵KA10和KBN1进行定义，为

Ki(x,y,t)=Yfn(y)[TσD1,2niP1,2ni(x)+
TfF1,2niP1,2ni(x)]u1,2nie-iωt

(27)

其中

(28)

接下来，对周期纳米板结构振动特性进行分析。首先对周期纳米板的组成材料进行选取。本文中，选取两种石墨烯材料作为板A和B的组成材料，属性如表2所示[19-20]。

采用有限元法对局部周期板结构弯曲位移响应进行求解，并与本文计算的结果进行对比，设定非局部参数μA=μB=0。所建立的有限元模型尺寸为：Lx1=Lx2=Ly=1 m，h1=h2=12.5 mm，N=2，Kw=0，F0=1 N。力的作用点为(0,0.5)，弯曲位移相应点为(6,0.5)。由材料A构成的单一材料板结构在0～1 000 Hz内的弯曲位移响应曲线，如图2(a)所示。通过计算得到，当模态数M取值为10时，弯曲位移得到收敛，取得良好的结果。通过对比可以看出，本文所计算得到的位移响应曲线与有限元法对比基本吻合，验证本文计算方法的计算正确性。同时，双周期纳米板结构弯曲位移曲线对比，如图2(b)所示。由图2可知：在0～1 000 Hz的频率内，两种计算方法所得到的弯曲位移曲线趋势一致并且处于同一量级，计算结果吻合良好。

表1 不同边界条件下纳米板结构频率参数对比Tab.1 Comparison of frequency parameters of nanoplate structures under different boundary conditions

表2 石墨烯材料属性表Tab.2 The table of graphene material properties

图2 弯曲位移曲线对比Fig.2 The comparison of the flexural displacement curves

非局部模型与局部模型下弯曲位移曲线的对比情况，如图3所示。其中，Lx1=Lx2=Ly=10 nm,h1=h2=0.125 nm，F0=1×10-11N，N=3，M=10。对于局部模型，设定材料A和B的非局部参数为零，即μA=μB=0。通过比较可以看出，随着非局部参数的引入，0～20 GHz内的弯曲位移曲线共振峰向左移动，这种现象与单一纳米板结构相同[21]。出现该现象的原因是非局部参数降低了周期纳米板结构的等效结构刚度。

图3 非局部与局部模型下弯曲位移曲线对比Fig.3 The comparison of the flexural displacement response curves via local and nonlocal analysis model

通过对本文计算方法的验证，接下来将对周期纳米板宽度，单元纳米板长度，单元纳米板厚度，周期数以及弹性支撑条件对周期纳米板结构振动特性的影响规律进行分析研究。三周期纳米板结构在不同纳米板宽度下的弯曲位移响应曲线，如图4所示。由图4可知：在0～20 GHz内，弯曲位移曲线在低频范围内具有较大的衰减效果。同时，随着周期纳米板宽度从10 nm到20 nm进行变化，低频范围内的衰减区域逐渐较小并且在衰减范围内的衰减程度有着明显变小的趋势，初始频率下的弯曲位移数量级由1×10-17增加到1×10-12，具有明显的数量级变化。因此，纳米板宽度在低频范围内对弯曲位移响应具有明显的影响。随着周期纳米板宽度的增加，频率衰减范围以及该范围内的衰减程度逐渐较小。

图4 不同纳米板宽度下位移曲线对比Fig.4 Comparison of displacement curves for various widths of periodic nanoplates

不同单元纳米板长度情况下三周期纳米板弯曲位移曲线的对比情况，如图5所示。通过比较可以看出，随着单元纳米板长度的增加，低频范围内的弯曲位移曲线变化较为明显。当单元纳米板的长度由10 nm增加到20 nm时，低频范围内的弯曲位移响应出现明显的数量级变化，初始频率对应的弯曲位移数量级从1×10-17下降到1×10-24，具有较大程度的衰减。同时，在低频衰减范围内，不同的单元纳米板宽度对应的弯曲位移衰减频率范围基本保持不变。因此，随着单元纳米板长度的增加，低频范围内的弯曲位移响应逐渐较小，但衰减的频率范围基本保持不变。

图5 不同单元纳米板长度下位移曲线对比Fig.5 Comparison of displacement curves for various lengths of single nanoplates

