常微分方程课堂教学研究与实践

[摘 要] 常微分方程是将理论数学应用于工程实际的重要载体，也是最能体现数学与其他学科相互交叉与融合的课程。从教学内容和教学模式两个维度探讨如何提升常微分方程课堂教学的效果与魅力，从而实现该课程培养创新型人才的教学目标。教学内容和教学模式是课堂教学的两个重要维度。教学内容是教学的出发点，整个教学环节要围绕教学内容展开。每门课程都有标准的教学大纲，规定了对各个知识点的掌握程度。教学模式是一定教学思想指导下的课堂教学程序和教学方法与方式。通过探讨如何在提升常微分方程课堂教学的效果与魅力，从而实现该课程培养创新型人才的教学目标。

[关键词] 常微分方程;理论教学;教学模式

[基金项目] 2015年度广东省教育厅“教学质量与教学改革工程”建设项目及高等教育教学改革项目广东省高等教育教学改革项目“以案例教学提升微分课程教学的魅力与效果”（粤教高函〔2015〕173号）

[作者简介] 赵碧蓉（1971—），女，湖南邵阳人，博士，广州大学数学与信息科学学院副教授，主要从事微分动力系统和复杂网络控制系统的研究。

[中图分类号] O175.1 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）20-0157-04 [收稿日期] 2021-10-10

引言

常微分方程是连接理论数学与应用科学的重要载体，完美地体现了数学与其他学科如物理、金融，自动控制等的相互交叉与融合。我院所有的专业都开设了常微分方程课程，除了信息安全专业在大学二年级下学期开设外，其余专业均在的三年级的第一学期开设该课程。教学反馈显示，学生普遍反映常微分课程理论偏强，计算量偏大，相当部分学生有畏难情绪，缺乏应有的学习兴趣与原动力，考试不通过率较其他课程也偏高。究其原因主要有以下两个方面：一是学生基础知识较薄弱。常微分方程作为数学分析和高等代数及其解析几何的后续课程，要求学生对大学一年级的主干课程数学分析和高等代数知识掌握较好。我校的常微分方程课程在大学三年级的第一个学期开设，相当部分学生要么本身对两门主干课知识掌握不牢固，要么就是基础理论知识有所遗忘，对接下来常微分方程科学的学习带来不利;二是由常微分方程课程本身的特性所决定的。该课程基础理论较强，比如课程的核心定理——解的存在唯一性定理，为了证明该定理，教材将其拆解为五个命题来证明。其中所涉及的无穷级数和函数列的一致收敛性问题，这本身也是数学分析课程的教学难点，足以体现常微分方程一定的理论深度和严谨性。教师如何将抽象的定理讲解得简洁、清晰有趣而又不失理论上的严谨性，这需要教师自身具有一定的科研基础和知识储备。此外，学生普遍存在基础理论功底较弱、基本计算技能较低的问题。因此，常微分方程课程的教学陷入了“教师难教，学生难学”的困局。如何破解这种囧局是该课程教学改革需要认真思考和解决问题。

一、教学内容的改革和重组

广州大学在数学、数学与应用数学及信息与计算科学专业开设常微分方程课程，均为专业核心课程;用的是王高雄等主编的经典教材，学时由2015年前的72学时压缩至现在的64学时，教学内容依然是教材的前五章内容。在教学实践中，我们将整个教学内容整合为三个模块：一是理论模块，主要是解决解的存在唯一性问题，其理论基础是主干课程数学分析;二是解方程模块，主要是一阶的非线性方程和一阶或高阶的线性微分方程，其理论基础是主干课程高等代数;三是应用模块，主要体现了数学与其他学科如物理、金融，自动控制等的相互交叉与融合。现有教材在内容的编排上主要体现了理论上的严谨性及其内在逻辑性，但对各层次的学校缺乏适应性。广州大学作为地方性高等学校，学生普遍存在基础理论功底较弱的问题。基于我校学生的实际情况，我们本着“精简，拓宽，实用”原则，对现有教材的内容做了适度调整。在教学中我们先从简单的方程和模型出发，让学生了解和掌握常微分方程的基本概念以及为什么要学会解方程，怎么可以确定方程是否有解的问题，在此基础上很自然地引入解的存在唯一性等问题。对于解对初值的连续依赖性和可微性问题，只做解释性说明，不做理论上的推证以降低教学的难度。解方程模块是理论模块的落脚点之一，除了在一阶方程中出现了非线性方程，本科生要求求解的高阶方程都是线性的。其实不管是代数方程还是微分方程，其解的结构及性质都十分类似，在教学实践中我们将一阶、高阶线性微分方程和线性方程组的内容重组在一个模块中讲解，通过类比，让学生更轻松地掌握了所学知识。应用模块是理论模块和解方程模块的综合。在应用模块中，应引导学生建立常微分方程模型，用经典的方法或数学软件求得方程的解析解或数值解，并能还原和解释实际问题。

