关于闭合电路最大输出功率的几种解法

吴晓松

一题多解，就是用不同方法，按不同思路，从不同角度对同一个问题进行解答，教师在教学过程中实施一题多解不但可以使学生应用不同的知识点解题，从而找到适合学生自己的思维方法，更重要的是可以调动学生学习的积极性，锻炼他们思维的灵活性，提高他们应用数学知识解决物理问题的能力.下面以高中物理中关于闭合电路最大输出功率为例：

题目 如图1所示电路中，电源电动势为E.内阻为r，当滑动变阻器的阻值R调到多大时，电源的输出功率P最大？

思路一 利用基本不等式方法求解

对于基本不等式：a+b≥2√ab，其成立条件为：a>0，b>0且仅当a=b时取等号.为此，可以对电源的输出功率表达式进行整理，使其含有基本不等式或者基本不等式的变形，从而利用基本不等式求其最值，

思路三 利用图像法求解

根据电源的U-，图像特点，或者电源的P-I图和内电阻的P-I图特点，可以方便求解电源的最大输出功率，

解法6电源的U-I图像如图2所示，其中x，表示短路电流，y1，表示电源电动势，x2：表示某一状态的干路电流，y2表示此状态下的路端电压，所围成的矩形的面积s=x2y2表不此状态下电源的输出功率，根据几何关系可知当C取AB的中点时，内接矩形的面积最大.也就是说这时电源有最大输出功率，对于純电阻电路，路端电压为电动势的一半时，必有R=r.

解法7电源的总功率为Pr：= E1，内电阻的发热功率为Pr= /2r，两者之差即为电源的输出功率，将电源的P-I图和内电阻的P-/图做在同一个图上如图3所示：其中a代表电源的P;-I图，6代表内电阻的P，-I图像，，I为短路电流，图中已经用虚线标出当I=Im/2时.6的斜率与a相同，即此时两者间距离最大，由此进一步得出两者间的纵坐标差距最大，即输出功率最大.对于纯电阻电路，干路电流为短路电流的一半时，必有R=r.

思路四 利用导数法求解：

我们知道，当一个函数的导数为0的时候，意味着该处斜率为0，此时函数往往存在极值，特别地，当在定义域内若只能取到一个值使得导数为0，此时的极值便为最值，图1中电源的输出功率为：P=