利用phyphox软件探究弹簧振子的运动规律

郑小小，熊建民

摘   要：利用phyphox的传感器对数据的实时读取和处理功能研究弹簧振子的运动规律。采用控制变量法分析手机软件读取的振动周期、不同时刻的加速度数据和实时图像，探究竖直方向弹簧振子的运动规律。发现竖直方向的弹簧振子在做简谐振动，实验测得的周期、质量和劲度系数之间的关系式和理论推导相一致。实验表明，利用手机传感器改进实验系统，不仅方法上可行，还更加直观地展现了弹簧振子在竖直方向的运动规律。这一工作可以启发教师把手机软件、智能手机传感器等作为物理课程资源，融入到实验课堂中，从而提高实验教学效率并增强课堂活动氛围。

关键词：智能手机;弹簧振子;控制变量法;简谐振动;phyphox

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2022）5-0069-4

目前，大多数智能手机和平板电脑等电子产品内部都集成了精度高、读取方便快捷的微型传感器，如加速度传感器、陀螺仪传感器、光传感器和声音传感器等。引入这些传感器，对传统实验进行改进，可以更好地提高物理实验教学和课堂实验演示的效果。文章以弹簧振子竖直方向的运动规律为研究对象，通过具体的实例操作，探讨如何利用phyphox软件开发手机内置加速度传感器。

1    phyphox软件及实验装置介绍

phyphox全称“Physical Phone Experiments”，是2016年德國亚琛工业大学基于传感器设计开发的物理实验手机软件，安卓系统和IOS系统均可直接下载使用[1]。本次实验运用的是phyphox软件中的弹簧功能，该功能位于力学模块（图1），它调用的是智能手机内置加速度传感器。将phyphox软件中的弹簧功能打开，此时智能手机和盒子等效为一个弹簧振子。利用细线将手机和盒子悬挂在弹簧上，即可得到一个沿竖直方向运动的弹簧振子，如图2所示。

在实验过程中，phyphox软件可以实时显示出不同条件下弹簧振子的运动周期以及其加速度随时间变化的图像，还可以将不同时刻的加速度数据导出来进一步分析。

2    弹簧振子竖直方向的运动规律探究

2.1    实验器材

智能手机、弹簧3根（劲度系数分别为9.72  N/m、16.88 N/m和22.43 N/m）、铁架台、托盘天平、小纸盒、细绳。

2.2    实验原理

当弹簧下端挂一弹簧振子时，忽略空气阻力和弹簧质量，利用机械能守恒定律进行理论推导。结果表明，竖直方向的弹簧振子在做简谐振动，周期为T=2π■。

接下来，基于智能手机phyphox软件，并借助内置加速度传感器来实验探究竖直方向弹簧振子的运动规律。采用控制变量法定量分析振动周期与质量和劲度系数的关系，得出周期公式，并和理论公式进行比较。

另外，将振动过程中加速度随时间变化的数据导出进行拟合，如果能得到正余弦图像，就可进一步证明竖直方向弹簧振子的运动是简谐振动。

2.3    实验过程

2.3.1    理论证明竖直方向的弹簧振子的运动是简谐振动

竖直方向的弹簧振子如图3所示，假设弹簧振子所受的重力为G，弹簧的劲度系数为k，弹簧振子处于平衡位置时弹簧的伸长量为x1，则G=kx1。

设弹簧振子向下偏离平衡位置的位移为x时，弹簧的伸长量为x2，则x=x2-x1。

取竖直向下为正方向，则此时弹簧振子的回复力，F=G-kx2=-kx。因此，竖直方向的弹簧振子的运动是简谐振动。

2.3.2    理论推导弹簧振子的位移-时间公式（运动方程）

由机械能守恒定律得■kx■■+■mv■■=■kx2+■mv2，利用速度的微分定义以及分离变量、积分等数学方法，可推导出弹簧振子的运动方程[2]

