一类扰动Gelfand问题正解的存在性及其性质

翟成波，鞠盈盈

（山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006）

0 引言

在过去几十年里，很多学者对这个两点边值问题（1）及其类似问题产生了浓厚的兴趣。特别的，边值问题（1）正解的存在性、唯一性及其多解性被广泛研究。许多学者利用在某个平面上的分岔曲线来研究解的存在情况，尤其用S形分岔曲线来研究问题（1）的多解性，例如：Brown等人在文献［4］中证明了当α≤4时，对每个λ>0，问题（1）存在唯一解，而当α充分大时，对一定范围的λ，问题（1）有多个解。Shivaji在［5］中证明了当λ充分大或充分小时，对任意α>0，问题（1）有一个唯一的正解。随后，在不同的参数范围下，研究了关于问题（1）有多个解，例如文献［3，6-8］。最近文献［9］在参数λ的某个区间范围上研究了问题（1）有多个解。

受上述文献的启发，本文用锥理论与不同的增算子不动点定理讨论了（1）解的存在性；其次，利用文献［10］的结果，在更精确的λ参数范围上，对每一固定的α>0，问题（1）都有解且有下界；最后，给出了解的一些性质。其中归纳法和迭代法在本文的证明中发挥了重要作用。

1 准备工作

令(E，||⋅||)是一个实Banach空间，θ是E中的零元，下面将给出本文所用到的一些定义和定理。

定义1［11］（i）设P是E中的非空闭集，如果P满足

（a）任给x，y∈P，α≥0，β≥0，有αx+βy∈P；

（b）若x∈P，x≠θ，则−x∉P，则称P是E中的锥。

（ii）给定E中的锥P，对x，y∈E，如果y−x∈P，则记x≤y，那么，按这种方法引入的“≤”定义了E中的一个半序，在本文中总假定Banach空间E中的半序是由E中的给定锥P导入的，并称按这种方法定义了半序的空间为半序Banach空间。

2 主要结论