混合系数线性模型参数的广义根方估计

蔡 齐，蔡择林，江秉华

(1.泰康保险集团股份有限公司稽核中心，湖北 武汉 430000；2.湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

0 引言

考虑如下混合系数线性模型

z(t)=[x(t)]Ta+[y(t)]Tβ

(1)

其中x(t)=(x1(t),x2(t)…,xp(t))T,y(t)=(y1(t),y2(t),…,yq(t))T是t的已知向量函数，a是p×1的固定系数向量，β是q×1的随机系数向量，且β～(b,∑).

现对m个样品，分别在tij(ti1p+q)时

测得以下数据：zij=[x(tij)]Ta+[y(tij)]Tβi+εij

(2)

这里的βi和εij分别是每个样品的随机系数和每次测量的误差，βi与εij独立，且

若记zi=(zi1,zi2,…,zini)T,εi=(εi1,εi2,…,εini)T

则可得：zi=Xia+Yiβi+εi

(3)

设Ci=(Xi,Yi),d=(aT,bT)T,ei=Yi(βi-b)+εi,则式(3)变为

(4)

进一步，记

z=Cd+e,e～(0,D)

(5)

这里还要求rank(Xi)=p,rank(Yi)=q,rank(Xi,Yi)=p+qg.

基于混合系数线性模型的广泛应用背景，许多学者研究了该模型的参数估计问题[3～11]。庄东辰等给出了d的LS估计[3]，但当系数阵接近病态时，LS估计虽然无偏但均方误差过大。针对此情况，刘小茂等提出了一种有偏估计——根方估计[4]，陈静进一步给出了局部根方估计[5]。本文拓广根方估计后，给出了广义根方估计，并证明了在均方误差意义下，广义根方估计分别优于上述估计，最后讨论了根方参数的选取问题。

1 广义根方估计

基于模型(5)，庄东辰等给出了d的LS估计：

模型(5)的典则形式为：

z=Lr+e,e～(0,D)

其中L=CQ,r=QTd,QTCTCQ=Λ=diag(λ1,λ2,…,λg)

刘小茂等给出了d的根方估计：

(6)

其典则形式为：

其中0

若λ1≥…≥λh≥1>λh+1≥…≥λg，为改进根方估计，

陈静给出了d的如下局部根方估计：

(7)

其中0

本文将根方估计(6)作如下拓广，将常数k用对角阵K代替，称

(8)

为d的广义根方估计，

(9)

可以期望均方误差能够进一步下降。

式(8)的典则形式为：

2 广义根方估计的性质

为叙述方便，此处明确下文记号：若K=diag(k1,k2,…,kg)

证 显然

解得kj的最优值为：

定理得证。

即在均方误差意义下，广义根方估计优于根方估计。

从而

定理得证。

即在均方误差意义下，广义根方估计优于局部根方估计。

定理得证。

3 根方参数的选取

此处介绍极小化均方误差的无偏估计法，

=rT(ΛK-I)2r+tr[(ΛK-I)2Λ-2LTML]+σ2tr[(ΛK-I)2Λ-1],

σ2tr[(ΛK-I)2Λ-1]

4 模拟算例

模拟中，我们取p=q=1,m=1,n1=2.假设时刻tij服从[0，1]上的均匀分布，由MATLAB生成随机数t11=0.1270;t12=0.9058.

代入数据，由MATLAB计算得QTCTCQ=Λ=diag(2.4890,0.4944).

当0

k0.10.30.50.70.9MSE(^d(k))23.128717.698914.042912.132812.1885MSE(^dL(k))22.739117.208713.06419.96167.6419