球对称区域上分数阶扩散方程逆源问题

耿肖肖， 程浩， 朱承澄

江南大学 理学院，江苏 无锡 214122

分数阶微分方程越来越受到人们的关注，其主要原因是分数阶模型广泛应用于金融统计、粘弹性力学、反常扩散等研究领域中[1].与整数阶微分方程相比，分数阶微分算子由于其非局部性质，能够更精准地描述物理现象.目前，关于分数阶扩散方程正问题的研究，不管是在理论还是数值上都已经有了很多有价值的研究成果[2-4].反问题上的研究相对较少，不过最近几年也得到越来越多的关注，例如反向问题[5-8]、柯西问题[9-10]、逆源问题[11-14]、反演扩散系数问题[15]等等.逆源问题是反问题研究中的一个重要分支，在现实生活中，它也是一类很有应用背景的问题，比如环境污染源的确定、裂缝的识别、新能源的寻找等等.

本文考虑如下球对称区域上分数阶扩散方程：

(1)

若源项F(r，t)、初始条件φ(r)和边界条件已知，则上述初边值问题是经典的正问题.

本文所要研究的逆源问题是：假如初始条件和边界条件已知，通过附加的终值数据

u(r，T)=g(r)，0≤r≤R

来辨识具有变量分离形式的源项F(r，t)=f(r)q(t)中的f(r)，其中q(t)是已知的.

在实际问题中，g(r)是通过测量得到的，带有一定的误差，故假设终值数据g(r)和测量数据gδ(r)满足

‖g(r)-gδ(r)‖≤δ

(2)

其中‖·‖是L2([0，R]，r2)范数，δ>0是测量误差.众所周知，逆源问题是不适定的，目前已有很多正则化方法被提出来处理此类问题[17-20].

本文组织结构如下：第1节提供了一些辅助知识；第2节分析了问题的不适定性以及条件稳定性；第3节给出了迭代正则化方法，并获得了两种正则化参数选取规则下的误差估计；第4节通过两个算例验证了该方法的有效性；最后一节给出了简单的结论.

1 辅助知识

定义1对任意常数α>0和β∈R，Mittag-Leffler函数定义为

引理2[22]如果q(t)∈C[0，T]满足：对∀t∈[0，T]，都有q(t)≥q0>0，令

则有

pk(λ)λμ≤k1-μ0≤μ≤1

(3)

rk(λ)λv≤θv(k+1)-v

(4)

其中

2 不适定性与条件稳定性

假如初边值条件和源项都是已知条件，则通过分离变量法以及Mittag-Leffler函数的Laplace变换可得到正问题(1)的解u(r，t)如下

利用终值数据u(r，T)=g(r)可得

(5)

其中gn=(g(r)，ωn(r)).

记

hn=gn-φnEα，1(-λnTα)

可知算子K是一个具有奇异值

和特征函数ωn(r)的线性自伴算子.根据ωn(r)的性质，式(5)可改写为

所以有

(6)

根据引理2可知

这表明终值数据g(r)中的微小扰动都会导致源项f(r)发生巨大变化，亦即该逆源问题是不适定的.因此需要通过正则化方法来恢复解的稳定性.

为了保证解的稳定性，假设源项f(r)满足先验界条件

‖f(·)‖p≤E，p>0

(7)

这里范数‖f(·)‖p的定义为

定理1若f(r)满足‖f(·)‖p≤E，则有

其中

证由Hölder不等式和式(6)，有

(8)

根据引理2，则有

(9)

所以由式(8)，(9)可得

注1根据定理1的证明，可以类似得到

这意味着可以通过估计‖f‖p和‖Kf‖的L2范数来得到f的L2范数的界.

3 迭代正则化方法和误差估计

本节将通过迭代正则化方法求得源项f(r)的正则近似解，并分别给出先验和后验参数选取规则下精确解与正则近似解之间的误差估计.

我们通过构造如下正问题来逼近原来的逆源问题，这里uk(r，t)是如下问题的解

其中源项fk，δ(r)通过下面的迭代方式给出，

f0，δ(r)=0，fk，δ(r)=fk-1，δ(r)-s(uk-1，δ(r，T)-gδ(r))k=1，2，3，…

(10)

这里s是一个加速因子，它满足：对∀n∈N，有

k是迭代步数，它相当于正则化参数.