x=Asin（ωt+φ）

其中，ω为圆频率，φ为初相位。

2.3.3    理论推导周期公式

因为x=Asin（ωt+φ），则v=■=ωAcos（ωt+φ）

a=■=-ω2Asin（ωt+φ）

由F=-kx，F=ma，可知ω=■

因此，T=■=2π■

2.3.4    理论推导弹簧串联等效劲度系数

如图4所示，当弹簧串联时G=F=kx，F1=kx1，F2=kx2，又x=x1+x2，G=F=F1=F2，联立以上式子，得■=■+■。所以，k=■。

2.3.5    利用胡克定律测定弹簧的劲度系数

实验时，三根弹簧采用相同的钩码组，提供几个额定拉力，测量了弹簧在这些拉力下的长度，减去弹簧原长，得到三根弹簧的伸长量Δx， 如表1所示。根据表1的数据结果，拟合了弹簧的伸长量Δx和弹力F之间的关系曲线，如图5所示。可以看出，三条曲线都是直线，其斜率的倒数即为三根弹簧的劲度系数k，分别为22.43 N/m、16.88 N/m和9.72 N/m。

2.4    实验探究竖直方向的弹簧振子的运动周期

先用托盘天平秤出小盒子和手机（弹簧振子）的质量，再通过控制变量法定量分析弹簧振子振动周期与质量和劲度系数的关系。根据图2所示安装好实验装置后，打开phyphox软件，选择“弹簧”实验，点击上面的三角按钮，开始自动记录数据。然后，将手机从距离平衡位置某一高度处从静止开始释放，phyphox可得到7组实验的相关数据，如表2所示。图6为分组实验5的自相关图像，它能够描述振子位置随时间的变化图像，并且能实时显示振动周期和频率。7495719F-1A35-4B59-8D5C-F24E68435039

2.4.1    弹簧振子质量不变，改变劲度系数

首先，控制弹簧振子质量0.256 kg不变，改變弹簧劲度系数。为了分组实验，可将弹簧通过串联的方式组合起来，分组4至分组7所用弹簧由上述三根弹簧中选取两根串联而成。接下来，按图2实验装置做七组实验，并将相关数据记录到表2中，再对第5分组的周期T和■数据进行拟合，拟合结果如图7所示。

从图7可以看出，弹簧振子质量不变，改变弹簧劲度系数时，振动周期T与■成正比，而■与理论值2π相差不多。因此，振动周期可表示为T=2π■。以表2中第5分组数据为例，其自相关图像（图6）及加速度随时间变化的拟合图像（图8）表明，竖直方向弹簧振子的运动为简谐运动。

2.4.2    控制弹簧劲度系数不变，改变弹簧振子质量

控制弹簧劲度系数k=22.43 N/m不变，改变弹簧振子质量。同理，按图2实验装置做7组实验，并将相关数据记录下来（表3），并对其中的周期T和■数据进行拟合（图9）。从表3和拟合图像可知，劲度系数不变而振子质量改变时，振动周期T和■成正比，但■与理论值2π相差不大。因此，振动周期可表示为T=2π■。以表3中第5分组数据为例，通过其自相关图像（图10）及加速度与时间关系的拟合图像（图11）可知，竖直方向弹簧振子的运动为简谐运动。

3    结束语

结合phyphox软件和手机内置加速度传感器，实现了动态下相关物理量的实时测量，并探究了竖直方向弹簧振子的运动规律。本实验具有易用、准确和直观等特点，教师可以直接利用自己的智能手机进行操作。学生不但可以更好地掌握简谐运动的知识，还可以提高利用现代化技术解决实际问题的能力。

虽然这里只对简单的弹簧振子进行了尝试，但所用到的方法和策略还可以应用到其他物理实验中去。例如，phyphox软件的力学模块还可以研究匀速圆周运动中向心加速度与角速度的关系、利用单摆运动求解当地重力加速度和利用小球的非弹性碰撞求解初始下落的高度等涉及加速度测量的问题。因此，利用价格较为便宜的智能手机内置传感器代替价格高昂的专业传感器件元件，再结合可免费获取的手机软件，不但能有效降低物理实验和课堂演示实验的设备成本，还能够获得更加直观的实验图像和实时的数据记录与处理结果。

总之，智能手机内部传感器的低成本和高灵敏度，可以作为可靠的实验资源，给物理实验和教学提供无限可能。

参考文献：

[1]赖桂琴.智能手机在中学物理实验教学中的研究[D].汉中：陕西理工大学，2020.

[2]丁邦建.简谐振动运动方程的推导[J].镇江市高等专科学校学报，1996（1）：68-69.

（栏目编辑    贾伟尧）7495719F-1A35-4B59-8D5C-F24E68435039