波前函数法在光波干涉教学中的应用

王义全，陈 笑，吴泓元，邹 斌，蔡园园

(中央民族大学 理学院，北京 100081 )

干涉、衍射和偏振是波动的基本特征.光的干涉、衍射和偏振现象是光具有波动性的有力证据，是波动光学研究的主要内容，也是光学这个古老学科在信息技术领域中焕发创新活力的物理基础.光的干涉现象是指两个或者多个光波在某区域叠加时，在叠加区域内出现的强度稳定的强弱分布现象[1-3].

目前，在光波干涉和衍射理论教学中(如杨氏双缝干涉、薄膜干涉等)，以及相关光学实验教学中(如菲涅耳双棱镜干涉、牛顿环、迈克耳孙干涉、马赫-曾德干涉和F-P干涉等)，多数都是通过计算两束光到达观测点的光程差来判定光波叠加区域的光场分布.若光程差为波长整数倍，则空间该处为亮点(明纹)；若光程差为半波长奇数倍，则对应点为暗点(暗纹).

两列波的干涉比较简单，因为两列波通过分析光束传输的实际几何路径，从而得到两列波的光程差，由光程差确定光场的分布，简单直观.但在教学中教师和学生的注意力都集中在光程差的计算，往往容易淡化光的波动特性，在学生的脑海中较难构建出波动的物理图像.另外，光程法虽然能比较容易确定空间亮点和暗点，但是即使在入射场完全确定的情况下，干涉场中每一点的光强大小也无法提供可参考的量化关系，不能为利用测量干涉条纹进行线度或角度的分析应用提供数值判断依据.其次，在讨论多光束干涉时，任意两束光的光程差可以确定，但干涉场的分布是由这些光的光程差的分布决定，而光程差的分布比较复杂，利用光程差的分布确定光场分布比较困难.第四，薄膜干涉中，干涉场的分布是由与观察屏上点对应的薄膜位置的两反射点之间的光程差确定，分析中关注的是薄膜表面点上的反射，容易让学生造成干涉是薄膜表面与观察屏上点对点的行为，更不利于学生波动思维的建立.作为光程法在光的干涉和衍射教学中的有益补充，我们尝试在大学物理课程中利用波前函数法分析光波的干涉现象，帮助学生构建清晰的波动概念和物理图像，为学生后续学习信息光学等相关课程奠定扎实的物理基础.

1 波前函数法

平面简谐波

(1)

球面简谐波

(2)

柱面简谐波

(3)

为方便起见，我们只讨论其空间分布，则3种波对应的复振幅表示分别为：

平面简谐波

(4)

球面简谐波

(5)

柱面简谐波

(6)

这3种波在传播过程中的等相面分别为平面、球面和柱面.

虽然不同形式的电磁波传输过程各不相同，但在实际应用中，我们并不直接关注它们在传播过程中波阵面的形状，而是关注在光信号接收区里光的振幅和相位的分布，这个区域一般是一定大小的曲面或平面.在干涉或衍射实验中，这个区域就是我们观察干涉条纹或衍射图样的观察屏.在大多情况下，这个特定曲面或平面和波阵面是不重合的，因此找到相互叠加的两列波在这个特定面上的振幅和相位分布是研究光束干涉结果的关键.光在该面上的振幅和相位分布函数，称为该波在这一特定面上的波前函数.

如图1所示，xOy平面是接收平面，平面波或球面波传播到该平面上的振幅和相位分布就称为该光波在xOy面上的波前函数.

(a)平面波及其共轭波前 (b)球面波及其共轭波前

如图1(a)所示，波矢在xOz平面，沿与水平方向夹角为θ方向传播的平面波，在空间任一点r处的复振幅为

Aeik(x sin θ+z cos θ)

(7)

其中kx=ksinθ,ky=0,kz=kcosθ.当z=0时，该平面波在xOy平面上的波前函数为

(8)

其对应共轭平面波的波前函数表示为

(9)

同理，若入射的是发散球面波:

(10)

(11)

发散球面波的共轭球面波为会聚球面波，会聚中心为Q(0,0,R)，它在xOy平面上的波前函数为

(12)

2 双孔干涉的波前函数分析法

我们所讨论的干涉实验装置如图2所示，是由位于左侧的单孔屏、位于右侧的观察屏xOy，以及位于单孔屏和观察屏之间的双孔屏组成，三屏彼此平行，双孔屏上两小孔的间距为d，双孔屏与观察屏之间的距离为D. 单孔屏的孔位于光轴上，双孔屏上的两孔S1、S2对称分布于光轴上下两侧.

图2 杨氏双缝干涉实验示意图

根据几何关系，从S1、S2两小孔发出的光到观察屏上P点的光程差为

(13)

因此对应亮条纹的位置为

(14)

暗条纹的位置为

(15)

条纹间隔为

(16)

在上述明暗条纹分析中，虽然用到了光程差和波长概念，但我们是通过讨论两条几何路径中距离的差来确定光场的分布，并没有体现从S1、S2发出的球面波在观察屏上的叠加，学生认为观察屏上不同点的差别就是由距离的不同造成的，没有形成两列波叠加的概念.下面我们采用波前函数法分析屏上干涉场分布，这一过程可以帮助学生在求解过程中建立起光波的传输图像，而且很自然的形成两列波叠加产生干涉的思想.

