基于Matlab软件和超星平台的应用型工科线性代数课程改革与实践——以兰州工业学院为例

张豫冈,祁丽娟,纳仁花,王芳弟,汪海霞

(兰州工业学院 基础学科部，甘肃 兰州 730050)

1989年钱学森先生曾提出[1]：“工科的数学教学必须改革，数学课不是为了学生学会自己求解，而是为了让学生学会理解电子计算机给出的答案。”1990年美国提出了利用新的计算技术进行线性代数改革的建议[2]，其后实施了“利用软件工具加强线性代数教学”的ATLAST计划，Matlab成了美国学生学习线性代数必用的软件。2009年由西安电子科技大学陈怀琛教授主持的“用 Matlab和建模实践改造工科线性代数课程”项目[3]，重点解决线性代数与计算机相结合的实践问题。针对新建应用型本科院校学生的学情特点,线性代数的课程特点及传统线性代数教学状况，2017年我们学习借鉴西安电子科技大学陈怀琛教授的做法，开展了基于Matalb 软件和超星平台的应用型工科线性代数课程的改革与实践。

1 线性代数课程教学改革的目标及具体举措

课程教学改革的总体目标：在线性代数课程的教学内容、教学方法与手段、教学效果上，“突出应用性、增强实践性、体现现代化”。对标学生培养目标，重构教学内容，沿着“掌握理论-操作软件-应用案例-实践创新”四位一体的培养主线，侧重应用能力培养，体现以学生为中心的教学理念，借助Matalb数学软件，实现高效精准计算，利用超星课程平台丰富教学资源,延伸教学空间,完成学生学习过程精准考核。围绕改革目标，课程组具体做了以下四方面的探索与实践。

第一,对标应用型人才培养定位，重构教学内容,增设综合应用实验，培养学生的应用实践能力。课程教学内容体系中,广泛地联系生活场景及其他相关学科，从学生熟悉和感兴趣的问题出发，引出线性代数概念[4],突出知识的应用背景实例。例如通过通讯网络引出矩阵的概念，让学生理解矩阵的主要作用是用来存储信息的，而通过矩阵的运算可以更加方便地处理相关信息；通过矩阵的特征值、特征向量来讨论人口迁徙模型等。课程组开发了应用逆矩阵知识的信息的加密、解密与破译的实验[5]；应用邻接矩阵知识的航班可否到达城市判断的实验；应用线性相关性知识的混凝土的配比实验；应用向量组线性方程组知识的化学反应方程式配平实验；应用矩阵方程知识的企业投入产出模型实验等。这些数学模型和应用实验增强了学生应用线性代数知识和数学软件的兴趣及实践创新能力。

第二，引入Matlab软件，实现高阶复杂计算问题的高效精准求解。在教学组织上体现“机笔同讲、先笔后机、机笔并重、考核机算”的原则，在教给学生手工计算方法的同时教给学生Matlab机算方法，低阶问题学生可以手工求解，高阶问题学生可以利用Matlab机算方法高效精准求解，考试只要求学生机算完成。例如用det(A)命令，求矩阵A对应行列式的值；inv(A)命令，求矩阵A的逆；rank(A)命令，求矩阵A的秩；eig(A)命令，求矩阵A的特征向量等；用Matlab编程求解线性方程组。

第三，搭建超星课程平台，丰富教学资源,延伸教学空间,实现学生学习过程精准考核。课程组搭建了超星课程教学平台，目前课程平台已建成了包含微视频、实验报告、电子习题等109个任务点的线上学习任务群，通过超星课程平台实现了观看视频、阅读资料、课堂考勤、讨论、作业提交、单元测试、线上实验、辅导答疑等教学环节，全程记录学生的学习痕迹，重视过程性评价，使得本课程的管理和运行更加真实客观、高效规范。

第四，改进教学手段，精研教学方法，探索以学生为中心、以任务为驱动、以问题为导向的线上线下的混合教学模式[6]。课前，学生通过观看超星课程平台上录制“Matlab入门及编程初步”微视频任务点完成软件的入门自主学习，观看“预习实验”微视频完成预习实验任务；通过查阅资料、思考讨论，完成超星平台上教师布置的学习任务和问题进行课前预习。课中，教师通过平台手机端完成课堂考勤，选人答题，记录学生课堂回答问题成绩；在超星平台上在线完成实验报告填写；教师课堂线下教学，教师作为引导者注重启发引导学生学习，检查学生线上学习效果，探索翻转课堂教学模式。课后学生可以通过超星课程平台进行知识回顾，整理复习，完成课后作业，教师在线进行辅导答疑。通过实践总结探索出了线上和线下相结合，理论和应用相结合，讲授和实验相结合，软件求解和手工推演相结合的“四结合”教学模式。

例如在《线性方程组》这一章的教学过程中，课前在超星课程平台布置“二元线性方程组的几何意义是平面上两直线的公共点”“三元线性方程组的几何意义是空间上三个平面的公共点”的阅读资料，并布置4项任务点，分别是“任务一：可以用线性方程组求解的一个简单实际问题；任务二：3个不同情况解的二元线性方程组，并结合阅读资料画出线性方程组的图像；任务三：制作空间中三个平面的位置关系的模型；任务四：结合之前所学知识，利用Matlab求出三种不同情况解的增广矩阵的行最简形，并求出系数矩阵和增广矩阵的秩”，为课堂教学做好准备。

