如何培养学生的数学思维能力

凌朝阳

[摘 要]培养学生良好的思维能力是数学课堂教学的重要目标，而科学的思维品质包括思维的积极性、主动性、灵活性、抽象性和严密性等。教师以“鸡兔同笼”教学为例，提出在课堂教学中培养学生数学思维能力的几个策略。

[关键词]鸡兔同笼;思维能力;解题

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）08-0072-03

课程标准中提到，培养学生的数学思维能力是小学数学教学的一项基本任务，教师应有意识、有计划、有目的地培养学生的数学思维能力。“雞兔同笼”的教学目标是让学生初步认识“鸡兔同笼”趣题，了解有关的数学史，能用列表法、画图法、假设法解决相关的实际问题。同时，引导学生通过画图分析、列表举例、假设计算等方法理解数量关系，体会数形结合的便捷性，体验解题方法的多样性，提高学生的解题能力。那么，如何才能有效促进学生的思维发展，使学生变得能思考、爱思考、会思考？

一、学情与教材分析

四年级学生已经初步积累了运用猜测、枚举、画图等方法解决问题的经验，在学习过程中能够表达自己的想法，因此教学中教师可以放手让学生自主探究、合作交流，使学生有机会获得直接经验。

“鸡兔同笼”问题原属于六年级的内容，现编入四年级教材，一方面是想让学生通过生动有趣的古代数学问题感受我国的数学文化，另一方面是让学生认识用猜测、列表、画图、假设等方法解决问题的策略，培养学生的有序思考及逻辑推理能力。

对四年级学生来说，理解和掌握假设法还有些困难，因此教师在教学时要通过数形结合使学生理解假设法。“鸡兔同笼”问题的作用在于体现解题的策略和思想方法，教师在教学中要注意渗透化繁为简、有序思考、数形结合、假设思想、模型思想等数学思想方法。

二、以“鸡兔同笼”教学为例，培养学生的数学思维能力

“鸡兔同笼”问题在以前是课外典型题，如今编入教材中，对学生，尤其是基础不好的学生来说有一定的难度。因此，笔者认为应让学生经历从多个角度思考、运用多种方法解题的过程，使学生根据已有经验不断调整解题策略，探讨出不同的解法，找到合理的解题策略，并在合作学习的过程中积累解题经验，掌握解题方法，然后灵活运用该方法解决生活中类似“鸡兔同笼”的问题。

由于学生很难理解用假设法解题，因此笔者用画图法来帮助学生理解，先画8个圆圈代表8只鸡，每只鸡画2只脚，这样就有16只脚，缺了10只脚，再给其中几只鸡每只添上2只脚，它们就变成了兔子，然后求出兔子的数量。这样就把抽象的知识直观化了，学生也很快理解了用假设法解题。具体策略如下。

1.创设情境，调动学生思维的积极性

师：同学们，我国是一个历史悠久的国家，有许多著名的数学家，他们带给我们许多宝贵的数学财富，同时也给我们留下了许多有趣的数学问题，你们想看看是什么样的数学问题吗？

生（齐）：想。

师：那就让我们一起坐上时光机，穿越到1500年前的数学课堂，翻开数学名著《孙子算经》，里面记载着这样一个问题。

（教师用多媒体模拟穿越情境，出示《孙子算经》，并作翻页状，呈现题目：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？）

师：谁能用自己的话翻译这个问题？

生1：笼子里有鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，问鸡和兔各有几只？

师：这就是著名的数学趣题——“鸡兔同笼”问题。

【反思】

“鸡兔同笼”问题是一道有趣、益智、富有挑战性的历史名题，对于初次接触这类题的四年级学生来说，有一定的难度，如果引入不当，就容易使学生产生畏难情绪，从而失去思考的动力。因此，笔者通过创设穿越情境，把学生带回古代的数学课堂中，用生动有趣的方式呈现《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题，让学生产生代入感，激起学生的兴趣。可见，在课堂教学中，创设生动有趣的问题情境是激发学生积极思考的重要途径。

