刘雪梅
[摘 要] 职业教育是全国教育系统非常重要的一环,因此提高高职学生面向未来的能力已迫在眉睫。从数学建模的意义与高职学生数学建模能力的现状两方面出发,分别从多层次进行高职数学教学、全过程引入数学建模优秀案例、全方位开展数学建模活动三方面来研究如何提高高职学生的数学建模能力。
[关 键 词] 数学建模;高职教学;數模案例;实践创新
[中图分类号] G645 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603(2022)19-0088-03
一、提高数学建模能力的意义
(一)增强应用数学知识的能力
在数学建模过程中,要能把实际问题用数学语言表示为明确的数学问题,建立数学模型,运用所学的数学知识求解,还要用通俗的语言表达,从而转化到实际中应用。数学建模的问题都是与生活息息相关的问题,学生解决问题后会提高学习高等数学的主动性和积极性。数学应用和翻译能力对学生以后在工作岗位上的发展非常有帮助。
(二)增强自学、自辨能力
在信息快速更迭的现代社会,要提高学生对新知识、新技术的学习能力,更需要学生具有查找、筛选信息的能力,才能在面对复杂的信息时有自己独立的见解,提高学生未来工作的发展潜力。数学建模的问题具有多样性、复杂性、综合性的特点,要求学生在掌握数学知识的基础上继续拓宽知识面,通过查找文献,筛选到有用信息,在短时间内快速学习并应用。所以,数学建模是提高高职学生自学、自辨能力的重要途径。
(三)增强数学软件的应用能力
近年来,大数据分析、云计算、人工智能等技术发展迅猛,数学软件使实际问题计算提高精确度,解决问题更高效。应用数学软件能完成人工无法完成的任务,得到直观的图表,更有利于深入探究。这些益处促使数学软件应用广泛。而数学建模给了学生应用数学软件的机会。学生在数学建模中会熟练使用Matlab、Lingo、Spss等软件中的各项功能和命令,从而提高学生数学软件的应用能力。
(四)培养团队合作精神和坚强的意志力
数学建模需要三位队员来参与,进行模型建立、模型求解和灵敏性分析等,三人全力以赴,分工合作,优势互补,把建模、编程、论文三部分以一篇论文完成。在这个过程中可培养学生的交流沟通能力,学会互相尊重与鼓励,培养学生迎战困难的信心与耐心和坚持不懈的意志。这些品质在学生未来的工作中会大有裨益。
(五)提高创新能力
针对国家要求培养学生的创新能力,虽然高职学生对理论知识理解深度不够,但本着对高职学生“够用”为度,增加应用的要求,学生在技术应用性上有所创新未尝不可,而数学建模是培养学生创新能力的有效途径之一。数学建模的特征是解决方法不唯一,可以查阅网络和参考书籍,可使用数学软件编程解决,这就为学生的创造性提供了发挥空间。在寻求更独特的创意、更好的解决方案的过程中,会大大激发学生的创新意识,培养学生的创新能力。
二、高职学生数学建模能力的现状
(一)学生数学基础差,对数学建模兴趣淡漠
首先,随着近几年高职学生扩招,高职学生来源有高考、技校、中专、退伍军人等渠道[1],一般都是数学基础差,数学建模能力更弱。表现为:数学理论知识基础不扎实,计算能力较弱。学习新知识对教师的依赖过大,更没有主动学习新知识的自觉性和积极性。并且有部分学生认为数学学习与专业课关系不大,数学无用;还存在少部分学生一直对数学学习有恐惧和排斥心理。这种种情况导致学生对数学建模的兴趣不高。
(二)数学课程课时少、难度大,数学建模知识掌握不够
目前,高职学生教学以够用为度,应用型强为目标,高职高等数学课程的课时量压缩,会导致教学内容精简;考虑到学情,教学内容缺乏系统性与连续性,注重单个知识点的学习和计算;数学建模方面的知识只能抛砖引玉,无法深入地将内容讲解透彻、拓展应用,数学软件应用能力不足,不利于学生数学建模能力的培养。并且对类似全国大学生数学建模竞赛赛题这样复杂的实际问题,现有的数学知识对高职学生进行数学建模是远远不够的。
(三)教师教学方法欠佳,影响学生数学建模能力培养
针对高等数学课程理论性强的特点,教师多强调理论上严谨的数学逻辑思维,注重运算技巧的训练,一个知识点对高职学生的要求一般是直接套用数学公式做简单计算,课堂信息量少,学生不能发挥主观能动性。教师在教学过程中不能结合信息社会的需求,给学生讲解涉及数学软件应用的问题,使学生认为数学就是计算题,对学习数学的积极性降低;学生遇到稍微多变的实际问题会无从下手,从而影响学生数学建模能力的培养。
三、提高高职学生数学建模能力的途径