除此之外，教师要深度挖掘教材，将有内在关联的内容进行重组。如高阶线性方程可以转化方程组，互相转换的关系式表明它们的解之间存在着对应关系，对同一个方程，可以有不同的思路，这对培养学生的视野和创新大有裨益，教学实践表明这种开放的教学方式学生的接受程度非常好。另外值得一提是，我们的教学大纲将Laplace变换法作为自学内容，其实，国外的大学，如加拿大、美国等国家的高等学校，都非常重视这部分内容的教学。其原因是Laplace变换能将常微分方程中常见的初等函数转化为频域中的特定函数进行研究，完美地将微分方程的求解转化为乘除法的代数运算，这本身就是一种重要的数学思想和数学方法，化繁为简，化难为易。通过教学，不但让学生体会到了不同方法的殊途同归，而且体现了数学对其他应用型学科的基础性作用。

二、案例驱动的教学模式改革及其实践

常微分方程是最能体现数学与其他学科如物理、金融，自动控制等的相互交叉与融合的课程。在教学中若能适时恰当地引入典型的模型案例，把生活中的实际案例作为教学素材，结合对案例的研究、分析、推导过程将抽象的数学理论知识巧妙引出，就会使学生在学习理论知识时不会被枯燥的概念、定理和烦琐的计算所困扰，让学生体验到抽象的数学理论其实是有具体的模型案例来驱动的，这将极大地增强常微分方程理论的直观性与实用性，以此激发学生学习的兴趣。我们所做的教学调研反馈显示，学生亦普遍希望课堂理论教学中能够更多的嵌入工程实践的应用背景知识。案例驱动的教学模式起源于哈佛大学开设的情景案例教学课，是指在教学中以案例或问题为中心展开分析和讨论，以案例为导向和驱动力的教学方法[1-5]。在常微分方程教学中，案例的选择一定要有针对性、典型性、生动性，是现实生活能够接触到的动态系统模型，这样的模型案例才有说服力和吸引力。而且，建模是过程不能过于烦琐，难易程度要适应学生理解知识的进度和认知的梯度，选择和设计出大部分学生都可理解接受的常微分方程模型，利用常微分方程知识求解模型并对得到的结果对实际问题进行解释、优化和预测等，让学生认识到常微分方程在解决具体问题中的作用，从而增进学生学习的自主性。在线性微分方程組章节中，教学的难点是方程的维数由一维扩展到高维，给课堂教学带来一定的压力。因此在教学中，恰当地选择从高维的实用性案例十分关键。二维空间的例子很好感知，课堂可以昆虫的爬行为例展开教学。

案例：一只甲殼虫在二维空间xoy内爬行，初始位置为P0（1，0）点，虫子在点P（x，y）沿x轴正向的速率为4x-3y，环境扰动为fx（t）=sint，沿y轴正向的速率为2x-y，环境扰动fy（t）=-2costsint，试确定甲壳虫爬行轨迹的参数方程。

这是一个非常贴近实际教学素材，由基本建模知识可以知道，假设t时刻甲壳虫所处的位置为假设（x（t），y（t）），由已知条件和上述假设可建立如下的常微分方程组

而且（x（0），y（0））=（1，0）。这是常系数非齐次微分方程组x′（t）=Ax（t）+f（t）的特殊形式。教学可以通过这样的具体案例展开，将抽象的数学理论知识具体化、形象化，进一步增强了数学理论知识与现实的联系[6-8]。从方程可以看出，若x（t）和y（t）之间没有耦合关系，我们可以通过逐个方程的求解得到虫子运动轨迹的参数方程，显然这里的x（t）和y（t）存在耦合关系。事实上，高等代数中有关的矩阵对角化问题本质上就是变量之间的解耦问题，因而将问题一步引出，很自然地让学生联想到与对角化相关的特征值特征向量，线性变换等基础概念和基本方法从而引导学生从变换的观点来求解方程。由高等代数知识很容易求得特征值，所对应的特征向量分别为。

