关于刚体系动量的求解及讨论

尹宗军 苏 蓉 胡玲凤

（安徽信息工程学院机械工程学院，安徽 芜湖 241100）

“理论力学”是高等学校理工科各专业学生一门理论性较强的学科基础课，通过该课程的学习可以使学生掌握刚体机械运动的基本规律和研究方法，初步学会运用这些规律分析工程实践中的力学问题。在新工科和新课改大环境下，各校针对理论力学教育教学都给予了重点关注。特别地，自成果导向的教育（Outcome Based Education，OBE）理念提出以来，理论力学课程体系的构建、教学策略的研究、学生多元化评价指标以及如何反向进行课程教学和开展教学活动等成为了基础教育的关键点。卢玉林等引入土力学相关算例，重点讨论了滑坡的运动力学模型与理论力学中点的合成运动的相关联系[1]。徐启圣等提出现象驱动的集成反馈教学模式，建立理论力学课程多维度考核[2]。陆仁强和汤汨倡导全过程考核机制下的“理论力学”研讨式教学“教—评”模式，给出了其指标体系[3]。何子干等认为引用实际应用工程实例等方式可以改进少学时理论力学的课堂教学[4]。罗礼仁等推导了平面运动刚体对任意点的动量矩定理，得到动量矩定理的统一格式[5]。夏吾吉推导了相对运动中质点组的动量定理[6]。冯云光等从六个方面详细研究了理论力学教学改进方法，他们认为传统板书教学在信息化教学过程中同样重要[7]。黄鹂等讨论了质心坐标计算公式[8]。董萍和陶蕊探讨了高等数学对理论力学的基础影响[9]。李楚琳等针对新时期理论力学教学面临的挑战，给出了几点改革思考[10]。

进入20世纪80年代以后应用技术型人才培养逐渐形成了一股新的风向。国内的诸多高校近年也纷纷在教育教学改革的探索中注重实践环境的强化。随着技能教育以及“双创”理念（即，大众创业万众创新）的发展和推进，各校通常通过缩短理论教学时长以增加实践项目化教学内容，从而实现学生的自主化学习和优化人才结构[11-13]。这也给理论教学活动增加了难度，弱化了基础知识的传授导致部分学生应试能力的下降。针对理论教学中极易混淆的理论知识点，清华大学航天航空学院的高云峰利用矩阵实验室（Matrix and Laboratory，Matlab）软件刚体系统及桁架受力问题、典型机构的运动分析以及物体受力分析进行了诸多探讨[14-16]。他们通过在理论力学教学中引入矩阵实验室的动画演示，极大促进学生对理论力学问题的理解以及掌握代数方程和微分方程的数值求解和符号推导。清华大学工程力学系薛克宗认为多体系统动力学在在航天器、空间机械和机器人、高速车辆、生物力学等领域具有重要作用，应着重看待关于动量、动量矩定理与拉氏方程的应用关系问题[17]。华中农业大学工学院张居敏和王鹏进一步强调了达朗贝尔原理在刚体平面运动微分方程的演示推导[18]。吴家毅研究了薄圆柱落地的运动问题并利用数值模拟展现了圆柱运动图景[19]。卢小雨针对学生对二力杆受力问题，强调了杆件自重对约束力大小及其合力方向的影响，主张从约束性质、平衡等方面引领学生正确判别二力杆[20]。刘延彬针对学生在计算作用平面运动刚体上的外力之功时经常出现错误，以例题分析形式分析了作用在刚体上外力之功与作用在质点上外力之功的异同[21]。

在实际教学活动中，我们发现多数学生对于力学的逻辑思维欠缺认识，不能很好地总结知识体系[22-23]。在多次的教学测试中，多数学生对多刚体系统动量的求解存在一定的认知误区。动量定理以质点的牛顿第二定律F=ma为基础，用与运动特征相关的动量与力相关的冲量的关系对物体的机械运动进行了深入的研究，即动量的改变与外力系主矢的相互关系。基于此，本文针对刚体系动量的求解展开几个案例讨论，以帮助在教学活动中师生对动量求解的理解，以期提高学生针对动量求解的学习效果。

