非线性Zener模型的求解及多态共存机理研究

俞力洋， 黄 然， 丁旺才， 吴少培， 李国芳

(兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070)

工程实际中的机械系统、建筑桥梁、电子电路等，在外界环境的干扰下都不可避免地存在着振动现象，而这些振动往往具有非线性特性，会使系统运动规律变得更加复杂[1-6]。为减小此类振动对系统寿命、稳定性和安全性的不利影响，通常选择一些隔振装置抑制系统之间或系统与地基之间的振动传递，其中橡胶等黏弹性材料因其同时具备超弹性和黏弹性，被广泛应用于各类隔振系统中，如机车车辆二系悬挂橡胶堆[7]、航空器APU(auxiliary power unit)隔振器[8]、汽车发动机悬架缓冲块[9]、机床减震垫铁等。

目前常用弹簧与阻尼并联的Kelvin-Voigt模型及其组合模型等效应用于各种机械系统中的隔振或吸振装置。田金鑫[10]利用Kelvin-Voigt模型研究了潜航器中浮筏隔振系统的动力学特性。李继伟等[11]研究了多个Kelvin-Voigt模型所构成非线性动力吸振器的连接方式和吸振效果。Zang等[12]设计了包含多种Kelvin-Voigt模型的杠杆式被动吸振器，并对该新型结构的复杂动力学进行分析。值得注意的是，工程实际中的阻尼元件本身不可避免地具有一定弹性，对橡胶等黏弹性隔振材料更应如此考虑。

在材料领域，为更准确地反映黏弹性材料的松弛和蠕变特性，通常将橡胶等黏弹性系统等效为弹簧-阻尼串联的Maxwell模型或含Maxwell元件的复杂组合模型，如Zener模型、Burgers模型[13]、Berg模型[14]、Dzierek模型[15]及分数导数模型[16]。其中Zener模型也被称为标准线性黏弹固体模型或三元件Maxwell固体模型，虽然Zener无法准确描述高频条件下橡胶材料的力学特性，但其能够同时反映中低频范围内Kelvin-Voigt模型无法反映的松弛特性和Maxwell模型无法反映的蠕变特性[17]。为拓宽模型的频率范围，Pritz[18]在Zener模型中引入分数导数概念，使其可在更宽的频率范围内表达黏弹性材料的力学特性，但同时也增加了系统参数数量与计算难度。于增亮等[19]分析了4种常用黏弹模型的特点与适用场合。综上所述，相比于四参数模型及复杂分数导数模型，Zener模型具有较少的系统参数，较低的计算难度，且其本身能够准确反映中低频范围内橡胶材料的黏弹特性，是开展中低频范围内橡胶隔振系统动力学特性研究的较佳模型。

在黏弹性模型的动力学响应方面，王孝然等[20-21]比较了不同类型强迫振动下Maxwell模型和Kelvin-Voigt模型的振动响应，建立了一种含负刚度元件的Maxwell模型动力吸振器，证明了所提出模型具有更好的减振效果，并将惯容元件逐步引入含Maxwell元件的动力吸振器中[22]。在求解方法上，陈炜[23]利用复数变量法求解了单、多自由度非线性减振器的振动响应，并基于此分析了减振器的能量传递与耗散过程。李飞等[24]研究了一类多约束两自由度碰撞振动系统在不同约束布置下的准对称特性。李得洋等[25]研究了单自由度碰撞振动系统在叉式分岔与逆叉式分岔诱导下的周期运动转迁规律。De Haro Silva等[26]基于谐波平衡法研究了非线性刚度对非线性Zener隔振系统共振频率的影响。

综上所述，之前的研究主要集中在不同条件下橡胶隔振系统静力学特性的计算、力学模型的等效和减振效果的分析上，但对材料黏弹性模型的系统响应、分岔、混沌及多态共存等复杂非线性动力学行为的研究有待进一步深入。本文采用能准确反映中低频范围内黏弹材料力学特性的非线性Zener模型表征橡胶隔振系统。首先建立了系统运动微分方程并进行无量纲化，采用复数变量法和谐波平衡法计算了系统的瞬态响应与稳态响应，并结合数值方法及UM(Universal Mechanism)软件仿真进行响应对比，随后利用定相位Poincaré截面获得系统多初值分岔图，揭示了非线性Zener模型在叉式分岔、倍周期分岔、鞍结分岔和边界激变诱导下周期运动的共存及转迁规律，分析了存在于系统中的“P(D)nP′多态域”。

