化“椭”为“圆”,由“研题”到“命题”的探索

郗坤洪

[摘  要] 椭圆与圆有很多相似之处，椭圆的很多性质都可以由圆类比得出. 文章主要借助于伸缩变换，化“椭”为“圆”，以椭圆中心三角形面积问题为例进行题源探究，并揭示了问题的本质，从命题者的角度来思考、设计题目，更好地把握命题规律，有利于学生学科素养的提高.

[关键词] 椭圆;圆;三角形;面积

数学家波利亚（George Polya，1887—1985）曾说过，“类比是一个伟大的引路人”. 椭圆是解析几何的重要内容，它的很多性质都可以由圆类比得出. 文章主要借助于伸缩变换，化“椭”为“圆”，以椭圆中心三角形面积问题为例进行了题源探究，并进一步对此类问题进行了命题研究. 通过化“椭”为“圓”，能够有效地降低题目难度，减少运算量，有助于学生系统掌握圆锥曲线问题，提高学科素养;教师通过命题的分析与研究，可以站在更高的视角看问题，提高课堂教学效果.

[⇩] 伸缩变换

在高中数学（人教A版选修4-4）中有伸缩变换的定义：

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′=λ·x（λ>0），

y′=μ·y（μ>0）的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换[1].

对于椭圆E：+=1（a>b>0）和直线l：y=kx+m，在变换φ：x′

=·x，

y′

=·y的作用下，分别化为E′：x′2+y′2=1和l′：by′=kax′+m. 椭圆在变换φ的作用下，有以下性质[2]：

性质1 比值关系不变性：若A，B，C三点共线，伸缩变换后A′，B′，C′仍旧三点共线，同时对应的线段长度比值不变，特别地，当点B为线段AC的中点时，点B′也为线段A′C′的中点.

性质2 位置关系不变性：伸缩变换前直线与椭圆的位置关系（相切、相交、相离）在伸缩变换后保持不变.

性质3 面积关系确定性：伸缩变换前图形面积S与伸缩变换后图形面积S′满足关系S=abS′.

[⇩] 问题探究

设直线l：y=kx+m不过原点O，且与椭圆E：+=1（a>b>0）有两个不同的交点A，B，则称△OAB为椭圆的中心三角形. 由伸缩变换的性质可知，求解椭圆中心三角形的面积，完全可以转化为求解对应圆的中心三角形的面积.

在伸缩变换φ的作用下得到：l′：by′=kax′+m与E′：x′2+y′2=1的交点为A′，B′，∠A′OB′=α，则S△A′OB′=sinα，S△AOB就转化为了S△A′OB′. 显然当α=90°时，S△A′OB′的最大值为;由伸缩变换的性质3可知S△AOB的最大值为，此时直线l′与圆E′的位置关系如图1所示. S△AOB的最大值取决于直线l与椭圆E的位置关系，即在椭圆已知的情况下，需要研究k，m对S△AOB的影响，有如下三种情况：（1）k确定;（2）m确定;（3）k，m存在线性关系.

（1） 当k确定时，不妨设k=k，直线l为一族平行线，在伸缩变换φ的作用下，l′：by′=kax′+m，当圆心O到l′的距离d=（α=90°）时，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，如图2所示. 此时d==，即m=±，直线l′与圆x′2+y′2=相切，直线l：y=kx±，同时S△AOB无最小值.

（2）当m确定或k，m存在线性关系时，直线l过定点，不失一般性. 设直线l过定点P（s，t），在伸缩变换φ的作用下，对应的l′过点P′

，

. 由平面几何知识可知：

①当

OP′

=≥，即

2+

2≥时，存在直线l′使得α=90°时，S△A′OB′有最大值，即S△AOB有最大值，此时圆心O到l′的距离d=，直线l′与圆x′2+y′2=相切，如图3所示.

②当

OP′

=<，即

2+

2<时，不存在直线l′使得α=90°，此时圆心O到l′的距离d≤

OP′

<， 所以α为钝角. 由S△A′OB′=sinα知，当α取最小值时，S△A′OB′有最大值，也就是当弦心距d取最大值时，α取最小值，即d=

OP′

，OP′⊥A′B′，如图4所示. 所以sin==，cos==d，所以S△A′OB′的最大值为·2d=d，S△AOB的最大值为abd.