令矩阵，则有记，则原来的耦合方程在线性变换下实现了解耦。即有

从而得到虫子的运动轨迹为

此案例的分析和求解过程将代数知识和常微分方程求解完美的串联起来，让学生体验到数学课程之间的交叉和融合[9，10]。

三、案例教学实施效果

在近三年的教学实践中，基于广州大学的具体情况，在教学实践中，我们本着“精简，拓宽，实用”原则，对现有教材的内容做了适度调整。由于Laplace变换本身就是一种重要的数学思想和数学方法，且该变换具有的优美性质及其对求解常系数微分方程的通用有效性以及工程实用性，我们将该方法在教学中做了推介，学生对该方法也表现出了很好的接受度和极大的兴趣。除此之外，我们尝试了案例教学法，这种教学改革大大激发了学生学习该课程兴趣和积极性，学习效果明显改善（见表1）。

从表1中可以看出，教学改革实施前和实施后的这两年对比，各项数据都呈现逐年上升的趋势，证明了教学改革的初步成果已经显现，因此值得借鉴与推广。

结语

教学内容和教学模式是课堂教学的两个重要维度。教学内容是教学的出发点，教学模式是一定教学思想指导下的课堂教学程序和教学方法与方式。在教学实践中，我们本着“精简、拓宽、实用”原则，对现有教材的内容做了适度调整。在教学模式上，基于案例教学的直观性、现实性和趣味性，我们对这种教学模式进行了尝试，教学反馈表明，教学改革的初步成果已经显现。

参考文献

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006：156-164.

[2]张伟年.对本科“常微分方程”课程建设若干问题的思考[J].高等理科教育，2009（2）：25-27.

[3]杨晨.常微分方程教学改革探讨[J].长春师范大学学报：自然科学版，2014（6）：167-169.

[4]赵侯宇.常微分方程课程教学改革初探[J].黑龙江教育：高教研究与评估，2014（11）：22-23.

[5]姜启源，谢金星.数学模型[M].4版.北京：高等教育出版社，2011：107-110.

[6]萧毅鸿，周献中，凌海风，等.案例教学：一种有效的教师教育方法[J].教育理论与实践，2012（32）：35-37.

[7]刘洪霞，周绍伟.常微分方程数学建模案例分析[J].河南教育学院学报（自然科学版），2015，24（4）：65-67.

[8]周宇虹，杜钧.常微分方程课程中案例教学的探索、实践与思考[J].大学数学，2013，29（4）：119-122.

[9]李宝萍.案例分析在常微分方程教学中的应用[J].山东农业工程学院学报，2018，35（4）：150-152.

[10]周霞.中加高校“常微分方程”课程教学的比较分析[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），2016，33（4）：118-123.

Research and Practice of Classroom Teaching of Ordinary Differential Equations

ZHAO Bi-rong

（School of Mathematics and Information Sciences， Guangzhou University， Guangzhou， Guangdong 510006， China）

Abstract： Ordinary Differential Equation is an important carrier to apply theoretical mathematics to engineering practice. It is also a course that can best reflect the intersection and integration of mathematics and other disciplines. This paper discusses how to improve the effect and charm of Ordinary Differential Equation classroom teaching from the two dimensions of teaching content and teaching mode， so as to achieve the teaching goal of cultivating innovative talents. Teaching content and teaching mode are two important dimensions of classroom teaching. Teaching content is the starting point of teaching， and the whole teaching link should focus on the teaching content. Each course has a standard syllabus， which stipulates the degree of mastery of each knowledge point. Teaching mode is the classroom teaching procedure and teaching method under the guidance of certain teaching idea. This paper discusses how to improve the effect and charm of Ordinary Differential Equation classroom teaching， so as to achieve the teaching goal of cultivating innovative talents.

Key words： Ordinary Differential Equation; theoretical teaching; teaching mode