PBL教学模式下一元函数定积分的教学设计

□张琳娜

一、教学分析

《经济数学》课程中一元函数定积分的授课对象为高职经管类专业一年级学生，学生已经掌握极限和不定积分的数学知识，会用MATLAB软件计算函数极限，具备学习定积分知识的基础的能力。学生思维活跃，喜欢动手操作，喜欢生动直观的教学，对纯数学概念中符号的描述有着排斥、畏难的心理。

(一)教学目标。根据学生学情，结合职业教育的人才培养目标，在PBL教学模式下一元函数定积分的教学目标主要设为知识目标、能力目标和素养目标。希望学生在初步掌握定积分的概念和几何意义的基础上会用定积分思想解决经济中非均匀分布总量计算的问题；在定积分的学习过程中培养学生辩证思维的能力,帮助学生了解定积分思想中的对立统一，并让学生体会到数学的实用性和有趣性，减弱学生的畏难心理，帮助学生逐渐从心里接受数学理论学习或者爱上数学。

二、教学过程

PBL教学模式是问题导向式的教学，鉴于对本节课的教学分析，PBL教学模式在一元函数定积分的学习中主要分为“知→引→析→学→用→拓”六个环节[1，2，5]。

(一)“知”——课前预习环节。教师通过网络学习平台推送“定积分概念”相关的微课、视频等学习资源;发布讨论话题“定积分是什么，可以用来计算什么？”以及课前小组拼接任务和测验题。学生查找资料，参与话题，小组内完成手工拼接体验曲边梯形面积的四步计算法，个人通过测试明确不足，强化学习。

(二)“引”——微任务导入环节。抛出经济案例，播放创业小达人对企业收益，利润介绍的视频。勉励学生“无论就业还是创业，都要用心做事，专心坚持，必能成就美好的未来。”通过分析经济学案例，帮助学生抽象出简化后的经济问题1，请学生小组讨论该问题如何求解，并对关键点随机提问。

(三)“析”——任务分析环节。教师协助学生对经济问题中经济函数特性分析，找到该问题对应的数学知识，引导学生领会经济问题到数学知识的转化，搭建经济案例与面积计算之间的桥梁，由此过渡到曲边梯形面积的计算。教师分析曲边梯形的特点，启发学生思考不规则图形面积计算的关键要素是什么。

(四)“学”——四步法学习环节。教师利用割圆术让学生体会有限与无限的对立统一，学生经过小组合作探究圆的面积与极限之间的关系；然后教师以教具、动画演示计算曲边梯形面积的过程，学生体会其中的无限与极限的思想；教师详细讲解数形结合在曲边梯形面积计算中的应用，学生深刻理解“分割、近似、求和、取极限”的深层含义。

(五)“用”——经济领域应用。通过前面对经济学案例的分析，学生已经了解到企业收入在几何中的表示。本环节教师对定积分概念进行小结，请学生完成知识结构思维导图，给出收益率函数，讨论如何应用所学知识计算企业的总收入，学生进行小组讨论，完成经济问题。最后学生以小组形式完成任务单并派代表汇报，从而达到让学生深入理解定积分概念，进一步体会定积分与经济领域关系的目的。

(六)“拓”——知识拓展环节。教师根据在线测试拓展在网络学习平台发布拓展作业，巩固重难点。学生尝试用定积分的思想解决其它经济问题。MATLAB软件是数学、工程及经济中常用的计算机软件，教师发布MATLAB求解定积分的相关代码，学生课后自主进行练习，熟练掌握定积分在MATLAB中的计算，并尝试利用MATLAB求解完整的经济问题。

三、课程思政

教育模式和教育方法不断改革的最终目的仍是为教育服务，而“教”永远是过程、是工具，教育的核心一直在“育”。PBL教学模式下《经济数学》课程的教学过程中毫无疑问蕴含了不少的思政元素，而在一元函数定积分的学习中，无论是教学环节的设计还是知识点本身都少不了思政的影子[3～4]。

