基于旅行商问题的智能快递柜服务定价

余瑶沁　连峰　杨忠振

摘要：为给智能快递柜服务合理定价，分析快递柜服务对快递员和不在宅收件人的价值，构建末端配送的旅行商问题模型，提出在不同的快递交件条款和收件人在家不确定性情况下的快递柜服务价值计算方法。基于快递柜服务价值确定收件人和快递员应支付的费用。以某快递员责任范围内的实际配送数据为例，分3种情形计算快递员的配送距离，根据节约的配送成本计算快递柜服务价值，根据受益者负担原则确定收件人和快递员需要支付的快递柜服务价格。当所有收件人都在宅但把全部快件投递入柜时，快递柜按0274元/单收费;当41%的收件人不在宅但把全部快件投递入柜时，快递柜向快递员和不在宅收件人分别按0273元/单和1005元/单收费;当把不在宅收件人的快件投递入柜而在宅收件人的快件投递到户时，快递柜向不在宅收件人按1077元/单收费。

关键词：  旅行商问题（TSP）; 电商配送; 最后一公里; 智能快递柜; 服务定价

中图分类号：  F259.2文献标志码：  A

Service pricing of intelligent delivery lockers based on

traveling salesman problem

Abstract： In order to reasonably price the service of the intelligent delivery lockers （lockers， in short）， the locker service values for deliverymen and consignees who are not at home are analyzed， the traveling salesman problem （TSP） model for terminal delivery is built， and the method for calculating the locker service value is put forth under different express delivery terms and the uncertainty of the consignees at home. Based on the locker service value， the fees that consignees and deliverymen should pay are determined. Taking a deliveryman’s real delivery data within his distribution area as an example， the roundtrip distance of the deliveryman is calculated for three situations. According to the saved delivery cost， the locker service value is estimated， and the service prices paid by the deliveryman and consignees are determined based on the beneficiary bearing principle. When all the consignees are at home but all the parcels are delivered into lockers， the lockers charge 0274 CNY per order. When 41% of consignees are not at home but all the parcels are delivered to lockers， the deliveryman and the consignees who are not at home should pay 0273 CNY per order and 1005 CNY per order， respectively. When the athome consignees’ parcels are delivered to doors and the notathome consignees’ parcels are delivered to lockers， the notathome consignees should pay 1077 CNY per order.

Key words： traveling salesman problem （TSP）; ecommerce delivery; last mile; intelligent delivery locker; service pricing

背景介紹

近十年来，电子商务和电商物流高速发展，营业额持续高涨，但与城市交通一样电商物流配送也面临着“最后一公里”难题，我国“最后一公里”配送成本约占电商物流总成本的30%[12]。在网上零售购销两旺的20多年来，为降低“最后一公里”配送成本，快递公司缩短了配送链的长度，把配送末端由分散的地点调整为集中的地点。这种做法违背了《快递暂行条例》的规定，即快递公司应把快件配送到约定的收件地址、收件人或收件人指定的代收人，并告知收件人或代收人当面验收。按规定不论收件人因何种原因、有多少次不在指定的地点，快递员为把快件送到收件人手中，可能要为1个快件进行多次“最后一公里”配送[3]，这必然会增加配送成本，降低配送效率。因此，有理由认为用降低“最后一公里”配送服务的质量来节约成本是快递公司不得已而为之的行为，也可能是实现绿色低碳配送的一个有效途径。

菜鸟驿站和智能快递柜是在上述背景下产生的商业模式。智能快递柜作为配送末端节省了快递公司的配送成本，收件人通过少量的隐形付出（由指定的收货地址到智能快递柜的出行成本）获得了相对满意的配送服务。智能快递柜分布密集，因而收件人的人居生活质量并不会由于取件而恶化。直到2019年底，快递柜模式下收件人都不支付额外的费用，快递柜只向快递公司收取费用。然而，从2020年4月30日起，智能快递柜运营商丰巢科技有限公司推出会员制，为普通收件人免费保管快件12 h，之后每12 h收取05元/单（3元封顶）的保管费。这一举措引起了热议：部分收件人认为快递柜是一种服务，应该为使用快递柜支付费用;也有收件人认为快递柜是为快递公司服务的，不应该“双向收费”;还有部分人认为“超时后每12 h收取05元/单”的标准缺乏科学性。国家邮政局声明，丰巢调整免费保管期限的行为虽未违反规章禁止性规定，但存在着全局站位不高、风险评估不够、征询意见不足、应对处置不妥等问题[4]。