不妨记

则易得

根据式(10)有

(11)

3.1 先验误差估计

定理2设f(r)是逆源问题的精确解，fk，δ(r)是由式(11)给出的正则近似解，若先验界条件(7)和假设(2)都成立，并选取正则化参数

(12)

则可得到如下误差估计

证由三角不等式，有

‖fk，δ(r)-f(r)‖≤‖fk，δ(r)-fk(r)‖+‖fk(r)-f(r)‖

根据式(11)，(2)和(3)，并取μ=0，可得

(13)

(14)

结合式(13)和(14)，并选取

即可得到

3.2 后验误差估计

设τ>1为给定的常数，正则化参数k的取法是满足下面偏差原理

‖Kfk，δ(r)-hδ(r)‖≤τδ<‖Kfk-1，δ(r)-hδ(r)‖

(15)

定理3设f(r)是逆源问题的精确解，fk，δ(r)是由式(11)给出的正则近似解，若先验界条件(7)和假设(2)都成立，且正则化参数k由式(15)取定，则可得到如下误差估计

证由三角不等式，有

‖fk，δ(r)-f(r)‖≤‖fk，δ(r)-fk(r)‖+‖fk(r)-f(r)‖

由式(13)知

‖fk，δ(r)-fk(r)‖≤skδ

(16)

由式(15)可得

故有

(17)

将式(17)代入式(16)，得

(18)

另一方面，

根据f(r)的先验界条件以及范数‖f(·)‖p的定义，有

应用注1，可得

(19)

结合式(18)和式(19)，即可得到所要结果.

4 数值算例

时间项导数可以通过Caputo分数阶导数的L1插值逼近来近似得到

空间项导数由如下格式近似得到

对有限差分得到的终值数据g(r)按如下方式添加随机扰动得到噪声数据：

gδ=g+εg·(2rand(size(g))-1)

其中ε>0反映相对误差水平，相应的噪声水平为δ=‖gδ-g‖.

为了说明正则近似解的精确性，我们计算绝对误差

e(f，ε)=‖fk，δ(r)-f(r)‖

和相对误差

例1取函数q(t)=2t+π，φ(r)=sin(r)，精确的源项为

f(r)=2sin(πr)

图1和图2分别给出了先验和后验正则化参数选取规则下，取α=0.2，0.8时不同误差水平下的正则近似解与精确解的数值结果.在表1和表2中，我们分别给出先验和后验规则下ε=0.01，α取不同值时精确解与正则近似解之间的误差分析以及α=0.5，ε取不同值时精确解与正则近似解之间的误差分析.

图1 先验参数选取规则下例1的精确解与正则近似解比较

图2 后验参数选取规则下例1的精确解与正则近似解比较

表1 例1关于不同α的数值结果(ε=0.01)

表2 例1关于不同ε的数值结果(α=0.5)

例2取函数q(t)=t+6π，φ(r)=r2-4r，精确的源项为

在图3和图4中，我们分别给出了先验和后验规则下，取α=0.2，0.8时不同误差水平下的正则近似解与精确解之间的数值结果.在表3和表4中，我们分别给出先验和后验规则下，ε=0.01，α取不同值时精确解与正则近似解之间的误差分析以及α=0.5，ε取不同值时精确解与正则近似解之间的误差分析.

图3 先验参数选取规则下例2的精确解与正则近似解比较

图4 后验参数选取规则下例2的精确解与正则近似解比较

表3 例2关于不同α的数值结果(ε=0.01)

表4 例2关于不同ε的数值结果(α=0.5)

综合对比图1至图4，可以看出，后验正则化参数选取规则下重构的源项与精确解之间的拟合效果总体要比先验的好一些.再结合表1至表4，可以发现数值误差关于α变化比较稳定，故我们的方法对α不太敏感(这与文献[20]的结果相符)，同时也可以发现随着随机扰动ε的减小，数值误差明显在减小，精确解与正则近似解也越来越吻合.这说明对于球对称区域上分阶扩散方程的逆源问题，采用该迭代正则化方法有着非常好的效果.

5 结论

探讨了球对称区域上分数阶扩散方程逆源问题.通过迭代正则化求得源项的正则近似解，并在先验和后验参数选取规则下给出了精确解与正则近似解之间的Hölder型误差估计.最后，通过数值算例验证了该迭代方法处理此逆源问题的有效性.