一、质点系的质心与动量

理论力学是研究物体机械运动的基本规律的学科，其通常分为三个部分：静力学、运动学与动力学。动力学中研究了关于运动的量度：动量、动量矩和动能，与此对应相关的力的作用的量度：冲量、冲量矩和功之间的关系。表明这两种量度间的关系的定理依次为动量定理、动量矩定理以及动能定理，这三个定理被称为动力学普遍定理。在本文中，我们就动力学中质点系的质心与动量做简要的回顾，着重介绍动量的作用点和质点的各自物理含义，然后再过渡到针对刚体系动量求解的三个案例上。

（一）质点系的质心

质点系在力的作用下，其运动状态的改变与各质点及其相互作用位置息息相关。理论力学中质点系的质量中心被称为质心，这个物理概念是表示质点系质量分布情况的一个重要特征。

考虑如图1所示的一个质点系，在空间任选一点O为原点，建立直角坐标系xOy，则单质点i的矢径为，因此该质点系质点的坐标为[24]：这里虽然我们使用单刚体来表示质点系，但（2）式同样适用多刚体类型。

图1 质点系质量分布和质心

（二）质点系的动量

二、案例分析

前面我们介绍质点系动量的定义式和推论式，现在我们介绍三个常见案例以帮助理解。

（一）案例1

两均质杆OA和AB质量为m，长为l，铰接于A[24]。

如图2（a）所示，OA杆的角速度为ω，AB杆相对OA杆的角速度亦为，求此瞬时系统的动量。

图2 两均质杆系统

由此可得该时刻质心速度为：

（二）案例2

如图3所示：

图3 曲柄滑槽系统

均质曲柄OA质量为m1，长为r，以匀角速度绕O转动，带动质量为m3的滑槽做铅锤运动，E为滑槽质心，DE为b，滑块A的质量为m2[25]。调节相关参数使得(m1r/2+m2r+m3(r+b))/(m1+m2+m3))=r。当t=0时，β=ωt=0。不计摩擦，试求当t=0时，系统的动量。

[错误解法]建立如图3所示坐标系，系统经时间t运动到某位置时，系统质心(xc,yc)为：

比较正确解法和错误解法，可见将多刚体系统某瞬时时刻与质心相重合的点的速度作为质心速度，引起了多体系动量计算错误。

（三）案例3

如图4所示：

图4 曲柄滑块机构

在曲柄滑块机构中，设曲柄OA受力偶作用以匀角速度ω转动，滑块B沿x轴滑动[25]。若OA=OB=l，OA及OA杆皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。求此系统的动量。

[正确解法]设时间t=0时，杆OA水平，则有φ=t。经时间t时，C的坐标为

动量的方向沿质心运动轨迹的切线方向（同样，系统动量的作用点并一定在质心位置）。质心运动轨迹可通过消去质心位置坐标（10）中的时间t可得

可见，质心C的运动轨迹为一椭圆，如图4所示中虚线所示。应该指出，系统的质心一般不在其中某一刚体上，而是空间中的某一特定点。即使与某一刚体上的一点重合，也不要认为刚体上的该点就是质心，否则如果把该点的速度认定为质心速度，则会造成动量计算错误。