实际上快递柜服务定价问题是典型的经济学问题，即服务的价值与价格的关系问题。经典的定价方法有成本导向法、竞争导向法和市场导向法3种。其中，成本导向法以产品或服务成本为基础由供给方主导确定价格，原则是在不亏本的前提下最大化产品或服务的利润[5];竞争导向法通过密切关注竞争对手的价格，以竞争对手的价格为主要依据确定自己产品或服务的价格[6];市场导向法是一种依据消费者对产品或服务价值的认知和需求强度来决定销售价格的方法[7]。目前，公众对快递柜向快递公司收费没有异议，这是因为快递公司利用快递柜服务降低了“最后一公里”的配送成本，获得了价值。要判断快递柜服务是否对收件人具有价值，需要明确《快递暂行条例》中对快递服务的界定。这其中的关键问题是，为达到把快件配送到收件人指定的收件地点的要求，快递员必须进行的配送次数。如果是无限次配送，收件人就不需要为快递柜服务支付费用。然而，消费者购物支出中包含的快递费不可能包含无限次配送服务的费用，如果快件配送因收件人不在指定的收件地点而失败，快递公司就不再承担责任，收件人就应根据其受益程度支付快递柜服务费。鉴于此，有理由认为《快递暂行条例》的规定是以一次配送成功，而不是无限次配送后成功为条件的。因此，快递柜公司向收件人收取服务费具有一定的理论依据，但收费标准或者服务价格是值得深入分析与研究的科学问题。

本研究的贡献在于，基于收件人在宅的不确定性，用旅行商问题（traveling salesman problem，TSP）模型优化“最后一公里”配送的巡游路径，通过比较收件人不同在宅概率下的配送成本和收件人的得失，确定快递柜服务对快递员和收件人的价值，并基于市场导向定价法确定收件人不同的在宅概率下的快递柜服务的价值与价格。

1文献综述

“最后一公里”配送成本高、效率低很大程度归咎于收件人不在收货地址引起的重复配送，为解决这一问题，快递企业、电商甚至社区都在积极建设或设置包裹接收箱（即快递柜）。近年来，国内外学者对智能快递的服务模式进行了研究。KMRINEN等[8]认为把快递柜引入配送体系中能降低40%的配送成本。IWAN等[9]对波兰InPost公司经营的快递柜的研究表明，快递柜的使用能削减重复配送所增加的交通量。ZHANG等[10]分析了收件人等待送货上门的弊端，认为快递柜能减少快递员和消费者的时间限制，提高“最后一公里”配送的效率。VAN DUIN等[11]认为把包裹寄存在快递柜或零售点可节约配送成本，并计算了在阿姆斯特丹把1 770个包裹分别投送到1 770个收件点和47个站点（柜）时的配送成本差，发现集中投送时每年可节约121 356欧元的配送成本。DEUTSCH等[12]以快递柜的运营利润最大为目标，提出一种快递柜的数量、位置和尺寸的规划方案，并建议对顾客采取奖励或罚款措施以达到顾客及时领取快递的效果。解亚宸等[13]从市场需求对快递柜公司收益的影响的角度进行快递柜的动态定价研究，建立了智能快递柜寄取件的动态收费模型。

在定价方法上，学者们在3种经典定价方法的基础上进行了深化研究。吴涛等[14]基于经济学原理和收费理论，分析公共停车收费的必要性和目的，根据成本导向定价法提出了一种计算公共停车收费价格的两阶段方法。薄颖等[15]阐述了铁路物流企业全程物流服务的定价原则，分析了铁路物流的流程及成本组成，制定了全程物流服务的定价策略，实例分析结果表明：相较于客户差异定价法和竞争导向定价法，采用成本导向定价法能够带来更高的收益。RAULINAJTYSGRZYBEK[16]对国家公共卫生服务价格制定进行了综述，发现监管机构会根据医院的成本制定和更新服务价格，进而提出并比较了不同国家在医疗保健领域用于定价的成本核算模型。刘畅[17]考虑了顾客行为，建立了同时考虑价格和配送时间的效用模型和利润模型，研究传统门对门配送和快递柜自提配送双模式下的最优定价决策，分析结果表明，考虑顾客行为和市场需求的异价策略比同价策略更有优势。黄临娜[18]认为近年来快递行业业务量的增长引发了低成本、低服务水平的快递企业之间的价格战，分析了快递行业价格影响因素及定价方法，并提出应根据顾客感知价值层次差异实施差异化定价策略。GONZLEZBENITO等[19]提出一种定价决策支持模型来预估最优的零售价格，其案例分析显示了非对称竞争结构对需求和价格优化决策的作用。综上可知，市场导向定价法和竞争导向定价法适用于零售商品、股票产品以及投资贷款类产品的定价，而成本导向定价法适用于物流服务、公共服务等的服务定价。由于快递员和收件人都是快递柜的消费者，因此成本导向定价法可能最适合快递柜服务定价。

