邢艳丽
一、问题引入
例1 某型弹药装有50粒炸药,平均每粒炸药对弹头的飞行助推距离为30 m,根据科学测算,每增加1粒炸药将会导致每粒炸药的助推距离平均减少0.2 m,且由于弹壳容量的限制,增加量不能超过40粒. 求增加多少粒该炸药可使弹头获得最大飞行距离,最大飞行距离是多少?
解析:设增加炸药x粒,可使弹头飞行距离达到y m,
根据题意得y = (50 + x)(30 - 0.2x) = -0.2x2 + 20x + 1500 = -0.2(x - 50)2 + 2000,
∵-0.2 < 0,∴当x ≤ 50时,y随x的增大而增大,且当x = 50时,y有最大值. ∵x ≤ 40,∴当x = 40时,y有最大值为1980.
因此,增加40粒该炸药时可使弹头获得最大飞行距离,最大飞行距离是1980 m.
点评:弹壳容量限定了自变量的取值范围,导致函数的最大值可能不是出现在顶点处,而是出现在端点处.
二、典例辨析
例2 如图1,一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的表达式为[y=-112x2+23x+53]. 他将铅球推出的距离是多远?
甲同学的解答如下:
∵[-112] < 0,∴y有最大值,当x = [-b2a] = 4时,y有最大值,即他将铅球推出的距离是4 m.
乙同学的解答如下:
当[y=] 0时,[-112x2+23x+53] = 0,解得[x1=10,x2=-2],所以他将铅球推出的距离是10 - (- 2) = 12(m).
你认为他们的解法正确吗?若不正确,请说明理由,并写出正确答案.
解析:他们的解法均不正确. 理由:铅球推出的距离既不是抛物线最高点对应的水平距离,也不是抛物线与x轴两个交点之间的距离,而是原点O到抛物线与x轴正半轴交点的距离. 所以他将铅球推出的距离是乙同学计算所得[x1=10]对应的10 m.
点评:铅球推出的距离是原点O到抛物线与x轴正半轴交点的距离.
例3 要在一个圆形喷水池中心安装一个大的喷水头,高度为[103] m,喷出的水柱沿抛物线轨迹运动(如图2),在离中心水平距离4 m处达到6 m的最高处. 求这个喷水池的直径AB.
解析:∵沿抛物线轨迹运动的水柱在离中心水平距离4 m处达到6 m的最高处,
∴抛物线的顶点坐标为(4,6),
故设抛物线的解析式为[y=ax-42+6].
又∵喷水头设计的高度为[103] m,
把[0,103]代入抛物线解析式,解得a[=-16],
∴[y=-16x-42+6].
当[y=0]时,解得x1 = 10或x2 = -2(不符合题意,舍去),即B(10,0),
所以这个喷水池的直径AB是20 m.
点评:抛物线与x轴交点到原点的距离就是圆形喷水池的半径.
三、总结提醒
二次函数應用题中的“极值”并不一定对应抛物线的顶点,而应该结合具体情况在顶点、端点、交点中进行选择. 通常,求二次函数中的最远运动距离问题的一般步骤为:
(1)恰当地建立或运用直角坐标系直观呈现抛物线;
(2)将已知条件转化为点的坐标;
(3)合理地设出所求的函数表达式;
(4)根据已有条件求出函数表达式;
(5)利用二次函数的知识及方法解决问题.
四、能力提升
某人从球门正前方10 m处将球从地上踢起射向球门,若此球从离地一瞬间起的飞行路线符合如图3所示的抛物线,且当球飞行的水平距离是6 m时,球到达最高点3 m,则此球能否射入高2.44 m的球门?请说明理由.
答案:能射入球门. 根据题意可知该抛物线顶点为(6,3),且经过点(0,0),故设抛物线的解析式为[y=ax-62+3],∴[0=a0-62] + 3,解得[a=-112],∴抛物线的解析式为[y=-112x-62+3]. 当x = 10时,[y=53<2.44],故能射入球门.
(作者单位:沈阳市辽中区养士堡九年一贯制学校)