三、实施效果分析

（一）试卷设计

理论力学是工科类学生专业知识素养提升的重要奠基石。安徽信息工程学院理论力学开设学期为大一春季学期，本次调查了本校机械工程学院内的四个专业，包括机械设计制造及其自动化、车辆工程，材料成型及控制工程以及机械电子工程，连续跟踪了2019级、2020级以及2021级共涉及48个教学班（每届16个教学班，每班约40人）的学习情况。本次调研以历年期末测试为样本，动量计算部分为10分，占总成绩（满分100分）的10%，我们统计了五个层次的分值占比，即0～2分、2～4分、4～6分、6～8分以及8～10分。2019级测试案例1，2020级测试案例2，2021级测试案例3。理论力学期末测试采用教考分离原则，考试试题由力学教研室出题，试卷评测为集体阅卷，教师不参与本班试卷评测。这三个案例之间所用知识内容几乎一致，在实际讲课过程中也均详细讲解，因此所得分数可以用来相互对比教学效果。

（二）成绩分布分析

近三届学生关于动量求解问题的得分趋势图如图5所示。

图5 三届学生关于动量求解问题的得分趋势

通过图5可以看出，2019级和2020级学生低分层次较多，75%的学生处于5分以下，仅8%以内的学生能得到满分，教学效果不容乐观。反观2021级，引入两个案例对学生加强理论巩固后，重点讲授动量求解过程及各种可能的解题方法、求解顺序，深刻领会理论的精髓，更好地增强了学生学习力学的信心。教学效果表明85%学生比较满意，14%的学生表示基本满意，其余表示上课实在听不懂。2021级学生有75%的学生在5分以上，40%的学生能拿到满分，0～2分层次仅有5%。可见，2021级优秀率和及格率都比较高，充分肯定了教师的教学方法和学生的学习效果。因此，在教学过程中多关注章节短板的内容，用耐心加鼓励的方法对症下药，多抓基础，有利于提高教学成果。此外，我们也发现如下问题：第一，有的学生逻辑思维能力不够，分析判断能力差，公式乱用；第二，有学生不会审题，不理解题意；第三，有些学生书写得不够规范，不够整洁；第四，有些题型平时训练不到位，学生失误多；第五，在耦合动量定理的求解过程中，学生不能够触类旁通。上述提出的5点问题是值得教学反思的，也为后续的教学设计提供了改进方向。首要解决的问题是训练对理论力学基本力学公式知识的灵活应用能力，优选各种可能的解题方法、求解顺序，把学生对理论力学基本力学公式应用融于试卷之中。

（三）统计分析

由于采用教考分离原则，例题和考题完全相同，旨在测试学生对力学知识的掌握，不出难题、怪题。为进一步说明教学效果，我们对三届学生关于动量求解问题的得分情况进行了统计分析，如表1所示。

表1 三届学生关于动量求解问题的得分统计

从表1可知，2019级、2020级以及2021级关于动量求解问题的平均分分别为3.90、4.36以及7.30，标准差分别为2.34、2.51以及2.37。可见三者标准差基本维持在2.40左右，学生成绩分布离散程度基本类似。但是平均分相差较多，2021级学生的得分几乎是2019级的2倍。从统计结果可以看出，通过对三个案例的详细解述，明显提高了学生对刚体系动量求解的学习效果。未来，我们将进一步提高学生的迁移学习能力，变换考题形式并多加练习，使得学生能对刚体系动量求解取得举一反三的判别能力。

四、结语与展望

在课程改革的新形势和科技革命的新工科背景下，理论力学作为一门力学基础课程，对学生将来的科学素养养成极其重要。因此，学好理论力学是理工科学生将来触类旁通进行更深层次上的研究科学问题的基石。然而在多次考试测评中，我们发现学生对动量概念比较模糊，接近80%的学生认为质点系的动量集中于质点系质点上，这是因为学生不能理解动量计算的推论式的数学物理意义。这个错误的理解造成学生求解案例1时，不能有效区分多刚体系统质心运动速度。对于多刚体系统，即使在某一时刻质心与某一刚体上的一点重合，也不要认为刚体上的该点就是质心，更不要把该点的速度认定为质心速度。对近三届学生的调研表明，经过对动量定理的进一步解释后，多数学生能灵活求解刚体系动量，学习效果得到极大提高。