1 系统的力学模型和运动微分方程

非线性Zener隔振系统的力学模型，如图1所示。该模型是在Maxwell模型的基础上并联了一个弹性力F=K(X+εX3)的非线性弹簧，质量块M在简谐激励Fsin(ΩT)作用下往复运动，节点是位于Maxwell模型弹簧与阻尼中间的无质量质点，其两端的弹性力与阻尼力是一对合力为0的平衡力，X,Y分别为质量块和节点的位移。

图1 非线性Zener隔振系统Fig.1 Nonlinear Zener vibration isolation system

图1所示系统的运动微分方程为

(1)

取无量纲参数

则式(1)被无量纲化为

(2)

2 系统的瞬态响应求解

由于非线性Zener模型不符合Rayleigh阻尼要求，且该模型包含被看作是介于单自由度与两自由度之间的Maxwell模型，使用解耦法或一般近似求解方法求解系统动力学响应存在困难，下面采用复数变量法求解图1所示系统的瞬态响应。

根据复数变量法的思想，首先将系统的响应分解为慢变模块Δ(t)和快变模块ejωt两部分，对质量块和节点位移做如下复变量代换

(3)

将式(3)代入式(2)所对应的齐次方程，并消除其中的久期项可得

(4)

(5)

进而可得质量块瞬态响应幅值及相角所对应的微分方程

(6)

(7)

为更加真实地反映非线性Zener隔振系统的动力学特性，本文还基于商业化的多体系统动力学软件UM对非线性Zener模型进行了软件仿真。系统参数取μk=3,ξ=0.15,knl=0.3时，通过数值方法、复数变量法及UM软件仿真所得质量块M的瞬态响应对比图，如图2所示。由图2可知：复数变量法所得结果可与数值结果及UM软件仿真结果良好匹配。

图2 质量块瞬态响应对比图Fig.2 Comparison of mass transient response

3 系统的稳态响应求解

设图1所示系统主振动的形式为

(8)

将特解式(8)代入式(2)，略去其中可快速衰减的高频项，并使等式两边对应谐波项的系数相等，可得关于质量块幅值A平方的一元三次方程

(9)

当式(9)所得解中仅有一个正实根时，对应于幅频响应曲线的单解。当激励频率ω处于两次“跳跃”之间的多态共存区时，节点及质量块幅值有3个正实根，对应于系统的3个共存周期解，分别是节点与质量块的两个稳定幅值与一个不稳定幅值。

系统质量块与节点的稳态幅值与相角为

(10)

利用式(10)作非线性Zener隔振系统质量块的幅频响应曲线，并与数值方法及UM软件仿真所得结果进行对比，如图3所示。

图3 质量块幅频响应对比图Fig.3 Comparison of mass amplitude-frequency response

系统参数取μk=3,ξ=0.15,knl=0.3,p=4时，由谐波平衡法、数值方法及UM软件仿真所得的质量块幅频响应对比图，如图3所示。由图3可知：上述3种方法所得质量块幅频响应基本吻合。受系统非线性刚度的影响，质量块振动幅值A存在“跳跃”现象，当正向扫频时，质量块M在ω=4.103处经鞍结分岔诱导，振动幅值A发生从大到小的“跳跃”，当反向扫频时，质量块M在激励频率ω=2.428处经鞍结分岔诱导，使其振动幅值A发生从小到大的“跳跃”。在质量块振动幅值发生两次“跳跃”的频率范围内，质量块出现两个稳定不变集与一个不稳定不变集的共存。

4 系统的非线性动力学特性分析

4.1 系统的叉式分岔及准对称特性

图4 系统多初值分岔图Fig.4 Multi-initial bifurcation of system

图5 系统的相图Fig.5 Phase diagrams of the system

4.2 系统的多态共存及转迁机理

选择系统参数μk=0.1,ξ=0.05,knl=0.3,p=20,仍以零相位面σ为Poincaré截面，可得激励频率ω∈[0.8,1.8]时质量块位移x的多初值分岔图，如图6所示。图6中虚线为质量块不稳定状态。由图6可知：系统在该参数域内存在叉式分岔PF、倍周期分岔PD、鞍结分岔SN和边界激变BC。