快递柜服务价值与快递员配送和收件人在宅与否密切相关，快递员把快件投递到离散的具有在宅不确定性的收件人手中肯定比投递到适度集中的具有固定位置的快递柜的成本更高。这也是我国城市快递成本比西方发达国家的低的主要原因。与我国的集合居住相比，发达国家的分散式独居使得快递员投递同样数量的快件要行走更长的路程。城市內快递员投递快件是典型的TSP，采用TSP优化模型设计投递路线可以最小化快递的投递成本。因此，利用TSP模型分析投递到宅与投递入柜的成本之差是确定快递柜服务价格的关键。

TSP模型被广泛应用于车辆配送路径优化和快递配送成本计算上。KASPI等[20]研究了以单位时间利润最大化为目标的TSP。严洁云等[21]把城市零售商品配送车辆路径优化问题分解成一个分派问题和一个TSP，应用空间分析中的梯森分割理论设计求解TSP的改进插队算法，并将其应用于车辆巡回路径寻优问题的求解。张梦颖等[22]构建考虑客户随机选择的TSP模型，根据车辆行驶里程计算采用不同模型的配送成本，案例分析结果显示，利用构建的模型能找到利润最大的配送路径。FEILLET等[23]对盈利性的TSP进行分类梳理发现，各被访问地点可能获取的利润各异，且旅行商无需访问所有地点，其总目标是同时优化利润和巡游成本。HA等[24]提出一种新的无人机TSP，用TSP模型优化无人机的行驶路径，达到使包括运输成本和等待惩罚成本在内的总运营成本最小。

在我国，快递柜主要由电商企业、物流企业或快递柜企业建设经营，面向快递企业和收件人收发快件，盈利模式尚不明确，有关快递柜服务定价的研究尚处于起步阶段，TSP或车辆路径问题模型更多被应用在快递员或配送中心的路径优化方面。鉴于此，本文要明确快递柜服务的性质和价值，基于TSP模型测算不同配送模式下的快递配送成本，然后基于成本导向定价法确定快递柜服务价值，并分析收件人在宅和不在宅情况下快递柜的收费对象和受益者负担的水平。

2基于TSP模型的快递柜定价方法

2.1“最后一公里”配送的TSP模型

“最后一公里”配送可以描述为：快递员在分拨中心把某时间段内负责的所有快件装车后，根据优化路线把快件配送到收件人手中，之后返回分拨中心。这是典型的TSP，决策目标为配送成本最低。模型假设：（1）收件人一定在指定的收件地点;（2）快递员为每个收件人只配送一次;（3）配送车辆的装载能力大于快递员一次配送的快件量;（4）不考虑道路拥堵状况，配送车辆按自由流车速行驶;（5）快递员与收件人交接的时间忽略不计。模型涉及变量：C为配送总成本;c为单位距离配送成本;dij为从收件人i到收件人j的距离;xij为01决策变量，若快递员从收件人i到收件人j则xij=1，否则xij=0。

构建模型如下：

（1）

（2）

（3）

（4）

式（1）表示优化目标为总配送成本最低。式（2）和（3）表示在当次配送中向每个收件人只配送一次，且配送路径以配送中心为起点和终点，形成一个闭环。式（4）为一个充分约束条件，其中引入了实数ui（i=1，2，…，n）来避免配送路径中出现子闭环，即所有收件人与配送中心构成一个连通块。用式（4）来保证收件人i与收件人j之间不会形成子闭环，若形成子闭环则有ui-uj≤-1，uj-ui≤-1。

2.2收件人在宅不确定时产生的额外配送成本

求解上述TSP模型可以得到在上述假设条件下的配送总成本。根据快件多为小件包裹的特点，若所有收件人平均分担配送成本，则单位配送成本为=C/n。理论上，根据电商平台、收件人和快递公司的合约，包含在消费者支付款中。按照约定，单位配送成本已由消费者在购物时支付给电商平台，电商平台又通过转移支付的形式支付给快递公司，因此所有配送成本都应该由快递公司负担。