在课堂教学中，是以4个问题为导向，即“问题一：为什么学习线性方程组？问题二：线性方程组有没有解？有多少解？问题三：如何判别线性方程组解的情况？能否借助 MATLAB 实现？问题四：如果线性方程组的解不唯一时，如何求出线性方程组的所有解”？引导学生一步步自主探索线性方程组的解。首先通过任务一的分析求解——回答问题一；第二，通过任务二和任务三引导学生自己总结出线性方程组的解有三种情况，无解、唯一解和无穷多解——回答问题二；第三，通过任务四的计算和观察——回答问题三；最后，通过任务四中线性方程组的具体求解，总结方法步骤——回答问题四。在教学中践行以学生为中心、以任务为驱动、以问题为导向的教学理念。

2 线性代数课程教学改革的效果

2.1 学生考试成绩显著提升

1)教改班与传统班学生考试成绩比较。

对历年来教改班与传统班期末考试平均成绩做横向对比分析(见图1)，教改班的考试成绩趋于正态分布，及格率高于传统班13.96%，平均分高于传统班6.36分。从考试成绩来看教学改革取得了较好的效果。其中教改班的统计数据是自2016—2017学年第二学期开展教学改革以来6个学期，41个教学班，共计1 607名学生的期末考试平均成绩；传统班的统计数据是选自相应6个学期，41个教学班，共计1 647名学生的期末考试平均成绩。

图1 教改班与传统班期末考试综合成绩对比

2)近三学期教改班考试成绩比较。

对教改班近三学期末考试综合成绩做纵向对比分析(见图2)，三学期教改班考试成绩均呈正态分布，成绩优秀率持续提升，不及格率持续下降。2020—2021学年春季学期比2018—2019学年春季学期成绩优秀率提高了3.88%，不及格率下降了7.07%，说明教学改革效果持续提升。其中教改班的统计数据是近三学期24个教改班共计961名学生的期末考试综合成绩。

图2 教改班近三学期期末考试综合成绩对比

2.2 学生对教学改革效果满意度高

为全面了解教改班同学对“基于Matlab的线性代数”课程教学改革的认识、态度及取得的成效，以便进一步为同学提供良好的教学服务。2021年9月课程组采取网络问卷形式，以不记名方式对教改班同学进行“基于Matlab的线性代数”教学改革情况满意度问卷调查。调查对象覆盖了全校教改班同学，调查共收到有效问卷348份。由统计数据可知，本次调查结果比较全面地反映了教改班同学对“基于Matlab的线性代数”课程教改效果的满意度，教改班同学对该课程教改效果总体满意度达到93.96%，说明该课程教改整体质量较高，学生较满意。学生对该课程教学改革的支持率为98.85%，学生对该课程的实验课形式满意率为94.54%，学生对该课程的考核方式满意率为93.97%(见图3)。

图3 学生对该课程教改效果的满意度

2.3 课程组教师所指导学生参加全国大学生数学建模竞赛成绩不断提高

2017—2020年，课题组教师指导学生参加的近4届全国大学生数学建模竞赛，取得了省级特等奖2项，省级一等奖1项，省级二等奖3项的好成绩，说明通过该课程的改革与实践，教师和学生的Matlab编程和应用实践能力均得到了提升。

2.4 课程平台资源不断丰富

五年来，通过对41个班级1 607余名学生的教学实践，已建成了较为丰富的课程平台资源。建成76个教学微视频、1 009道电子习题、109个任务点的线上学习任务群等。随着教学改革的逐步深入，教学内容不断完善，教学方法不断优化，学生学习热情不断高涨(截至目前，本课程超星课程平台浏览量已达435.69万余次)，教学改革效果逐步凸显。

3 线性代数课程改革的设想及推广应用前景

尽管兰州工业学院线性代数课程教学改革效果较为显著，但教学改革是长期探索和研究的过程，课程建设永远在路上。本着教学活动为培养目标服务的原则，今后我们将尝试做到以下几点：一是补充更新丰富课程实验内容、扩充题库、更新视频，丰富课程平台教学资源。二是根据教学内容进一步提炼思政元素，将其融入课程组编写的《基于Matlab的应用线性代数》教材中，融入教学过程中，进一步发挥好课程育人的功能。三是在超星课程平台中给学生精选推送考研相关内容，弥补课程内容体系对线性代数理论性的削弱，为准备考研和深入学习的学生进行知识补充。

基于Matlab软件和超星平台的应用型工科线性代数课程改革与实践，就线性代数课程而言可向应用型本科院校、高职高专院校推广；其教学模式可向应用软件类课程推广，如在我校已在运筹学、大学数学实验课程中进行了推广应用，并取得较好的教学效果。

4 结语

线性代数课程的教学改革，遵循“理论学习必须以应用为目的”的教学指导思想，强化数学思维的引导，激发学生的探究兴趣。同时选取有专业背景的问题进行线性代数知识应用训练，培养理工科学生分析问题与解决问题的能力以及计算机程序开发和数据分析能力，切实提高线性代数教学效果和人才培养成效，使更多的学生能在新模式教学中受益，亦希望我们的改革模式能够为应用型院校线性代数教学改革提供参考借鉴。