创设多样教学情境 全面发展数学思维

桂佳

[摘  要] 在新课改的推动下，培养学生良好的思维能力已成为高中数学的重要教学目标之一，然教学中部分教师往往重视学生逻辑思维能力的培养而忽视合情思维的价值，使学生的思维过于单一、保守，课堂气氛沉闷. 为此，教学中应重视合情思维的发展，通过创设悬疑、陷阱、模型等教学情境，充分调动学生的已有知识和已有经验，发挥合情思维的优势，为培养学生自学能力和创新能力奠基.

[关键词] 思维能力;教学情境;创新能力

数学是一门非常严谨的学科，逻辑思维在数学学习中的地位和作用是不可逾越的. 在高考中对于学生逻辑思维能力的考查占首位，然在实际解题中仅仅依赖逻辑思维能力往往是不够的，在解题前需要发现、猜想等思维过程，这些思维活动往往是合情思维提供的. 同时，合情思维给数学思维提供了更广阔的发展空间，其在激发学生数学潜能，培养学生良好的数学思维习惯和思维品质等方面也有着积极的意义，因此在教学中要重视合情思维的发展. 那么如何培养学生的合情思维呢？笔者认为，教师在教学中可以创设丰富多彩的教学情境，为学生提供一个独立思考、和谐发展的平台，充分调动学生已有经验和已有认知进行积极的猜想和大胆尝试，从而让学生具备独立发现问题和解决问题的能力，进而推动学生创新能力的提升.

下面笔者就如何创设情境发展学生的合情思维谈谈几点自己的认识，供同行参考.

[⇩] 巧设悬念，激发探究热情

巧设悬念是数学情境创设的常用手段之一，其目的是通过悬念激发学生的求知欲，使其产生一种欲罢不能的探究热情，此时学生的思维更加活跃，精神更加集中，学生会积极地调动已有经验尝试解决问题. 然学生利用已有经验求解时或方法较复杂，或难以求解，因此需要引入新知识或新方法，从而使学生产生对新知的探究欲望，在这样的情境下学习必然会获得事半功倍的效果.

例1 “对数”的引入.

师：假如A4纸的厚度为0.01 cm，若将其对折，其厚度是多少？

生1：0.02 cm.

师：继续对折呢？

生2：0.04 cm.

师：如果对折20次呢？

生3：大概2 cm.

师：只有2 cm吗？

接下来学生凭直觉又说出了10 cm，50 cm.

师：假如将其对折20次，可能有10层楼那么高. （教师给出答案后，教室一片哗然，学生露出了惊讶的表情）

师：如果你们可以将其对折27次，那么你们就可以自建一个珠穆朗玛峰了.

教学中教师首先让学生尝试对折，形成初步认识，体验“做数学”的快乐，在无法折叠时让学生运用合情思维大胆地猜测，虽然合情思维所反馈的结果可能是假的，然其潜移默化地激发了学生探究的积极性. 通过悬念情境的创设，激发了学生的好奇心和求知欲，学生对接下来的教學内容自然会产生浓厚的兴趣，这有利于生机勃勃课堂的生成，有利于合情思维的发展.

[⇩] 巧设陷阱，制造冲突

数学概念、公式、定理较多，在使用时常常因忽略适用条件而造成错误，因此在教学中可以在易错点设置“陷阱”，制造思维冲突，使学生先“误入歧途”，通过自查、互查、探究等学习过程跳出“陷阱”，从而培养思维的深刻性和严谨性.

例2 已知a，b∈R+且a+b=1，求证：

a+

b+

≥.

本题教师预设了“陷阱”，为了充分展现学生的问题，教师巡视学生的求解过程并让学生进行板演，以让学生充分暴露问题，进而查缺补漏.

错解1：因为a+≥2，b+≥2，所以

a+

b+

≥4.

错解2：

a+

b+

=ab+++，因为ab+≥2，+≥2，所以

a+

b+

≥4.

错解3：因为ab≤

=，+≥2，所以

a+

b+

=ab+++≥6+ab≥6+=.

显然错解1和错解2在应用基本不等式时忽略了“相等”这一关键要素，两种方法若要使等号成立，则a=b=1，显然这与已知条件a+b=1相悖. 错解3的错误较隐蔽，其忽略了异向不等式是不能相加的.

教学中让学生充分展示其思维过程并引导其找到思维盲区，可以有效地引导学生走向合情思维的发展之路. 错误是宝贵的生成性资源，其可以充分地暴露问题，加以正确引导，不仅可以实现查缺补漏的目的，而且有利于思维的全面发展.