2.大胆猜测，激发学生思维的主动性

师：你知道鸡和兔各有几只吗？我们来猜一猜吧！

生1：有10只鸡、6只兔。

（由于数据太大，且该生没有抓住“共35个头”这一要点，便胡乱猜了一组数据）

生2：错了、错了。

师：你怎么知道他说的是错的？

生2：因为鸡和兔一共有35只，他的答案中鸡和兔一共才16只，肯定不对。

师：题中哪一信息反映了鸡和兔一共有35只？

生2：上有三十五头。

师：谁再来猜一猜？

生3：有15只鸡、20只兔。

师：他猜得对不对呢？

生4：算一算总脚数是不是94只。鸡有2只脚，兔有4只脚，15×2+20×4=110（只）脚。还是没猜对。

【反思】

猜测是一个人思考的开始，也是发明创造的开始。学生应敢于猜测、勤于猜测、善于猜测，并在“猜测→验证→再猜测→再验证”的过程中灵活思考。以上教学环节，在“随意乱猜→抓住要点猜→根据结果猜”的过程中，学生的思维实现了从无序到有序、从片面到完善的变化。因此，在课堂教学中，猜测、验证是学生主动探求知识、激发思维主动性的重要方式。

3.化繁为简，提高学生思维的灵活性

师：看来不好猜呀！那我们把数据改小一点，好吗？把35个头改为8个头，把94只脚改为26只脚，如何？

生1：这样就好猜多了。

师（出示表1）：现在大家不用猜了，可以直接用列表法找出正确的答案。

生2：我先从1只鸡、7只兔算起，发现总脚数多了，就依次增加1只鸡，减少1只兔，第三次就得出3只鸡和5只兔的总脚数一共是26只（如表2）。

生3：我先从7只鸡、1只兔算起，发现总脚数少了，就依次减少1只鸡，增加1只兔，最后得出3只鸡和5只兔的总脚数一共是26只（如表3）。

生4：我先对半算，4只鸡和4只兔一共有24只脚，比26只脚少了2只脚，就减少1只鸡，增加1只兔，这样总脚数就刚好是26只了，所以笼子里有3只鸡、5只兔（如表4）。

师：刚才同学们在填表时，都是边填边调整的。谁能说说你是怎样调整的？

生5：总脚数少了，说明兔少了，应该增加兔的数量，减少鸡的数量;总脚数多了，说明兔多了，应该减少兔的数量，增加鸡的数量。

师：在调整的过程中，你们还发现了什么？

生6：我发现把1只鸡换成1只兔，总脚数就会增加2;相反，把1只兔换成1只鸡，总脚数就会减少2。

师：那如果想增加4只脚，该怎么办？

生7：增加2只兔，减少2只鸡，也就是把2只鸡换成2只兔。

师：如果要减少10只脚呢？

生8：把5只兔换成5只鸡。

师：看来同学们不但通过列表法找出了答案，还弄清了鸡和兔的脚数中隐藏的秘密。

【反思】

当学生跃跃欲试时，教师引导他们用列表法寻求正确的答案。学生有了先前猜测的经验，列表时就能做到有序填数、不断调整，部分学生还想到了取中间数以更快寻得答案。学生在列表、试数和不断调整的过程中，逐步发现鸡和兔的只数变化会引起总脚数变化，为下面学习假设法做好思维铺垫。因此，在课堂教学中，当学生的思维受到冲击或出现混乱时，教师适时地引导学生化繁为简、化难为易，降低思考难度，是提高学生思维灵活性的重要手段。

