天体核反应网络方程计算程序PP-chain

利 国，张苏雅拉吐，黄美容，王德鑫，李 雪，牛丹丹，蒙古夫

（1.内蒙古民族大学 核物理研究所，内蒙古 通辽 028043；2.内蒙古民族大学 数理学院，内蒙古 通辽 028043）

在人类历史发展的进程中，从未停止过对宇宙的探索。特别是随着科学技术的发展进步，人类对宇宙的认识得到了很大的发展。天文学和物理学结合形成的天体物理学，试图揭示宇宙的奥秘。期间人们意识到了各学科协同工作的重要性，所以研究微观世界的核物理与研究宏观世界的天体物理自然融合形成了前沿交叉学科——核天体物理学［1］。核天体物理是应用核物理的知识和规律来阐释宇宙演化进程中化学元素合成及演化过程，来说明恒星中核燃烧产生的能量及其对恒星结构和演化的影响。

宇宙的起点是大爆炸，在大爆炸中产生了氢、氦以及少量的锂元素，随着温度的逐渐降低，在万有引力的影响下开始形成了主序星，如太阳等。主序星生命中绝大部分时间处于它们的青壮年时期，其内部主要进行的是氢燃烧。氢燃烧的产物是氦，随着恒星内核的氢消耗尽而后形成氦核，自此恒星进入了它们的老年阶段——红巨星［2］。与太阳的质量差不多的恒星，在经历一系列核过程后，最终演变成一颗黯淡而又矮小的白矮星。质量比太阳大的恒星也会经历其他的核燃烧阶段，形成从内向外分层的结构，最终以超新星爆发的形式结束恒星的一生。

核天体物理学主要研究元素的合成及天体演化。建立天体核合成的核反应网络方程，可以模拟天体演化过程中的核素丰度变化、能量的释放、反应路径等。舒能川［3］、侯素清［4］曾建立并求解了新星爆炸、大爆炸中的核合成过程的核反应网络方程。笔者旨在建立主序星内部进行的氢燃烧低温阶段的质子-质子链式反应（PP-chain）的核反应网络方程，并利用二阶Rosonbrock法来求解该方程，最后得到核反应网络中涉及的核素的丰度随时间变化的情况，并与核天体物理学界常用计算程序MESA的结果进行比较。

1 质子-质子链式反应（PP-chain）

到了主序星阶段，恒星的氢燃烧过程就开始了。氢是宇宙中丰度最大的同位素。由4个氢聚变成1个氦的过程叫做氢燃烧。氢燃烧需要的最低温度为7×106K。而且恒星的质量至少达到0.08倍太阳质量。氢在平稳氢燃烧中转化为氦的2种主要机制称为质子-质子链和CNO循环。

质子-质子链由3个系列热核反应组成，每个系列的总体效果都是4个氢转化为1个氦，并释放26.7 MeV的能量。这些链之所以被称为质子-质子链，是因为它们是由2个质子（或1H原子核）的聚变开始的。质子-质子链反应有3条不同的途径，见图1。

图1 质子-质子链反应Fig.1 PP-chain reaction

这3条链都导致氢到氦的转换。由于没有2He的天然态，2个氢原子核之间的反应必然涉及1个质子转变为1个中子，这个中子进一步与质子结合，得到D（氘原子核，或由1个质子和1个中子组成的重H）。反应产生的D会在大约2.5 s内快速吸收质子转变成3He，导致太阳中D与H平衡时的丰度比例仅有D/H～3×10-18。然后是2个3He核之间的反应，产生1个4He核和2个质子。这种所谓的PPⅠ链基本上发生在（10～20）×106K的温度和大约100 g·cm-3的密度下。这就是发生在太阳内部的基本核过程。对于比太阳大的恒星，如果温度高于2.0×107K，随着4He的丰度增加，其本身可以作为催化剂，诱发所谓的PPⅡ和PPⅢ链。这2个PP链的首个反应发生在3He和4He之间，生成7Be和1个质子。接着，7Be有2种命运，在能量相对较低时（（2～3）×107K），它俘获1个电子生成7Li核。7Li同质子反应产生8Be，8Be特别不稳定，会在10-16s内衰变成2个4He。这条反应链被叫做PPⅡ链。7Be也可以俘获1个质子生成8B。8B接着通过β衰变变成8Be，再变成2个4He，即PPⅢ链。

2 核反应网络方程

为了比较给定环境中元素或核素的数目，人们经常使用元素丰度来度量核素的多少。元素丰度的计算公式为：

其中，Ai表示第i个核素的质量数，Xi表示其占总质量的分数，即质量分数。由于元素的原子量差别较大，单从质量分数还不能直观比较核素的数目。因此，人们喜欢使用丰度来研究恒星的元素演变过程。

