利用外心求最值

刘礼胜 於超

【摘要】 在定边（长）定角的动点最值问题中，利用三角形外心确定定长（外接圆半径），就可将动点最值转化为线段的长度比较，达到化动为定的目的.其中直角三角形中斜边大于直角边（简称斜边大于直角边）可作为构造不等式，确定最值的有效方法.

【关键词】 三角形外心;动点最值;化动为定

例1 如图1，△ABC中，过C点作CD⊥AB于点D，若AB=12，∠ACB=60°，求CD的最大值.

解 取△ABC的外心O，连接OA，OB，OC，作OF⊥AB，

可得OA=OB=OC，

因为∠ACB=60°，

所以∠AOB=120°.

因为AB=12，

所以AF=BF=6，OF=23，

OA=OB=OC=43，

因为CD≤OC+OF=63，

即当C，O，F三点共线且F与D重合时取等号，

故得CD的最大值为63.

例2 如图2，△ABC中，过C点作CD⊥AB于点D，E是直线CD上的动点，∠CAE=30°，AD=6.求CE的最小值.

解 取△ACE的外心O.连接OA，OE，OC，作OG⊥CD，垂足为G，

可得OA=OE=OC，

因为∠CAE=30°，

所以∠COE=60°，

则△COE为等边三角形.

设OA=OE=OC=CE=x，

则OG=32x.

OA+OG=x+32x.

因为OA+OG≥AD=6，

则x+32x≥6，

解得x≥24-123.

即当A，O，G三点共线且G与D重合时取等号，

故得CE的最小值是24-123.

例3 如图3，△ABC中，过C点作CD⊥AB于点D，E是直线CD上的点，若∠CAE=30°，AD=6，过E作EF∥AD交AC于点F，求EF的最小值.

解 取△AEF的外心O，连接OA，OF，OE，

可得OA=OE=OF，

因为∠CAE=30°，

所以∠FOE=60°，

则△OEF为等边三角形.

过点O作OK⊥EF于点K，交AD于点H，

设EF=OA=OF=OE=2x，

因为AD=6，

CD⊥AB，EF∥AD，

可知四边形HDEK为正方形，

则HD=KE=x，AH=6-x，

因为Rt△AOH中斜边大于直角边，

所以OA≥AH，

则2x≥6-x，

解得x≥2，

即当O与H重合时取等号，

故得EF的最小值4.

例4 如图4，△ABC中，过C点作CD⊥AB于点D，若AB=30，∠ACB=60°，求AD+2CD的最大值.

解 取△ABC的外心O，连接OA，OB，OC，

可得OA=OB=OC，

因为∠ACB=60°，

所以∠AOB=120°，

因为AB=30，

可得AQ=15，OQ=53，

OA=OB=OC=103.

延长CD至E，使AD=2DE，连接AE，过O点作OP⊥AB，垂足为Q，交AE于P，作OK⊥AE，垂足為K，作CI⊥AE，垂足为I，

因为AD=2DE，CD⊥AB，

所以∠AED=∠APQ，

且 AQ=2QP，OK=2KP.

可得QP=12AQ=152，

OP=53+152，

所以OK=OP5×2=53+152×25，

因为OC+OK≥CI，

而CI=CE5×2，

所以103+53+152×25≥CE5×2，

解得2CE≤1015+103+15，

因为AD+2CD=2（12AD+CD）

=2（DE+CD）

=2CE，

即当C，O，K三点共线且K与I重合时取等号，

故得AD+2CD的最大值为

1015+103+15.

练习

如图5，在等腰Rt△ABC中，斜边AC=6，E，F是AC上的动点，且EF=32，试确定tan∠EBF的最大值.

答案 43.