4.数形结合，培养学生思维的抽象性

师：除了列表法，还有没有别的方法可以解这道题呢？

生1：还可以用画图法。

师：画图法既形象又直观，是个不错的方法。

生2：可以用○表示头，|表示脚。

师：那就请同学们尝试用画图法解决这道题。

生3：我先把26只脚全部画好，再用头去配，配2只脚的就是鸡，配4只脚的就是兔，也能得到笼子里有3只鸡、5只兔。

生4：我先全部画成鸡，这样一共有2×8=16（只）脚，还差10只脚，再逐一给原本的鸡添上2只脚，一共给5只鸡添上了脚，变成了5只兔，所以有3只鸡、5只兔。

生5：我的画法与生4的相反，我是先全部画成兔，这样一共有4×8=32（只）脚，多出了6只脚，再逐一给原本的兔擦去2只脚，得出有3只鸡、5只兔。

师：为什么你们都是2只脚2只脚地添上或擦去呢？为什么不添1只脚或擦1只脚呢？

生6：因为一只兔比一只鸡多2只脚。

【反思】

画示意图可以帮助学生理解所学内容。画图的过程实际上就是用假设法的过程。可见，在课堂教学中，教师适时引导学生使用画图法，让形象的图形与抽象的数字有效结合，是培养学生思维抽象性的重要方法。

5.极端假设，增强学生思维的严密性

师：你能用算式把画图过程表示出来吗？

[学生边回答，教师边板书。假设全是鸡：8×2=16（只），26-16=10（只），4-2=2（只），兔有10÷2=5（只），鸡有8-5=3（只）]

师：你们看懂了吗？有没有问题想问？

生1：“4-2”是什么意思？为什么是“10÷2”？

生2：因为兔有4只脚，鸡有2只脚，“4-2”表示兔比鸡多2只脚。

生3：这里假设全是鸡，一共才有16只脚，比题目中的26只脚少了10只，要把10只脚2只2只地添上，可以添给5只鸡，所以这5只鸡就变成了兔。

师：谁能再把整个算式的意义说一说？

（学生回答，教师用多媒体演示画图过程）

师：联系刚才画图的过程，这算式就容易理解多了。我们还可以假设8只全是兔，你会解吗？

（学生列式解题）

师：这三种方法其实都是先假设，再根据脚的只数进行调整。你会选哪种方法来解这道题呢？为什么？

生4：用列表法和画图法来解这道题太麻烦了，用假设法比较方便。

师：现在请你们用假设法去解决与它相似的题目吧！

【反思】

假设法对学生，尤其是基础不好的学生来说理解起来很难。笔者先引出列表法，为后面教学假设法做好铺垫。另外，笔者引导学生通过对列表法的理解，利用假设法来解决问题。由此可见，在课堂教学中，合理运用假设法可以使难以解决的问题变得简单。学生经历了假设的过程，有利于掌握解题技能，增强数学思维的逻辑性与严密性。笔者认为，本课的不足之处在于教学内容的取舍方面。考虑到四年级学生的认知水平，“鸡兔同笼”问题具有一定的挑戰性，要使每位学生充分经历探究的过程，教学时还需要给学生留出更加充足的时间。因此，在改进本课教学时，教学内容需调整，可以将两道练习留到练习课来讲，这样学生就有更充足的时间进行自主探究、合作交流。

在“鸡兔同笼”教学中，师生共同探讨了三种不同的解法：列表法、画图法和假设法。让学生认识、理解、运用假设法是本节课的重点，也是难点。为此，教师引导学生以表格中数据的变化规律为探究基础，以小组合作、师生互动为探究方式，以课件动态演示为辅助手段，巧妙地将认知经验和思维过程转化成数学算式，从而形成了一般解题策略，发展了学生的思维水平和推理能力。

在交流的过程中，学生感受到数学思想方法的运用与解决实际问题的联系，受到多种数学思想方法的熏陶，提高了解题能力和信心，进而体会到数学思想方法的价值。在课堂教学中，教师要善于捕捉教学资源，灵活改进教学方式，运用多样的教学手段给学生提供思考的平台，从而有效促进学生数学思维能力的全面发展。

（责编 黄 露）