分式探秘

文／江苏省无锡市梅里中学 甄 玺

在七年级上学期，我认识了整式，学会了整式的加减法；在七年级下学期，我学习了整式的乘法，唯独没学整式的除法；直到八年级下学期，我学习了分式，找到了分式与整式除法之间的关联。那么，当分式与我们学过的其他知识碰撞在一起，会擦出什么样的火花呢？下面，我们一起来欣赏一下。

一、分式与方程的碰撞——分类中的陷阱

例1若关于x的分式方程无解，求m的值。

【解析】解分式方程，就是把它转换为整式方程。x2-4 可以分解因式，得（x+2）（x-2），方程两边同时乘最简公分母，这样去掉分母后就变成了整式方程2x+4+mx=3x-6，解得。分式方程无解有两种情况：①方程出现增根，②去分母后的整式方程无解。若分式方程有增根，即原方程分母为0，即x=2 或-2，即x=或-2，得m=-4 或6；若去分母后的整式方程无解，即无解，此时1-m=0，得m=1。综上所述，m=-4 或6 或1。解决此题的关键是理解分式方程无解的含义，从而避开题中的陷阱。

二、分式与不等式的碰撞——转化中的曲折

例2如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程有非负数解，求符合条件的所有整数m的和。

【解析】首先把不等式组的解集求出来，得可得四个整数解分别为-3，-2，-1，0，所以，解得2≤m＜7。把转化成整式方程2-my+8=2-y，解得。有非负数解，则解得m＞1。因为原方程中2-y≠0，即y≠2，即，即m≠5。结合不等式组的解集2≤m＜7，可得m取值范围为2≤m＜7 且m≠5，m的整数解为2，3，4，6，和为15。此题中，不等式组有有限个特殊解，分式方程有特殊解，分式有意义，分母不等于0……都是本题的易错点。分式与不等式的碰撞，让我们的解题更加“步步惊心”。

三、分式与连等式的碰撞——消元中的对称

例3已 知 实 数a，b，c满 足，求的值。

【解析】把设，则ak=b+c，bk=a+c，ck=a+b，将三式相加得2（a+b+c）=k（a+b+c）。此时分类讨论：

①若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，

②若a+b+c≠0，则k=2，所以b+c=2a，a+c=2b，a+b=2c，得

此类连等式题中未知数较多，解决时最重要的就是消元。我们可以利用其对称性解决此题。

初中数学分为代数、几何、统计、概率四大板块，每一块中又有许多不同的知识点。知识点并不是单独存在的，而是互相联系，互相依存。我们只有把不同的知识点串联起来，形成体系，才能更全面、更深刻地理解知识，从而把数学学好、学深、学透。

教 师 点 评

小作者从整式的加、减、乘法说起，揭开分式与整式之间的关联，说明他已理清本章知识从哪里来，怎么形成的，又将到哪里去的问题。同时，小作者能以本章的易错点及重难点为突破口，从方程、不等式、连等式三个角度对分式进行深度剖析，使得分式的学习更加精准有效。