核素丰度变化（包括产生和消耗）可以用如下微分方程来表示：

其中：Yx代表第x个核素的丰度；Cx是为避免重复计算而设定的系数，正值代表产生反应，负值代表消灭反应；Rx代表单位体积下核过程的速率（反应率），ρ和NA分别代表密度和阿伏伽德罗常数。等号右边的3项分别对应于单体、两体和三体反应。

核反应网络方程中涉及到的反应率取自JINA RECLIB数据库，当前版本的数据库将反应率作为温度的函数，如式（3）所示。只要确定函数中的7个参数ɑ0～ɑ6，就确定了某个特定的反应率，即反应率进行了参数化［5］。

表1 PP-chain核反应网络方程反应率参数Tab.1 PP-chain nuclear reaction network equation reaction rate parameter

3 程序设计求解核反应网络方程

前面已经写出了质子-质子链核反应网络方程的表达式（4），该网络方程是一个一阶耦合的常微分方程组。其更具一般性的数学表达式如下：

要求解微分方程，必须对初始值进行赋值。所以最终求解核反应网络方程就变为一个常微分方程初值问题。

在质子-质子链中，2个1H融合为1个2D，这是一个弱反应，反应截面非常小，此反应过程相当漫长，有几十亿年。而生成的2D俘获一个1H生成3He的反应，在太阳内部条件下反应时间只有几秒。可见二者相差约17个量级。而且各核素丰度数量级之间差别也很大。几乎所有的核反应都有类似的情况。所以核反应网络方程构成了刚性微分方程［6］。对于刚性微分方程，这里利用二阶Rosenbrock公式来求解。

对于求解常微分方程组，需给定初值［7］。质子-质子链核反应网络方程，初值即各核素的初始丰度。由于质子-质子链是恒星演化第一步的第一阶段氢燃烧，所以初始丰度选取恒星刚刚形成时的元素构成，大约75%的氢，25%的氦。换算成丰度表示见表2。

表2 PP-chain核反应网络方程初始核素丰度Tab.2 PP-chain nuclear reaction network equation initial nuclide abundance

核反应网络方程中的反应率是温度的函数，而且方程中还需知道反应物质的密度。笔者采取了质子-质子链氢燃烧的典型的温度T9=0.015，ρ=160 g·cm-3。核反应的时间设定为1×1022s，在这个时间内能进行完整的质子-质子链氢燃烧。

4 程序运行结果

恒星天体物理实验模块MESA（Modules for Experiments in Stellar Astrophysics）是一套开源、稳固、高效、线程安全的库，适用于计算恒星天体物理的广泛应用。MESA有很多模块构成，不同模块用于实现不同的模拟功能［8］。其中，net模块可以用来求解核反应网络方程。在该模块下，首先建立核反应网络方程文件（.net），该文件内需写入核反应涉及到的核素和核反应式。然后在列表文件（inlist_one_zone_burn）中设定温度、密度、反应时间以及需要输出的数据。运行程序后就可得到核素丰度随时间变化的数据文件。笔者将以MESA程序的结果作为标准验证此次自主设计的程序的正确性。

本次设计的程序与MESA的运行结果比较情况见图2。可以看到，氢燃烧开始时，只有75%的1H和25%的4He。随着时间的推移，3He、7Li、7Be、8B丰度增加，过了1012s后各核素丰度达到了平衡阶段，一直持续到1017s。之后除了4He外，其他核素丰度逐渐减少，即逐渐完成了从氢核合成变成氦的氢燃烧阶段。同时也可以发现，自主设计的程序与MESA的运行结果很好地符合，都很好地反应了氢燃烧过程中化学元素含量的演化情况。从而证明自主设计程序的计算结果是可靠的。

图2 PP-chain核素丰度随时间的演化情况Fig.2 Evolution of PP-chain nuclide abundance with time

MESA的主要功能是模拟恒星演化，需要各模块之间相互配合实现模拟功能。因此，MESA程序结构复杂占用计算机内存空间较大，而且必须在Linux和Mac操作系统下使用。而此次自主设计程序专门用来求解核反应网络方程，占用内存小，程序结构简单，能根据需要方便地进行修改。

5 结束语

根据恒星演化第一步氢燃烧阶段发生的核反应，建立了PP-chain核反应网络方程。由于核反应网络方程是刚性的，在给定了初始核素丰度、温度、密度和演化时间的情况下，利用二阶Rosenbrock公式进行了求解。求解核反应网络方程后，得到了各核素丰度随时间的演化情况。结果准确地模拟了PP-chain氢燃烧的演化过程，并且与MESA的运行结果一致。说明本文的核反应网络方程的建立和求解方法是准确的。基于本工作，下一步计划建立和求解更大的核反应网络方程，从而对恒星及宇宙中其他演化过程进行模拟。