下面我们利用波前函数法讨论双孔干涉.由双孔对于位于光轴上的单孔是对称的，从观察屏xOy平面上看，位于双孔屏上的两个孔，相当于两个初相相同、振幅A相同的点光源，它们分别发出球面波向xOy平面传播，两点光源的坐标分别记为(2/d，0，-D)和(-2/d,0,-D).根据波前函数的定义，在傍轴条件下，两球面波在xOy平面上的波前函数为

(17)

(18)

(19)

因此，在xOy平面的光强分布I(x,y)为

(20)

由此可见，由波前函数法所求得的条纹分布与利用光程法求得的条纹分布相同，但利用波前函数法求条纹的分布过程中，一方面刻画出了光束波动传播的物理图像，同时凸显了光的干涉是两列波叠加的概念，在波的干涉教学中更好地体现出波动的思想.另外，当入射光确定的情况下，波前函数法还能精确给出干涉场中任何一点的光强，更为重要的是，通过波前函数法求两束光的干涉，给学生提供了讨论多光束干涉思路和方法，因此，波前函数法可以更为全面地描绘出干涉场分布.

3 薄膜干涉的波前函数分析法

下面我们再利用波前函数法分析另一种干涉——分振幅干涉.分振幅干涉的典型代表为薄膜干涉，我们以等倾干涉为例，利用波前函数法分析薄膜干涉的光场分布. 如图3所示为等倾干涉实验示意图.图中A为置于均匀薄膜右侧、距离a的点光源，薄膜厚度为d，折射率为n，光源A右侧为一焦距为f的凸透镜，薄膜和观察屏分别置于凸透镜的物方焦平面和像方焦平面上.位于A点的光源发出的光，经过左侧薄膜两表面的反射，经过透镜后，在透镜的焦平面上会聚而发生干涉.干涉条纹为以光轴和屏的交点为中心的一系列同心圆环.根据光程法，入射光在薄膜两表面反射造成的光程差为Δ=2ndcosγ±λ/2.当光程差为波长整数倍是亮环，当光程差为半波长奇数倍时为暗环.

在利用光程法讨论薄膜干涉时，教师和学生的注意力几乎全部集中在利用几何关系计算一定倾角入射的光在薄膜两表面反射所造成的光程差，由光程差的数值决定观察屏上对应点的光强分布，并没有体现两个反射光在观察屏上叠加而发生干涉，致使学生把薄膜作为讨论干涉的主题，而忽略了干涉是两列波的叠加.为在薄膜干涉的教学中充分体现波动及波的叠加，我们利用波前法构建波的叠加的薄膜干涉图像.在图3中，光源A通过左侧薄膜的两表面分别成像B和C，从两表面反射的光，可以分别看作从B点和C点发出的发散球面波，两发散的球面波经透镜后，转化为会聚点位于光轴B′、C′处的两会聚球面波，两球面波在焦平面上叠加形成干涉条纹.

图3 薄膜等倾干涉装置示意图

设会聚中心B′、C′到观察屏的距离分别是z1、z2. 根据几何光学的高斯公式，可以推导出B、C经过透镜后的位置z1、z2分别为：

(21)

(22)

为使讨论简化，且不失一般性，在薄膜表面对光的反射率较低的情况下，从薄膜的两表面反射光强基本相等.两束会聚球面波在位于像方焦平面的观察屏上的波前函数分别为：

(23)

(24)

(25)

因此观察屏上的光强为

(26)

将式(23)和(24)代入式(26)，可得

(27)

将式(21)和(22)代入(27)，得

(28)

为验证基于波前函数分析法的干涉结果，我们数值模拟了观察屏上的光强分布，计算结果如图4所示. 图4(a)—(c)所设定的薄膜厚度分别为25 μm、50 μm和100 μm，光源A设定为He-Ne激光发出的波长632.8 nm的光束，透镜焦距为400 mm，点光源距离透镜200 mm，薄膜的折射率为2. 根据式(28)，仿真结果和利用光程法求得的光场分布完全相同.当薄膜厚度减小，圆环向中心收缩并中心吞没，当薄膜厚度增加，条纹从中心涌出并向四周扩散.

(a) d=25 μm (b) d=50μm (c) d=100 μm

4 结论

在教学中，为加强学生对光学波动图像的理解，以及光场叠加产生干涉的物理思想的渗入，在加强光程法讨论光的干涉的基础上，借助于信息光学的波前函数法，提出利用波前函数叠加的方法，分析杨氏干涉和薄膜干涉的光场分布.波前函数分析法不仅能使学生正确理解光波叠加干涉的现象，而且也能让学生真正从波动学的角度，动态理解波的干涉过程，对深层次理解波动图像具有一定的意义.