然而，当假设1不成立时，会发生配送失败，这就需要进行二次甚至多次配送，从而产生额外的配送成本。收件人在宅不确定性越高，配送失败的次数就越多，产生的额外配送成本就越高。显然，配送失败导致的额外配送成本并没有包含在单位配送成本内，按照受益者负担原则应该由消费者（即收件人）负担。在配送失败的情况下，收件人j需要负担的额外费用为（5）式中：p为收件人不在宅的概率，要根据针对不同地区和人群的统计数据确定;l和s分别为由于配送失败而产生的单位卸装费用和单位仓储费用。在一次巡游配送中由于配送失败而产生的总额外费用为（6）

2.3采用快递柜服务可节约的配送成本

即使收件人一定在指定的收件地点（假设1成立），沿TSP模型输出的路线逐一向分散的收件人配送，其成本也较高。为减少配送成本和提高配送效率，可把快件投递入柜。此种情形下，收件人要付出时间和精力前往快递柜取件，因此要对收件人进行一定的补偿。此时的TSP模型结构与式（1）～（4）相同，但收件人集合由{1，2，…，n}变为{j1，j2，…，jm}，即收件人被分成m组，每组指定一个收件地点jk。此时，配送总路程减少从而配送总成本减少。

当假设1成立时，采用快递柜服务可节约的配送成本为（7）当假设1不成立时，采用快递柜服务还能节约对配送失败的快件进行重复配送的成本Ca，此时节约的配送成本为（8）ΔC也可被看作收件人购买的快递服务的质量损失。因此，当收件人在指定的收件地點时，快递员不但要负担快递柜服务费，还应通过电商平台对收件人给予损失补偿。

2.4快递柜定价模型

由以上分析可以看出，快递柜服务是有价值的，其定价和费用负担决策取决于快递员的配送方式和收件人是否在指定的收件地点。分以下3种情形进行讨论。

2.4.1收件人全部在宅，但全部投递入柜（情形1）

此时快递柜服务费应全部由快递员负担。快递员完成一次巡游配送应负担的费用（9）式中：r1为快递柜给快递员的返点比例，以此激励快递员使用快递柜;r2为给收件人的补偿比例。

此时，快递员获得的返点收入和收件人获得的补偿分别为R1=r1ΔC，R2=r2ΔC。

2.4.2部分收件人在宅，但全部投递入柜（情形2）

如果假设1不成立，快递员把快件全部投递入柜，则快递员和不在宅收件人应根据受益者负担原则共同负担快递柜服务费并补偿在宅收件人。快递员负担的费用F1通过式（9）计算得到，其他计算式如下：

式中：F2为不在宅收件人负担的费用，等于配送失败产生的额外费用减去不在宅收件人的取件成本（即补偿部分）;F为快递柜的收入，等于快递员和不在宅收件人向快递柜支付的费用之和减去快递员获得的返点收入。式中的p要根据针对不同地区和人群的统计数据确定。

2.4.3不在宅收件人的快件入柜，在宅收件人的快件投递到户（情形3）

在该情形下，快递员并不知道收件人是否在宅，因此快递员要访问所有的收件人。此时要考虑快递员到快递柜的移动成本和快递柜的服务费。这2项原则上都应由不在宅收件人负担，但由于快递柜分布密集，快递员到快递柜的移动成本可忽略不计，因此收件人只需负担快递柜服务费即可。根据受益者负担原则，每个不在宅收件人需支付的费用等于因配送失败而进行二次配送的费用，计算式如下：

3案例分析

以顺丰快递在浙江省宁波市春晓街道的快件配送为例，计算各种配送模式下的配送成本和快递柜服务费。

3.2求解及结果分析

采用Dijkstra最短路径算法计算得到收件点之间的最短交通距离（dij），然后利用CPLEX软件求解上述TSP模型，得到的配送路线见图2和3。

全部投递到户情形、情形1、情形2和情形3下快递员在一次巡游配送时的行走路程分别为3958、1789、1789和4018 km，配送过程中停车投递快件的次数分别为70、12、12和82次。

根据求解结果计算3种情形下的配送成本、使用快递柜节约的配送成本及相关费用等，见表2。

当收件人全部在宅，但把快件全部投递入柜时（情形1），与收件人全部在宅、全部投递到户情形相比，快递员可缩短547%的配送路程，配送成本减少了3826元，每单节约了0547元的配送成本。之所以能节约成本，是因为快递柜服务使快递员得以把快件暂存，待收件人前往取件。此时，快递员应补偿快递柜和收件人。按照设定的返点和补偿比例r1=03，r2=02，快递柜的收入为0274元/单，收件人得到的补偿为0109元/单，而快递员得到的返点收入为0164元/单。