由图6所示多初值分岔图可以看出，激励频率ω∈(1.698,1.8]时，质量块M始终为稳定的周期PS-1运动，结合当ω=1.720时质量块的相图(见图7(a))可以看出，该激励频率下，质量块M做自对称的周期PS-1运动，此时不论系统初始条件如何设置，质量块M都将稳定于同一个自对称的周期轨道上。随着激励频率ω的逐渐减小，系统在ω=1.698处发生叉式分岔PF1，质量块M自对称的周期PS-1运动被诱导为两个反对称的周期PAS1-1运动和周期PAS2-1运动，形成两个稳定周期运动的共存，此时质量块容易因外界条件的变化而稳定于不同的周期轨道上。图7(b)为当ω=1.560时，质量块M在不同初始条件下的相轨迹，可以看出质量块周期PAS-1运动的反对称特性。当激励频率从ω=1.600减小至ω=1.400时，系统在ω=1.439处发生的鞍结分岔SN2诱导质量块M的位移发生从小到大的“跳跃”，当激励频率从ω=1.400增大至ω=1.600时，发生于ω=1.541处的鞍结分岔SN1，又诱导质量块M的位移发生从大到小的“跳跃”，在鞍结分岔两个“跳跃点”形成的区间[1.439，1.541]内，质量块从一对反对称周期运动的共存转迁为两对反对称周期运动的共存。如图7(c)所示，此时质量块M实质上为4个周期一运动的共存。当激励频率ω减小至跨越鞍结分岔SN2对应的频率后，图7(c)中虚线所示的一对反对称周期一运动消失，系统做图7(c)实线所示的反对称周期运动，如图7(d)所示为鞍结分岔SN2后激励频率ω=1.440时，质量块M做不同初始条件下反对称的周期PAS-1运动。当激励频率ω减小至ω=1.316时，系统发生的倍周期分岔PD1诱导质量块M进入反对称的倍周期序列。图7(e)为当ω=1.300时质量块的相图，质量块M呈现出反对称的周期PAS-2运动。图7(f)为当激励频率ω=1.265时质量块的相图，此时质量块M为两个反对称周期四运动的共存，随着激励频率ω的继续减小，质量块M通过反对称倍周期序列进入反对称的混沌运动。图7(g)为当ω=1.260时，质量块反对称混沌运动共存时的相图。图7(h)为当ω=1.255时，质量块M反对称的混沌吸引子，此时不同的初始条件亦会引起系统不同的混沌运动。

图6 质量块多初值分岔图Fig.6 Multi-initial bifurcation of mass

系统在激励频率ω=1.25时发生的边界激变BC1，使质量块M从反对称混沌运动的共存转迁为单稳态周期PS-3运动，图7(i)为当激励频率ω=1.235时质量块M的相图，此时，无论如何设置初始条件，均无法改变图7(i)所示的周期三轨线。当激励频率ω∈[1.034,1.044]时，质量块M通过叉式分岔PF3与倍周期分岔PD4进入反对称的混沌运动，图7(j)与图7(k)为激励频率ω=1.035和ω=1.000时，质量块反对称的混沌运动和反对称的混沌吸引子图。随着激励频率ω继续减小，系统在ω=0.937处发生的边界激变BC2使质量块从反对称的混沌运动转迁为单稳态周期PS-1运动，图7(l)为激励频率ω=0.92时，质量块M的相图，系统此时呈现为自对称的周期一运动。

4.3 系统的“P(D)nP′多态域”及转迁规律

非线性Zener模型在一定的参数条件下存在“P(D)nP′多态域”，即随着系统分岔参数的改变，叉式分岔诱导系统从自对称周期PS-n运动转迁为两个反对称周期PAS-n运动，此后每个反对称的周期PAS-n运动又会以倍周期序列进入混沌，形成倍周期序列的共存及混沌运动的共存，最后，系统又依次通过逆倍周期分岔与逆叉式分岔，将多不变集共存的周期PAS-n运动诱导回单稳态周期PS-n运动，本文称诸如此处由叉式分岔、倍周期分岔、逆叉式分岔形成的多态共存区域为“P(D)nP′多态域”，其中P为叉式分岔，P′为逆叉式分岔，(D)n为倍周期分岔或逆倍周期岔诱导下系统反对称的周期n运动或混沌运动，特别地，图4所示分岔图则为“P(D)0P′多态域”。