由以上讨论可知，不论是平行直线族还是直线过定点，S△AOB的最值都与圆x′2+y′2=

椭圆+=

有关：如果平行直线族或定点在此圆（椭圆）外，S△AOB的最大值为;如果定点在此圆（椭圆）内，当OP′⊥A′B′时，S△AOB的最大值为abd.

[⇩] 应用举例

例1 （2014年全国Ⅰ卷理科第20题）已知点A（0，-2），椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

（1）求E的方程;

（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

解析：（1）+y2=1.

（2）设直线l：y=kx-2，作伸缩变换φ：x′

=·x，

y′=y.椭圆E：+y2=1，直线l：y=kx-2，点A（0，-2）在φ的作用下，得到：E′：x′2+y′2=1，l′：y′=2kx′-2，A′（0，-2）. 根据上述分析可知，S△OP′Q′的最大值为，于是S△OPQ的最大值为×2×1=1，此时d==，解得k=±，所以直线l的方程为y=±x-2.

例2 （2015年浙江卷理科第19题）如图5所示，已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称.

（1）求实数m的取值范围;

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.

解析：（1）略.

（2）作伸缩变换φ：x′=

·x，

y′=y.椭圆+y2=1，直线y=mx+，k=-在φ的作用下，得到：x′2+y′2=1，y′=mx′+①，kA′B′=-. 设P为AB的中点，根据性质1可知，P′为A′B′的中点，于是kOP′=，OP′：y′=x′②，联立方程①②得P′

-，-

，当P′在x′2+y′2=上，即m2=2时，S△A′OB′有最大值，如图6，于是S△AOB的最大值为=.

[⇩] 命题探索

通过前面的题源分析及示例，笔者尝试命制如下题目.

1. 利用弦过定点构造条件

改编2018年全国Ⅰ卷理科第19题如下：

命题1：已知椭圆E：+y2=1，点M的坐标为（2，0），过M的直線l与E相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为C，设O为坐标原点，求△OAC面积的最大值.

命题设计分析：可以证明直线AC过定点P（1，0），作伸缩变换φ：x′=

·x，

y′=y.点M，P对应的坐标分别为M′（，0），P′

，0

，显然P′在圆x′2+y′2=上，因此S△OA′C′的最大值为，S△OAC最大值为=.

通过改变M的位置控制题目难度，M的位置改变使得定点P的位置也发生了改变，导致P′位于圆x′2+y′2=内或外，从而S△OAC的最大值也发生了变化. 一般地：

结论1：对于椭圆E：+=1（a>b>0），设M的坐标为（x，0），通过计算可知直线l过定点P

，0

，所以P′的坐标为

，0

.

①当M的横坐标满足0<

x≤a时，P′位于圆x′2+y′2=外，S△OA′C′的最大值为，S△OAC的最大值为.

②当M的横坐标满足

x>a时，P′位于圆x′2+y′2=内，由前面的分析可知，当OP′⊥A′C′时，S△OA′C′有最大值. S△OA′C′的最大值为

，S△OAC的最大值为ab

.

2. 利用特殊图形构造条件

如椭圆内接平行四边形，相似题目有2015年全国Ⅱ卷理科第20题、2021年佛山市高二期末考试第22题，题目如下：

命题2：已知椭圆E：+=1，O为坐标原点，在椭圆上是否存在点A，B，C，使得四边形OACB为平行四边形，且面积为定值.

命题设计分析：根据题意作伸缩变换φ：x′=

·x，

y′

=·y.由伸缩变换的性质可知，平行四边形OACB所对应的四边形OA′C′B′是夹角为120°的菱形，因此SOA′C′B′=，于是S=×2×=3. 一般地：

结论2：对于椭圆E：+=1（a>b>0），O为坐标原点，则在椭圆上存在A，B，C三点，使得四边形OACB为平行四边形，且面积为定值ab.

伸缩变换使椭圆问题回归到圆上进行解决，搭建了两者的桥梁，借助于圆的丰富性质来解决椭圆问题，避免了复杂的计算. 同时从命题者的角度来思考、设计题目，更好地抓住问题的本质，把握命题规律，让教学游刃有余.

参考文献：

[1]  人民教育出版社. 数学选修4-4的“坐标系与参数方程”[M]. 北京：人民教育出版社，2008.

[2]  魏国兵. 让椭圆“圆”形毕露——浅谈伸压变换在高考椭圆问题中的应用[J]. 数学教学，2014（05）：13-16.