“积少成多、众志成城”是定积分学习过程中的思政主线，各个具体的思政元素如下。

3.系统内普法与社会普法不平衡。各级各部门在落实责任制过程中，存在系统内普法与社会普法不能并重的情况。许多单位积极开展社会普法，紧密结合本部门法律法规颁布实施纪念日、宣传日、纪念周等重要普法节点，组织开展各类有声有色的普法活动，但却忽视对系统内执法人员和工作人员的普法，执法工作人员法律素养不够高，法治意识不够强，开展“谁执法谁普法”的广度与深度不够，实效性欠缺。

(一)教学活动、教学环节。一系列的教学活动和教学环节均围绕思政主线和教学目标设计的。PBL教学模式下的教学环节主要由“线上+线下+微任务”的形式展开，不同的教学活动蕴含不同的思政元素，具体如表1所示。

表1 主要教学活动中的思政元素

(二)知识点。一元函数定积分的概念这节内容中主要包含了定积分的思想、定积分的定义、定积分的几何意义以及定积分的应用等知识点，在学习知识点的同时，需要我们深入体会和挖掘埋藏在知识点内层的含义(如表2所示)。

表2 主要知识点中的思政元素

四、教学效果与反思

(一)教学效果。一元函数定积分的学习是《经济数学》中的核心知识点，而且对于定积分思想的理解更是微积分理论学习中的重中之重。PBL教学模式下一元函数定积分的教学过程，减弱了学生学习数学的畏难心理，激发了学生的学习兴趣，强化了学生的学习动力。其主要特点如下：

1.任务性。经济案例的设置更加贴合经管类专业学生的学情，使得学习过程更加具有针对性和实用性。

2.主动性。线上教学平台和教学资源的使用，极大程度的扩大了学生自主学习的空间和时间，在线测试环节也增加了学生主动了解自身学习效果可能性。

3.反复性。PBL教学模式在实施过程中从教学重难点的确定，到概念强化再到知识点的巩固都是师生在不断地找错、讲错、纠错中完成地，因而学习更具目标性和成就感。

4.可持续性。给学生提供一个开放的自主学习、团队协作的环境。思维导图、软件实现、小组汇报等环节的设置培养了学生的综合能力，对学生的可持续学习和发展提供了途径。

(二)教学反思。PBL教学法在一元函数定积分概念的学习中总体来说是有效的，但在本节教学单元实施过程中仍然存在一些不足或者未达到预期效果的情况。具体表现在以下几个方面。

1.手工拼接环节的设计。本环节的设计主要想培养学生小组合作探究的精神，向学生传递如何将知识层面由抽象变直观的思想，促进团队协作。但是在实施过程中发现该环节不好把握，主要原因可能是该拼接任务对于已经成年的学生来说有点简单，另外在学生收到任务后对于该项任务背后的设计意图并不是很清晰，导致学生完成的过程中目标不明确，不能做到心中有数，因而积极性也就有所不足。

2.割圆术的设计。本节课引入割圆术，是为了让学生再一次体会有限与无限的对立统一关系，体会极限与图形面积之间的联系。然而在具体的实施过程中，学生虽已学过极限的概念，也了解圆面积就是内接多边形面积的极限，但是大多数学生仍然不能做到通过自主观察，以及视频动画演示得到曲边梯形面积计算与极限的关系。这说明学生对于知识点和概念的学习仍然停留在表面，未能做到融会贯通，后期的教学过程中应加强对于学生综合理解能力的培养。

五、结语

PBL教学模式是常见的一种主动教学的模式，将其应用在《经济数学》的教学中被多次证明也是有效的。一元函数定积分的学习对于经管类学生来说是一个难点，通过任务式的PBL教学模式的融入，降低了学生的学习难度，强化了应用环节，使得学生的学习过程更具针对性和实用性。课程思政环节不可或缺、又不可过于突显的部分，通过PBL教学模式中环节的设置，使得课堂思政于无形，真正做到润物无声，真正有效地实现了教学过程中的育人目标。因而，即使PBL教学模式在一元函数定积分地教学实施过程中并不完美，但仍然是一个极为有效、值得推广地教学模式。