[⇩] 巧借模型，化抽象为具体

合情思维虽然在某种程度上存在一定的主观性，但对于一些题目，若用常规思维去求解往往很困难，而通过直觉去观察却很容易得出答案，因此在解题前可以应用合情思维进行大胆判断，充分地挖掘隐含的信息，联想已有经验进行合理的建模往往会获得意外的惊喜.

例3 解方程组x+y+z=1，

x2+y2+z2

=，

x3+y3+z3

=.

本题通过观察很容易求得x=y=z=，然合情思维具有一定的猜测性，其不像逻辑思维那样严谨，因此若求解时直接给出答案x=y=z=显然理由不够充分;然若采用直接代入法进行求解显然计算量过大，求解困难，因此在解题时需要另辟蹊径. 通过观察本题的特点，可以将x+y+z=1联想成平面方程，即表示在x轴、y轴、z轴上的截距都为1的平面;将x2+y2+z2=联想成球面方程，即表示以原点为球心，为半径的球面. 那么x+y+z=1与x2+y2+z2=的解应为两面的交点坐标，球心（0，0，0）到平面x+y+z=1的距离d===球半径，故可知平面x+y+z=1与球面x2+y2+z2=相切，切点的坐标为

，，

，此为两方程唯一的实数解. 将结果代入x3+y3+z3=，容易得出其同样适用. 故方程组的解为x=y=z=.

本题利用合情思维大胆地将方程构建成熟悉的数学模型，进而将抽象的代数问题转化为几何模型，模型同已有经验有机结合，从而顺利地解决了问题.

[⇩] 利用多媒体教学情境，活化思维

随着信息技术的发展，計算机在数学教学中所发挥的作用日趋明显，抽象的动态运动过程通过计算机进行模拟使之变得更加直观具体，有些难以用语言表达的信息通过转化使之更加通俗易懂. 因此，在教学中适时地应用多媒体可以有效突破教学的重难点，发展学生的合情思维.

例4 如图1所示，AB为过椭圆+=1（a>b>0）的左焦点F的弦，过O作弦AB的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程.

为了让学生更加直观地感受点M的运动过程，教师运用了几何画板进行演示：拖动点A在椭圆上转动，跟踪点M，得到点M的运动轨迹如图2所示，其轨迹为一个圆. 分析轨迹后，该如何求解呢？教师引导学生进行小组交流，合作解决.

生4：设弦AB所在直线的斜率为k，则与其垂直直线的斜率为-，将两直线方程联立并求出交点坐标即为M的坐标.

师：是一个办法，那么该如何求解呢？

生4的方法是学生常用的方法，然本题若用此方法求解显然很难计算. 学生尝试消去参数k来得到圆的轨迹方程，然因计算过于复杂，所以未能得出答案.

师：看来生4的思路简单，但是求解过程复杂，我们能不能找到更为简单的方法呢？

生5：根据图2可以得到OF为圆的直径，是否可以利用这一条件呢？

师：很好的发现，现在沿着这个思路，看看能不能找到计算方便的方法呢.

生6：因为OM⊥AB，所以OM2+

FM2=

OF2. 若设点M的坐标为（x，y），点F的坐标为（-c，0），则x2+y2+（x+c）2+y2=c2，即

x+

+y2=

.

生6给出答案后，大家非常惊讶：原来可以这么简单！大家还在回顾生6的解题策略时，又有学生提出了新的想法.

生7：其实本题给出的椭圆方程就是一个陷阱，引导我们将证明的重心都放在理解椭圆方程和椭圆图像上，其实仔细观察后不难发现，本题只与原点O和点F的坐标有关，与椭圆的弦AB并没有关系，因此可以将题目进行转化，即“过定点O（0，0）和定点F（-c，0）作两条互相垂直的直线，垂足为M，求点M的轨迹方程”.

教学中，教师通过多媒体引导学生观察动点M的运动轨迹，为下面的探究做了充分的准备. 学生首先利用已有经验采用解方程组的方式求解点M的轨迹，求解时发现计算过程复杂，此时教师并未直接给出答案，而是鼓励学生继续观察，寻找最优的解决方案，生6给出的解题方案拓宽了学生的视野，将探究推向了高潮，生7对题目的转化表明思维得到了进一步升华.

引导学生将抽象、陌生的数学问题转化为具体、熟悉的数学经验是重要的解题手段，那么，若想转化得更加自然流畅，则离不开教学情境的精心设计. 教学中，适时适当的情境创设可以充分调动学生的积极性，使学生通过多角度观察和多方位思考调动其直觉思维，进而按照已有经验进行合理的迁移和建构，从而进一步培养和发展学生的合情思维.