图6中L1，L2，L3处局部放大图的拼接，如图8所示。当激励频率ω∈[1.11,1.20]时，系统叉式分岔PF2、倍周期分岔PD2、逆倍周期分岔IPD1与逆叉式分岔IPF1诱导系统同时呈现出3个“P(D)nP′多态域”，形成质量块倍周期序列的共存和混沌运动的共存。

由图8可知：系统在ω=1.198处发生的叉式分岔PF2，会诱导质量块M从稳定性较好的周期PS-3运动转迁为双稳态周期PAS-3运动，如图9(a)为激励频率ω=1.185时质量块的相图，此时质量块M呈现为反对称的周期PAS-3运动。随着激励频率ω的持续减小，系统在激励频率ω=1.168处进入反对称的倍化序列PD2，质量块M依次通过反对称周期PAS-6运动(ω=1.165)反对称周期PAS-12运动等倍周期序列进入反对称的混沌运动(ω=1.15)，随后又快速进入逆倍周期分岔IPD1，在ω=1.131处退化为周期PAS-3运动，倍化过程中对应的相图及截面图如图9(b)～图9(d)所示，均具有关于零点O中心对称的特点，从而形成“P(D)nP′多态域”内反对称倍周期序列的共存及反对称混沌运动的共存。当ω=1.109时，质量块M周期PAS-3运动在逆叉式分岔IPF1的诱导下退化为稳定性较好的周期PS-3运动。综上所述，随着激励频率ω的减小，质量块M在ω∈(1.109,1.198)时存在如下的周期运动转迁规律

使质量块呈现出了3对“P(D)nP′多态域”，此时，系统表现为一对反对称倍周期序列的共存及一对反对称混沌吸引子的共存。

图7 系统的相图与Poincaré截面图Fig.7 Phase diagrams and Poincaré map of the system

图8 图6局部放大拼接图Fig.8 Partial enlargement diagram of Fig.6

图9 系统的相图与Poincaré截面图Fig.9 Phase diagrams and Poincaré map of the system

橡胶隔振系统存在的非线性跳跃和分岔会诱导系统发生多态共存等复杂非线性动力学行为，从而导致系统稳定性与寿命逐渐降低，工程实际中，可通过调整系统参数或设计恰当的限幅装置，以镇定系统的理想周期运动，达到避免或限制系统有害振动发生的目的。

5 结 论

本文采用非线性Zener模型表征橡胶隔振系统，求解并通过多种方法对比了系统的瞬态响应与稳态响应，分析了中低频范围内橡胶隔振系统的分岔、混沌、“P(D)nP′多态域”及多态共存等复杂非线性动力学行为，得出以下结论：

(1) 本文所采用复数变量法和谐波平衡法所得的系统响应均可与数值结果及UM软件仿真结果良好匹配，为非线性Zener模型的求解提供了一种方法参考。

(2) 系统在周期运动转迁过程中受到叉式分岔、鞍结分岔、倍周期分岔和边界激变等分岔的诱导。系统在主共振区附近鞍结分岔的诱导下形成一对自对称周期运动的共存；在叉式分岔的诱导下系统从单稳态周期运动转迁为一对反对称周期运动的共存；发生于叉式分岔后的鞍结分岔会诱导系统从一对反对称周期运动共存转迁为两对反对称周期运动的共存，使系统呈现出周期四共存。

(3) 系统叉式分岔与逆叉式分岔诱导系统产生“P(D)nP′多态域”；在“P(D)nP′多态域”中，系统出现一对反对称周期倍化序列的共存及一对反对称混沌运动的共存。

上述研究结果与方法，可为黏弹性隔振系统的动态设计提供一定的理论依据，达到避开橡胶隔振系统的非线性跳跃和分岔的目的。