当41%的收件人不在宅，但把快件全部投递入柜时（情形2），与41%的收件人不在宅、全部投递到户情形相比，快递员可缩短5547%的配送路程，配送成本减少6908%（减少了7054元的配送成本，每单节约了1008元的配送成本）。节约的成本来自因集中投递而减少的配送路程以及不再为不在宅收件人进行二次配送节省的成本。此时，快递员和不在宅收件人应共同负担快递柜的成本，根据收件人不在宅概率可确定快递员和不在宅收件人的分担比例。此时，快递员和不在宅收件人应分别向快递柜支付0273元/单和1005元/单的费用，快递柜的收入为0565元/单。快递员得到的返点收入为0289元/单，在宅收件人得到的补偿为0109元/单。

当把在宅收件人的快件投递到户，不在宅收件人的快件投递入柜时（情形3），与收件人不一定在宅、全部投递到户情形相比，快递员可节约配送成本3058%（减少了3122元的配送成本，每单节约了0446元的配送成本）。这部分节约源于快递柜为不在宅收件人（29人）提供了寄存服务，因此不在宅收件人应负担快递柜的服务费，支付金额应等于因配送失败而增加的费用，本案例中为1077元/单。

以上分析表明，把快件投递入柜是解决“最后一公里”配送问题的有效方法，快递柜服务可大幅度节省配送成本，改善为不在宅收件人服务的水平。因此，快递柜服务应收费，且根据不同的情景（快递服务条款）可以同时向快递员和收件人双方收费，收费标准取决于为快递员和收件人提供的服务的价值，可通过求解TSP模型进行测算。由于TSP的解因配送量、配送范围和城市道路交通状况不同而异，所以对不同区域和地区应分别选取典型案例实施数值分析，制定细化的快递柜收费标准。

4结论

通过解读快递配送服务的指标规范，明确在当前法规下快件交接的内涵，分析快递柜服务在“最后一公里”配送中的作用，明确了快递柜服务的价值构成，为快递柜收费提供了理论依据。提出旅行商问题（TSP）模型计量快递柜服务价值，进而确定快递柜服务的定价方法。案例分析结果显示，快递柜的服务价值随快递服务条款的不同而异，因收件人在宅的不确定性而异。当收件人肯定在宅时，快递柜的服务费应由快递员负责支付;当收件人在宅具有不确定性时，快递员和不在宅收件人应基于受益者负担原则分别向快递柜服务支付费用。速易递公司发布的数据（2016年）显示快递柜平均每天可周转两次（相当于周转周期为12 h），因此本文计算得到价格是存放12 h的收费，此后每超过12 h都应该叠加计费。

近年来的经验表明，智能快递柜是解决城市配送“最后一公里”问题的有效方法，本文基于快递柜服务的价值提出快递柜收费的成本导向定价法，该方法可作为快递柜公司、快递公司和收件人协商定价的科学依据。快递柜本身的建造和维护需要费用，因此在基于市场导向定价法确定的价格水平无法保证快递公司盈利的情况下，为使这种新的商业模式得以生存，快遞柜公司、快递公司和收件人尚需根据实际情况适当参考成本导向定价法确定的价格，对市场导向定价法确定的价格进行修正。

参考文献：

[1]VAN EWIJK B J， STEENKAMP JB E M， GIJSBRECHTS E. The rise of online grocery shopping in China： which brands will benefit？[J]. Journal of International Marketing， 2020， 28（2）： 2039. DOI： 101177/1069031X20914265.

[2]张锦， 陈义友. 物流“最后一公里”问题研究综述[J]. 中国流通经济， 2015， 29（4）： 2332. DOI： 103969/j.issn.10078266201504004.

[3]MCLEOD F， CHERRETT T， SONG L Y. Transport impacts of local collection/delivery points [J]. International Journal of Logistics Research and Applications， 2006， 9（3）： 307317. DOI： 101080/13675560600859565.

[4]宣飞雨， 储丽琴. 丰巢超时收费背后的快递价格战争： 基于五个利益方博弈本质探讨[J]. 物流工程与管理， 2020， 42（9）： 5557. DOI： 103969/j.issn.16744993202009019.

[5]DAN P. Trading options Greeks： how time， volatility， and other pricing factors drive profits[M]. London： John Wiley & Sons， Inc， 2012： 323.