(一)加强高等数学基础知识的应用能力
1.教师应遵照学校培养应用型人才的定位,以学以致用的原则进行理论教学,减少理论推导内容的讲解,淡化证明步骤,强调几何直观理解,注重应用性举例,让学生将知识能够应用到实际问题中[2]。例如:由曲边梯形的面积引入定积分的概念,最后给出如何计算面包的体积与重量的问题让学生深入思考,既是生活中的常见问题,引发学生学习数学的兴趣,又能巩固积分知识,并且可以拓展到其他物体的体积与质量的求解问题等,加强数学概念的理解与应用意识,增强学生数学建模的意识。C679D08B-9B19-43B1-A5E2-1749701DE2C6
2.教师应在课堂教授数学软件,提高学生的数学应用能力[3]。鉴于课时量少,教师可根据课程内容在一章结束时,给学生展示学习内容如何在数学软件中实现。例如:演示Matlab中的画图命令plot,将函数用数学软件画出直观、形象的图表;演示Matlab中定义符号变量的命令“syms x y z”和计算积分精确值命令“int( )”和近似值命令“quad( )”等,提高学生学习积分学的兴趣,体会到数学软件的快速、高效和准确。增强学生学习数学软件的主动性与积极性,提高学生数学软件的应用能力,进而提升应用数学知识的能力。
(二)引入数学建模案例,增强数学建模知识与
能力
1.课前引入,激发学习兴趣
在课堂引入典型的数学建模例子可激发学生学习当堂数学知识和数学建模的兴趣,潜移默化中了解数学建模过程[4]。例如:在讲《概率论与数理统计》中“事件的独立性”一节时,教师提出一个问题:“设有100人参加核酸检测,假设阳性率为0.0001,有两种方案:方案一:逐一检测。方案二:十人混检,哪种方案好,为什么?”结合时代现实问题,学生兴趣浓厚,在此基础上讲解本节课的内容。
学完后回归课前导入问题,方案一逐一检测需要100次。对于方案二,算出每组检测次数X的分布律为 1 110.999910 1-0.999910 ,每組平均检测次数E(X)=1×
0.999910+11×(1-0.999910)≈1,共平均检测次数约10次,工作量减少约90%,所以方案二好。
拓展延伸:若阳性率p=3,这时选方案一还是方案二好?引发学生讨论与思考。应用上述方法得出此时十人混检的平均检测次数为107,比方案一的100次多,反而增加了工作量,此时方案一更适合。
思考题:近期全国疫情时有发生,应用所学知识,请学生思考并提供给相关部门合理的核酸检测方案,可围绕不同人群的阳性发生率不同、怎样最优检测等提出不同的方案。
思考题引发学生为国分忧的爱国意识,激发其精益求精的科学精神,了解分类讨论的数学思想,进而对数学建模解决实际问题增添更多的兴趣。
2.课堂讲解,传授数学模型知识
学习了“微分方程”后,结合疫情背景,讲解传染病模型,学生会深入了解疫情防控政策,从微分方程的角度分析传染病的传播规律,探究制止疫情发生或蔓延的手段,激发学生的成就感。
首先,假设某地区发生传染病,设t时刻的患者数是x(t),每天每个患者有效接触的人数为λ(λ为常数),设0时刻的患者数为x0,写出患者数随时间的变化规律。
考虑从t到t+Δt时间内患者数的变化,可知x(t+Δt)-x(t)=λx(t)Δt
两边除以Δt,由导数与微分定义得:
=λx,x(0)=x0。
由可分离变量的微分方程的求解方法得出特解
x(t)=x0eλt。当t→∞,患者数将越来越多,不符合实际,因此需改进。
模型改进:在患者有效接触的人中,没有区分健康者与患者,改进中应区别。
设某地区总人数N不变,s(t)是t时刻的健康者比例,i(t)是患者比例,s(t)+i(t)=1,设0时刻的患者数为i0。类似考查从t到t+Δt时间内患者数的变化知:N=λNsi,化简得:=λi(1-i),i(t)=i0。
启发学生通过变量代换,把未知通过学过的一阶线性非齐次微分方程的通解公式最后求解得出i(t)=
。分析知当患者比例为0.5时,患者的增长速度最快,标志着传染病高潮的到来。而新冠疫情传播速度快,国家动态清零的政策就是阻止其到来。此模型是在人口预测、可持续发展等问题中应用广泛的Logistic模型。
而此时当t→∞,患者数将无限多,也与实际不符。可对模型进一步优化,启迪学生思考人群中没有考虑治愈者,以及治愈者是否具有免疫性两种情况,作为思考题分小组课后完成。
由此例知,学会分析变化率关系建立微分方程数学模型是首要的。其次学会运用所学知识求解实际问题。最后发现与实际不符,要学会改变假设,优化模型。
