第八届世界数学团体锦标赛·青年组

团体赛

1. 已知a n=2n+1，计算：a 1a 2-a 2a 3+a 3a 4-a 4a 5+…+a  17 a  18 .

2. 已知函数f（x）= 2  x+2 +2 2 x+1 .当x∈[-4，4]时，f（x）的最大值与最小值分别记作M，m，求 M+m .

3. 已知长方体ABCD＼|A 1B 1C 1D 1中，点E是线段B 1D 1上任意一点，点F是AE上一点，且AF=2FE.若AB=4，AD=2，AA 1=3，求四面体BDEF的体积.

4. 已知实数a，b，c满足 a（4-b）=4，b（4-c）=4，c（4-a）=4. 求a+b+c的值.

5. 函数f（x）=ax 2+bx+c在区间[d，d+2]的取值范围为[e，e+1]，其中a，b，c，d，e均为实数，求a能取到的最大值.    图1

6. 如图1，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，过点C作CD⊥AB于点D，求线段AD，BD，CD可以构成锐角三角形的概率.

7. 定义在 R 上的连续函数y=f（x）满足下列条件：

①对于任意x∈ R ，都有f（x 3）=（f（x）） 3;

②对于任意x 1，x 2∈ R ，当x 1≠x 2时，都有f（x 1）≠f（x 2）.

求[f（-1）+f（1）] 2-f（0）的值.

8. 已知a，b，c，d是互不相同的正整数，求 abcd a+b+c+d 的最小值.

9. 解方程： x+ x 2 x+1  + x  x+1  =x+1.

10. 已知等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n，且 S n T n = 2n+4 3n-1 ，求 a 6 b 5 .

11. 已知ab>0，a+2b=1，求a+ ab 的最大值.

12. 已知点A（-3，0）和点B（-1，-2），点C是椭圆 x 2 4 + y 2 3 =1上一点，求△ABC的面积的最小值.

13. 将与190互质的所有正整数从小到大排成一列，求第2017个数.

14. 空间四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，若AC⊥BD，求AD.

15. 已知函数f（x）=x 2-2ax+a 2-1，若关于x的不等式f（f（x））≤0的解集中有且只有一个元素，求实数a的取值范围.

16. 已知抛物线C：y 2=2px（p是大于0的常数）的焦点为F，直线l：2x-y-6=0与抛物线C交于两点A、B，若 FA  · FB  =0，求p的值.

17. 已知点P是函数y= e  x的图象上一点，曲线y= e  x在点P处的切线l与直线x=1，x=2及x轴围成一个梯形，求该梯形的面积的最大值.

18. 如图2，足球的球皮由x块相同的正五边形和y块相同的正六边形皮子缝制而成，已知x+y=32，求x的值.

19. 已知正数a，b，λ使得不等式  a 2 a 2+b 2  + λ  b a+b   ≤ 3 2  2 恒成立，求λ的最大值.

20. 设f（x）=∑ 2017 k=1   x k！  ，其中[x]表示不超过实数x的最大整数.若方程f（x）=n（1≤n≤2017且n为偶数）有解，求n的個数.

（注：∑ 2017 k=1   x k！  =  x 1！  +  x 2！  +…+  x 2017！  ）

接力赛

1A  .设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a 1=1，公差d=2，S  m+2 -S m=36，求m.

1B  .设前面队友传来的答案是T.

已知正三棱锥的侧面均为面积为T的直角三角形，求该正三棱锥的外接球的表面积. （π取3）

2A.  求|x-2|+|x-1|+|y|=3表示的曲线所围成的区域的面积.

2B.  设前面队友传来的答案是T.

已知点P是半径为T的球O上一点，过点P作该球的三条两两垂直的动弦PA、PB、PC，求点P到平面ABC的距离的最大值.

3A.  已知ab>0，a+b=ab，求 a 1+a + b 1+b 的最小值.

3B  .设前面队友传来的答案是T.