[6]纳格， 查莱， 陈兆丰. 定价战略与战术： 通向利润增长之路[M]. 5版. 北京： 華夏出版社， 2012： 117.

[7]苏素. 产品定价的理论与方法研究[D]. 重庆： 重庆大学， 2001.

[8]KMRINEN V， SARANEN J， HOLMSTRM J. The reception box impact on home delivery efficiency in the egrocery business[J]. International Journal of Physical Distribution & Logistics Management， 2001， 31（6）： 414426. DOI： 101108/09600030110399414.

[9]IWAN S， KIJEWSKA K， LEMKE J. Analysis of parcel lockers’ efficiency as the last mile delivery solution： the results of the research in Poland[J]. Transportation Research Procedia， 2016， 12： 644655. DOI： 101016/j.trpro.201602018.

[10]ZHANG S Z， LEE C K M. Flexible vehicle scheduling for urban last mile logistics： the emerging technology of shared reception box[C]//IEEE International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management. IEEE， 2016： 19131917.

[11]VAN DUIN J H R， WIEGMANS B W， VAN AREM B， et al. From home delivery to parcel lockers： a case study in Amsterdam[J]. Transportation Research Procedia， 2020， 46： 3744. DOI： 101016/j.trpro.202003161.

[12]DEUTSCH Y， GOLANY B. A parcel locker network as a solution to the logistics last mile problem[J]. International Journal of Production Research， 2018， 56（2）： 251261. DOI： 101080/0020754320171395490.

[13]解亚宸， 崔立新. 智能快递柜的动态定价研究[J]. 物流技术， 2019， 38（10）： 114119. DOI： 103969/j.issn.1005152X.201910022.

[14]吴涛， 晏克非， 李枫. 城市公共停车收费定价的研究[J]. 上海铁道大学学报（理工辑）， 1999， 20（12）： 1620.

[15]薄颖， 朱晓宁， 孙雪亮. 基于全程物流服务下的铁路物流企业定价研究[J]. 铁道运输与经济， 2013， 35（6）： 510.

[16]RAULINAJTYSGRZYBEK M. Cost accounting models used for pricesetting of health services： an international review[J]. Health Policy， 2014， 118： 341353. DOI： 101016/j.healthpol.201407007.

[17]刘畅. 考虑快递柜自提的网络零售商决策研究[J]. 物流技术， 2017， 36（6）： 144156. DOI： 103969/j.issn.1005152X.201706034.

[18]黄临娜. 浅析中国邮政快递业务产品定价策略[J]. 现代经济信息， 2016（16）： 340341. DOI： 103969/j.issn.1001828X.201624271.

[19]GONZLEZBENITO ， MARTNEZRUIZ M P， MOLLDESCALS A. Retail pricing decisions and product category competitive structure[J]. Decision Support Systems， 2010， 49（1）： 110119. DOI： 101016/j.dss.201001009.

[20]KASPI M， ZOFI M， TELLER R. Maximizing the profit per unit time for the travelling salesman problem[J]. Computers & Industrial Engineering， 2019， 135： 702710. DOI： 101016/j.cie.201906050.

[21]严洁云， 肖桂荣， 石松， 等. 基于梯森分割的城市物流配送路线优化选择[J]. 计算机工程与应用， 2005（36）： 210212.

[22]张梦颖， 秦进， 梁樑. 包含随机客户的选择性旅行商问题建模及求解[J]. 运筹与管理， 2018， 27（5）： 814. DOI： 1012005/orms.20180105.

[23]FEILLET D， DEJAX P， GENDREAU M. Traveling salesman problems with profits[J]. Transportation Science， 2005， 39（2）： 188205. DOI： 101287/trsc.10300079.

[24]HA Q M， DEVILLE Y， PHAM Q D. On the mincost traveling salesman problem with drone[J]. Transportation Research Part C， 2018， 86： 597621. DOI： 101016/j.trc.201711015.

（编辑赵勉）

收稿日期： 20210331修回日期： 20210524

作者简介： 余瑶沁（1996—），女，重庆人，硕士研究生，研究方向为交通运输规划与管理，（Email）2294681662@qq.com;

连峰（1965—），女，辽宁大连人，教授，博士，研究方向为物流与供应链管理， （Email）lianfeng@nbu.edu.cn;

杨忠振（1964—），男，辽宁凌海人，教授，博士，研究方向为城市物流系统设计，（Email）yangzhongzhen@nbu.edu.cn