平行线中的数量与位置关系

杨元红

【摘要】 在数学的学习中，经常涉及到数量关系与位置关系的相互转化，本文从平行线的判定方法和性质两个角度入手，通过例题具体呈现平行线中数量关系和位置关系的相互转化过程，这对数学的学习很有益处.

【关键词】平行线数量关系;位置关系;相互转化

平行线的判定1

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.

例1 如图1，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°.

求证：CF∥BD.

证明 因为BD⊥BE，

所以∠DBE=90°，

因为点B在AC上，

所以∠2+∠DBE+∠1=180°，

所以∠1+∠2=90°，

因为∠1+∠C =90°，

所以∠C=∠2，

所以CF∥BD.（同位角相等，两直线平行）

平行线的判定2

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.

例2 如图2，已知AB⊥BC，BC⊥CD，∠1=∠2.

求证：BE∥CF.

证明 因为

AB⊥BC，

所以∠ABC=90°，

因为BC⊥CD，

所以∠BCD=90°，

所以∠ABC=∠BCD，

因为∠ABC=∠1+∠CBE，

∠BCD=∠2+∠BCF，

因为∠1=∠2，

所以∠CBE=∠BCF，

所以BE∥CF.（内错角相等，两直线平行）

平行线的判定3

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

例3 如图3，已知AC⊥BC，垂足为C，∠B=50°，∠ACD=40°.

求證：AB∥CD.

证明 因为

AC⊥BC，垂足为C，

所以∠ACB=90°，

因为∠BCD=∠ACB+∠ACD，

又因为∠ACD=40°，

所以∠BCD=90°+40°=130°，

因为∠B=50°，

所以∠B+∠BCD=180°，

所以AB∥CD.（同旁内角互补，两直线平行）

平行线的判定方法体现了由数量关系到位置关系的转化过程.

平行线的性质1

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：两直线平行，同位角相等.

例4 如图4，已知直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=125°，求∠2的度数.

解 因为

a∥b，

所以∠1=∠2，

（两直线平行，同位角相等）

因为∠1=125°，

所以∠2=125°.

即∠2的度数是125°.

平行线的性质2

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简单说成：两直线平行，内错角相等.

例5 如图5，已知直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=44°，∠C=57°，求∠BAD和∠CAE 的度数.

解 因为DE∥BC，

所以∠BAD=∠B

∠CAE=∠C，

（两直线平行，内错角相等）

因为∠B=44°，∠C=57°，

所以∠BAD=44°，∠CAE=57°.

即∠BAD的度数是44°，∠CAE的度数是57°.

平行线的性质3

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

例6 如图6，已知AB∥CD ∠B=129°，∠D=134°，求∠BED的度数.

解 如图，过点E作

EF∥AB，

所以∠B+∠BEF=180°，

（两直线平行，同旁内角互补）

因为∠B=129°，

所以∠BEF=51°，

因为AB∥CD

EF∥AB，

所以CD∥EF，

所以∠D+∠DEF=180°，

（两直线平行，同旁内角互补）

因为∠D=134°，

所以∠DEF=46°，

因为∠BED=∠BEF+∠DEF，

所以∠BED=51°+46°=97°，

即∠BED的度数是97°.

平行线的性质体现了由位置关系到数量关系的转化过程.

例7 如图7，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠1+∠2=180°，DE∥BC.

（1）求证：∠3=∠B;

（2）若DE平分∠ADC，∠2=3∠B，求∠1的度数.

证明 （1）因为点F在线段CD上，

所以∠DFE+∠1=180°，

因为∠1+∠2=180°，

所以∠2=∠DFE，

所以AB∥EF，

（内错角相等，两直线平行）

所以∠ADE=∠3，

（两直线平行，内错角相等）

因为DE∥BC，

所以∠ADE=∠B，

（两直线平行，同位角相等）

所以∠3=∠B.

（2）因为DE平分∠ADC，

所以∠ADE=∠ADC，

由（1）知∠ADE=∠3，∠3=∠B，

所以∠ADC=2∠B，

因为点D在三角形ABC的边AB上，

所以∠2+∠ADC=180°，

因为∠2=3∠B，

所以3∠B+2∠B=180°，

所以∠B=36°，

所以∠ADC=2∠B=72°，

由（1）知AB∥EF，

所以∠ADC=∠1，

（两直线平行，同位角相等）

所以∠1=72°.

即∠1的度数是72°.

数量关系与位置关系的相互转化在数学的学习中很常见，让我们在以后的学习中慢慢体会相互转化的价值所在.