3.课后拓展,数学建模应用实际
在学习多元函数微分学内容后,可将“空调销售量的预测”问题[5]作为小组实践题进行考查。
内容为:某家店商场经营两种品牌的空调,当A品牌空调每台定价为x(千元),B品牌空调每台定价为y(千元),空调的销售量为Q(x,y)=120-22x2+16y(台)。
假设现在是二月份,在未来几个月内,随着气温逐渐升高,两种空调的销售价格都呈上升趋势,预测从现在起的第t个月,A品牌空调的销售价格为x=1.8+0.05t(千元/台)(t=0,1,2,…,6);B品牌的销售价格为y=
1.75+0.1(千元/台)(t=0,1,2,…,6)。
问题:利用边际函数帮助商场预测七月份A品牌空调的销售量是增加还是减少。
首先要学会查找资料,边际指经济学中的函数,因变量对自变量的导数的统称。空调销售量Q(x,y)的边际函数在t=t0(月)处的导数值Q′(t0)近似表示第t0+1(月)增加的销售量。由题意知,现在是二月份,七月份是从现在起的第5个月,因此,只要求出Q′(4)即可。
将Q(x,y)转化成关于t的关系式
Q(x,y)=120-22(1.8+0.05t)2+16(1.75+0.1)
边际函数=-44(1.8+0.05t)·0.05+16,C679D08B-9B19-43B1-A5E2-1749701DE2C6
将t=4代入,得出|t=4=-4
结果表明,七月份A品牌空调的销售量比六月份大约减少4台,造成A品牌销售量不增反减的原因,主要是B品牌价格上调的幅度相对偏小。到了七月份,A品牌空调的销售价格为x(5)=1.8+0.05×5=2.05(千元),B品牌销售价格为y(5)=1.75+0.1≈1.974(千元)。
一般来说,在品牌知名度、质量以及售后服务水平几乎相同的情况下,较高的价格难以激起消费者的购买欲望。
在此例中,遇到不懂的名词要学会查阅文献资料;建立边际函数得出结论后,要分析原因,拓展思维,给出可能的因素,并运用控制变量法的思路定量分析。这两点在数学建模中非常重要。
(三)开展多样的数学建模活动,提高学生应用数学建模的能力
提高高职学生的数学建模能力不仅需要利用课堂教學,还需要利用课外实践活动,让学生动手去做,感受数学建模的魅力。
1.建立数学建模Club
为了提高学生对数学建模的参与程度,学校2012年成立了数学建模Club,主要对全校的数学建模活动进行宣传,做到不落一个班级、不丢一位学生。数学建模Club是一条纽带,起到了全校宣传、教师帮生、老生带新生的“传帮带”作用,让更多学生了解并参与数学
建模。
2.开展数学建模选修课
每年春季学期,学校组织开设数学建模选修课,通过不同教师结合自己研究的方向讲授不同的数学模型,资料查阅,论文写作,Matlab、Lingo、Spss等软件操作不同内容,全方位增加学生的数学建模基础知识。
3.开展全校数学建模竞赛活动
春季学期由数学教研室教师主持,数学建模Club协助完成一次校赛。Club成员负责赛前宣传,教研室教师共同商讨选题、出题、负责比赛指导、赛后评分并给出奖项,最后总结收获与不足。
4.开展数学建模专题讲座活动
赛前邀请指导数学建模竞赛经验丰富的教授进行不同专题的讲座;赛后成绩出来后进行全国大学生数学建模竞赛颁奖会暨参赛经验分享会,一方面是对于没参加过数学建模竞赛的学生来说,学长的分享是非常大的鼓舞与激励。另一方面大力宣传数学建模取得的成绩,为后续数学建模工作的顺利开展奠定基础。
四、结论
提高高职学生的数学建模能力,不仅需要教师在课堂教学中抓住教学重点、注重知识应用,还需多引入与生活相关的例子,激发学生兴趣,锻炼学生的数学建模思维。学校需要开展多样的数学建模活动,使学生有参与实践的平台,在实践中真正提高数学建模能力。
参考文献:
[1]高翔.数学建模思想在高职数学教学改革中的应用初探[J].现代职业教育,2021(47):172-173.
[2]王小琴.提高高职学生数学建模能力的方法探讨[J].科技资讯,2020,18(17):116-117.
[3]王海龙,徐爱华,贾敬堂,等.浅谈MATLAB在高职数学教学中的应用[J].邯郸职业技术学院学报,2021,34(3):37-40.
[4]李薇.数学建模融入高职数学课程的探索与实践[J].广东职业技术教育与研究,2021(2):35-37.
[5]曹西林,吉耀武.高等数学[M].北京:北京理工大学出版社,2019.
◎编辑 马燕萍C679D08B-9B19-43B1-A5E2-1749701DE2C6