透视图形内涵 发掘解题途径

李昌成 关惠惠

最近在某资料上看到一道去年的模考题，题设简单，背景常见，问题常规，但是仔细推敲此题出口甚广，可以依托二次函数、三角函数、均值不等式、向量、正余弦定理、平面几何、解析几何等知识解答，对于巩固基础知识，开拓解题思路，提高解题的实战水平均有一定的意义，

一、题目呈现

（2021年江西模拟）在等腰△ABC中，AB =AC，BD是腰AC的中线，且肋=√3，则△ABC面积的最大值为_____ .

评析 设边长变量，巧用余弦定理，把面积最值问题转化为函数最值问题，即可求出面积的最大值.

评析 等式②是在研究同一个角，从而产生等式，学生一般不太在意，平时教学应当多多强调，多角度看待问题，思考问题，寻找隐形等量关系是一种技巧.

评析 辅助角公式的应用使得关于面积的不等式应运而生，显得十分自然，运算也简洁，最值成立的条件也一目了然.

評析 等式（*）容易出现视而不见的状况，而高考命题专家恰好经常在这个技巧上做文章，平时教学应当强调到位.这个关系式还可以通过四点共圆产生，有异曲同工之妙.

评析 引进变量a建立三角函数，目标函数简单，最值易求.对学生的函数应用意识要求较高，等价转化的能力要求较高.

评析 重心的引入非常巧妙，学生需要长时间的修炼方可达成这种意识，形成这种能力.等价转化思想显得尤为重要.解法7、8、9属于非常规的巧妙解法.

评析 解法10、11引入了解析几何，解法新颖.不仅可以训练学生三角问题，也能巩固解析几何的核心知识，思维显得十分发散，对学生的创新能力培养不可小觑.

三、解后反思

对于习题的处理，通常有两个误区：一是做对就好，二是多多益善（刷题）.殊不知，很多问题的背后还有丰富的内涵，有知识的，有方法的，有能力的.数学各个模块之间存在千丝万缕的联系，这种联系只有在主动应用中才能织密织牢，只有掌握了理解了这些内在的联系才能应对千变万化的试题，才能培养学生分析问题、解决问题的能力，才能有创新的意识，才能在将来的工作中得心应手，高分高能.因此，解题研究，一题多解是教学的一个重要工作.