基于增益自适应滑模观测的PMSM无传感器控制

李 庆，王 彦

（南华大学电气工程学院，湖南衡阳 421001）

0 引言

永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）自身体积小、功效高、转矩大、动态性能好，所以广泛应用于航天事业、电力能源以及电动汽车等领域[1]。传统式PMSM转子位置信息的获取一般离不开机械传感器的安装，这不仅增加了系统运转的费用，还存在可靠性差、安装维护困难等问题。因此，在一些特定场合，PMSM 无法发挥自身优点。为了打破机械传感器存在的约束，国内外越来越多的学者投入到无位置传感器控制技术的研究中。

目前，无位置传感器控制方法主要有注入高频信号法和反电动势模型法，前者主要适用于零低速域，后者则适用于中高速域。高频信号注入法就是注入外部激励信号，得到的响应信号进行滤波处理，进而从中获得转子位置信息[2-6]；反电动势模型法主要包括扩展卡尔曼滤波法、模型参考自适应法、滑模观测器法（Sliding Mode Observer，SMO）[7-9]等方法。

滑模观测器法对电机参数以及外部信号的抗干扰能力较强，鲁棒性较强[10]，但开关特性会导致系统运行时存在抖振情况，这直接影响观测器输出的反电动势的精度，进而影响位置信息观测精度。因此，削弱抖振成了提高观测器精度的关键。

李冉[11]，Lee H[12]，KANG W X[13]采用Sigmod 函数 以削弱传统开关特性所带来的抖振情况，但其动态性能不是很好。Tang H[14]设计了双曲正切函数和卡尔曼滤波测器改进的滑模算法，在一定程度上抑制了系统的抖振。宋哲[15]在速度环中采用SMO 控制代替原有的PI控制，提高了一定的控制性能，加快了系统响应速度。但是观测精度未得到很大的提高。从上面可以看出，虽然目前改进的滑模控制方法中有的可以削弱抖振，有的可以提高估计精度，但是大部分方法是无法两者兼得。

本文对表贴式PMSM 中高速域进行无位置传感器研究。为了解决传统滑模观测器系统抖振严重等问题，提出一种增益自适应的算法取代滑模固定增益，形成增益自适应的滑模观测器。

1 PMSM的数学模型

本文使用的是表贴式三相永磁同步电机，其直轴电感分量Ld、交轴电感分量Lq以及同步电感Ls三者相等，即Ld=Lq=Ls。PMSM在α-β坐标系下的电压方程如下：

式中：uα、uβ和iα、iβ分别为定子电压和电流在α、β轴的分量；p为微分算子；Eα、Eβ分别为α、β轴的反电动势分量；Rs、Ls分别为定子绕组的电阻、电感；ψf为永磁体磁链；ωe为电机转子旋转电角速度。

将式（1）转换为电流方程，得：

由式（3）建立滑模电流观测器方程：

将式（3）与式（4）相减，可得定子电流误差方程为：

要保证系统稳定运行，式（6）中的k需满足：

2 增益自适应滑模观测器设计

2.1 滑模观测器设计

基于Lee H[16]提出的适用于PMSM 的增益自适应的滑模观测器，本文方案结构如图1所示。

图1 增益自适应滑模观测器

首先，根据PMSM 数学模型，构造滑模电流观测器，但其中的滑模增益由原来的固定增益替换成根据观测电流差变化的自适应增益，使得滑模增益随着速度、电流的变化自我调节到一个最优值。

滑模观测器重新设计为：式中：k（t）为滑模观测器自适应增益；即观测器观测值与测量值之差。

式中：A为增益调节参数，且A＞0。

式中：B为足够大的正常数，满足为增益调节参数，且C＞0；η为通过低通滤波器处理所输出的平均值；ε 为低通滤波器的时间常数，且ε＞0。

因此，α相、β相滑模观测器分别设计为：

式中：kα(t)、kβ(t)分别为α、β相的自适应滑模增益。

将式（3）与式（12）、式（13）中的定子电流方程做差可得α相、β相滑模观测误差方程为：

将滑模切换面定义为：

起初电机运转时，滑模观测误差不为0，自适应增益k（t）处于上升阶段，当估计误差到达滑模切换面上后。为了削弱外部干扰，增益k（t）缓慢减小，直至滑模平衡态被破坏，即误差再次脱离滑模切换面，此时滑模增益将根据系统需求通过自适应算法再一次调整，直至系统再一次到达稳定滑模面。下面证明自适应增益能在一定时间内使观测误差到达滑模切换面，实现此证明需要引入以下几个引理。

引理1[16]：对于系统以及滑模变结构有：

引理2[16]：对于如式（12）、（13）所设计的滑模观测器，以及如式（15）的滑模变结构存在正常数满足

证明：α相与β相无耦合关系，所以选择α相来证明，式（13）中1 对应于式（15）中因 为 易 知有 界，且Rs、Ls为正常数，所以可得有界且大于0。所以由引理1可知，存在一个正常数满足同理可证β 相存在所以综上，引理2得证。