不同单元纳米板厚度下三种单元纳米板弯曲位移曲线的对比情况，如图6所示。通过比较可以看出，在0～20 GHz内，当单元纳米板的宽度h1=h2=0.125 nm和h1=0.1 nm，h2=0.125 nm时，在初始频率范围内的弯曲位移基本相同。h1=h2=0.125 nm情况下在低频范围内的弯曲位移衰减程度最大。同时，当h1=0.125 nm，h2=0.1 nm时，低频范围内的弯曲位移衰减程度最小，同时衰减频率范围变小。因此，对于周期纳米板而言，单元纳米板厚度在低频范围内对弯曲位移衰减程度有着一定的影响。随着单元纳米板的厚度增大，弯曲位移衰减程度以及频率范围均存在一定的增大现象。

图6 不同单元纳米板厚度下位移曲线对比Fig.6 Comparison of displacement curves for various thicknesses of single nanoplates

不同周期数下周期纳米板的弯曲位移曲线的对比情况，如图7所示。通过比较可以看出，在0～20 GHz内，当周期纳米板从三周期增长到九周期后，在低频范围内的弯曲位移具有较大程度的衰减，弯曲位移数量级从1×10-17下降到1×10-33。并且可以发现，随着周期数的增大，低频范围内的频率衰减范围基本保持不变。同时，在12.46～15.13 GHz内的弯曲位移逐渐减小。因此，周期数对周期纳米板的弯曲位移具有明显的影响情况，随着周期数的增加，弯曲位移衰减程度逐渐增大。

图7 不同周期数下位移曲线对比Fig.7 Comparison of displacement curves for the period number of periodic nanoplate

弹性支撑条件下的弯曲位移曲线对比，如图8所示。设定三周期纳米板整体承受Kw=1×106Pa/nm的弹性支撑，并且与非弹性支撑条件下弯曲位移曲线进行对比。可以看出，通过引入弹性支撑条件，低频范围内的弯曲位移衰减程度变大。同时，衰减的频率范围由0～10.86 GHz增加到0～12.64 GHz，具有明显的增大效果。因此，可以看出，弹性支撑条件对周期纳米板弯曲位移具有较为明显的衰减效果。

图8 弹性支撑条件下位移曲线对比Fig.8 Comparison of displacement curves for elastic supporting conditions of periodic nanoplate

最后，对不同弹性支撑条件对三周期纳米板结构弯曲位移的影响情况进行分析。三种不同弹性支撑条件下周期纳米板结构的弯曲位移曲线，如图9所示。分别设置三周期纳米板整体无弹性支撑，纳米板A承受弹性支撑以及纳米板B承受弹性支撑情况。通过比较可以看出，当纳米板A或纳米板B承受弹性支撑条件时，相比较与无弹性支撑条件下，弯曲位移均存在一定的衰减效果。

图9 不同支撑条件下位移曲线对比Fig.9 Comparison of displacement curves for various supporting conditions of periodic nanoplate

4 结 论

本文结合非局部理论以及Mindlin理论，对非局部弹性周期纳米结构振动特性进行了研究。通过考虑不同材料纳米板连接处的协调关系，结合波动法，建立了非局部周期纳米板结构的数值分析模型。通过与文献中单一纳米板结构不同边界下的一阶频率参数以及局部理论下有限元法得到的弯曲位移响应曲线进行对比，验证了本文所建立模型以及求解方法的正确性。以此为基础，开展了周期纳米板宽度、单元纳米板长度及厚度、周期数以及弹性支撑条件对周期纳米板振动特性的影响情况。主要得到的结论如下：

(1) 周期数的增大导致频率范围内的弯曲位移具有明显的衰减效果，但是对频率范围影响较小，可以忽略不计；周期纳米板的长度对于弯曲位移响应的影响情况与之相同。

(2) 弹性支撑条件会导致弯曲位移响应的频率衰减范围变大，并且使频率范围内的弯曲位移进一步减小；当不同纳米板设置弹性支撑条件时，其对于弯曲位移响应的影响效果与整体承受情况相同。

(3) 周期纳米板的宽度增大会导致弯曲位移响应的频率衰减范围减小，频率范围内的响应逐渐增大；周期纳米板的厚度的增大会导致弯曲位移响应的频率衰减范围变大，频率范围内的响应变小。