引理3[16]：对于如式（12）、（13）设计的滑模观测器，当时，若kα(t)(kβ(t))大到可以抗干扰，那么系统便能够在滑模面上稳定运行。

引理4[17]：

（1）系统状态空间中，若滑模面s满足＜0，则在滑模面s= 0以外的所有状态点，最终都能到达滑模面。

（2）一般通过Lyspunov 第二法判定系统能否在滑模面上稳定运行。

①当且仅当x= 0时，V(x) = 0；

②当x≠0时，V(x) ＞0；

③当x≠0时，

定理1：对于如式（12）、（13）的滑模观测器以及如式（14）的滑模观测误差结构，存在t0，满足t＞t0时，即滑模运动处于稳定状态。

只证明α相，因为α相和β相两相独立互不影响，β相同理可证。

对函数V进行求导可得：

式中：Ls、Rs为正常数。

综上所述，增益自适应滑模观测器可根据外界参数变化而自动调节滑模增益，不仅能保证系统可达到滑模稳态，还可削弱滑模增益相对过大导致的抖振，对转子转速观测精度的提高也起到了一定的作用。

2.2 转子转速及位置得提取

因为本文采用的是传统开关函数，而实际的控制量信号不连续，并且频率高，因此通过增加低通滤波器来输出连续的反电动势信号。但这会使处理过的反电动势估计值出现相位延迟，直接影响转子位置估计精度。因此，相位延迟所带来的估算误差通常通过角度补偿来减小。增益自适应滑模观测器获取转子转速及位置的具体算法如下：

3 仿真分析

在Matlab∕Simulink 中搭建PMSM 矢量控制模型，并与增益自适应滑模观测器相结合对转子位置及转速进行仿真研究。仿真所采用的PMSM 模型的额定参数如下：极 对 数pn= 4， 磁 链ψf= 0.175 Wb， 转 动 惯 量J=0.001kg · m2，阻尼系数B= 0，定子电阻Rs= 2.875 Ω，定子电感Ls= 8.5 mH；直流侧电压U= 311V。

图2所示为自适应算法的仿真结构图。

图2 自适应算法仿真

3.1 仿真1：空载条件下期望转速设定为n = 600 r∕min

仿真结果如图3～6 所示。由图3（a）和图4（a）可明显看出，传统滑模观测器估计的转速及位置波形中抖振现象比较严重，转速稳定范围约为598～611 r∕min；与之对比，图3（b）和图4（b）中增益自适应滑模观测器所估计的转速及位置波形中的抖振现象得到了显著的削弱。转速稳定在605 r∕min 左右。若滑模增益相对系统需求过大会加剧抖振现象，增益相对过小则不能满足系统稳态需求。增益自适应算法会根据系统的变化进行滑模增益调节，使得滑模增益大小与系统实时匹配，而传统滑模增益为固定的，当其增益大小对于系统来说过大，则会出现严重的抖振情况。

图3 转速估计波形对比

图4 转子位置估计波形对比

图5（a）和图5（b）中分别为传统滑模观测器和增益自适应滑模观测器的转速估计误差波形图。可看出，增益自适应滑模观测器观测得到的转速误差的波形抖振情况相较于传统控制方法有了明显的减弱，并且，相同条件下，传统滑模观测器观测得到的转速误差稳定于±7 r∕min 内；而增益自适应滑模观测器观测得到的转速误差稳定于±1r∕min 内，远小于前者。图6 为两者的转子位置误差对比波形图，传统滑模观测器观测到的位置误差稳定于（0.015，0.035） rad 范围内，而改进后观测得到的转子位置误差稳定于（0.024，0.026）rad 范围内，抖振情况较传统方法有一定的抑制效果。

图5 转速估计误差波形对比

图6 转子位置估计误差波形对比

3.2 仿真2：空载期望转速由600 r∕min跃变到1 000 r∕min

仿真结果如图7～10 所示。图7（a）和图7（b）为空载条件下期望转速从600 r∕min 跃变为1 000 r∕min 时传统滑模观测器和增益自适应滑模观测器观测得到的转速波形图，可观察到，与仿真1 相同，从始至终，增益自适应滑模观测器观测到的转速波形的抖振现象明显弱于传统滑模观测器，并且转速达到1 000 r∕min 后，传统滑模观测器得到的波形整体出现小幅度上下抖动现象。这是因为，传统滑模观测器的增益在变速过程中保持固定，增益大小不能满足系统最优化。而增益自适应滑模观测器检测到期望速度发生改变，自适应算法使得滑模增益实时匹配系统需求。图8 则为期望转速突变时两者的转子观测位置对比图，虽然转速发生改变，但从波形颜色深度可明显看出改进后观测的转子位置波形抖振情况更小。

图7 转速估计波形对比

图8 转子位置估计波形对比

图9 和图10 分别为空载条件下期望转速从600 r∕min跃变为1 000 r∕min 时改进前后滑模观测器观测到的转速误差波形对比图与转子位置误差波形对比图。可看出当期望速度发生改变时，改进后的滑模观测器能根据系统的需求调节滑模增益，使得转子速度误差范围大致保持在±1 rad∕min 内，而传统的滑模增益是固定的，不再随着系统的改变而做调整，所以其转速误差范围大致由±7 rad∕min 内增加至（-7，10）rad ∕min。同时，增益自适应滑模观测器观测的位置误差也是肉眼可见的比传统观测小。

图9 转速估计误差波形对比

图10 转子位置估计误差波形对比

4 结束语

本文在传统滑模观测控制的基础上提出了一种基于增益自适应滑模观测器的无位置传感器控制方法。以满足Lyapunov 稳定性为前提，设计根据观测电流差进行增益调节的自适应算法，使得观测过程中滑模增益可根据系统需求进行调节，不再会出现因滑模增益过大或过小而导致系统抖振严重或不稳定等现象。通过仿真表明，改进后的滑模观测控制不仅大大削弱了抖振现象，还在一定程度上提高了转速及位置的观测精度。