在xOy平面内，过抛物线x 2=2py（p>0）的焦点F作倾斜角为60 ° 的直线交抛物线于A、B两点，若△OAB的面积为T，求p.

个人赛

1. 已知 2 介于 n+4 n+2 与 n+3 n+1 之间，求正整数n的值.

2. 已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|+  1 2 （ e  x+ e   -x ） （x∈ R ）  ，求f（x）的最小值.

3. 已知橢圆C的两个顶点及两个焦点围成一个正方形，求椭圆C的离心率.

4. 若数列{a n}满足

a  n+1 = 2a n，  0≤a n< 1 2 ;2a n-1， 1 2 ≤a n<1.

若a 1= 2 7 ，求a  2017 的值.

5. 已知直角△ABC的面积为 1 2 ，求△ABC周长的最小值.

6. 设[x]表示不超过x的最大整数，求[ lg 1]+[ lg 2]+[ lg 3]+…+[ lg 2017]的值.

7. 求三角函数式 tan 225°+2tan25°tan40° 的值.

8. 在长方体ABCD＼|A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，求异面直线AC 1与BB 1所成的角的余弦值.

9. 已知正整数数列{x n}满足x  n+2 =x n+x  n+1 （n∈ N  *），若x 6=61，求质数x 1的最大值.

10. 点M是椭圆 x 2 8 + y 2 4 =1上一点，点F是椭圆右焦点，已知点P（2，1），求 2 |MF|+|MP|的最小值.

11. 一个长方体相邻三个面的面积分别为12、48、36，求该长方体外接球的表面积.（π取3）

12. 求方程x 3+6x 2+5x=y 3-y+2的整数解（x，y）的个数.

13. 点P是单位圆O上的一点，A 1A 2…A  2017 是圆O的内接正2017边形，求

PA  2  1+PA  2  2+…+PA  2   2017 .

14. 已知x 1=2，对任意n∈ N  *，x  n+1 = x  2  n x n+1 ，求∑ 2017 n=1  x n x n+1 的整数部分.

参考答案

团体赛

1. a 1a 2-a 2a 3+a 3a 4-a 4a 5+…+a  17 a  18

=a 2（a 1-a 3）+a 4（a 3-a 5）+…+

a  16 （a  15 -a  17 ）+a  17 a  18

=-4（a 2+a 4+a 6+…+a  16 ）+a  17 a  18

=-4× （a 2+a  16 ）× 16 2  2 +a  17 a  18

=-16×（5+33）+35×37

=-608+1295

=687.

2.  f（x）= 4·2 x+2 2 x+1

= （2 x-1）+（3·2 x+3） 2 x+1

= 2 x-1 2 x+1 +3.

令g（x）= 2 x-1 2 x+1 ，易知

g（x）是[-4，4]上的奇函數，

若g（x）在[-4，4]上的最大值是a，

则 g（x）在[-4，4]上的最小值是-a，

所以 M=a+3，m=-a+3，

故 M+m=6.

3. 如图3，由AF=2EF，知 F为AE的三等分点，

易知 三棱锥F＼|ABD与三棱锥E＼|ABD的体积之比为 2∶3 .

设V  E＼|ABD =V，则

V  F＼|ABD = 2 3 V，

V  F＼|DBE =V  E＼|ABD -V  F＼|ABD =V- 2 3 V= 1 3 V，

又 V =V  E＼|ABD = 1 3 S  △ABD ·AA 1

= 1 3 × 1 2 ×4×2×3=4，

所以三棱锥F＼|DBE的体积为

1 3 V= 1 3 ×4= 4 3 .

4. 将题设方程组 a（4-b）=4，b（4-c）=4，c（4-a）=4. 变形，得

a= 4 4-b ，b= 4 4-c ，c= 4 4-a .

代入消元，得

a = 4 4-b = 4 4- 4 4-c  = 4-c 3-c

= 4- 4 4-a  3- 4 4-a  = 12-4a 8-3a ，

即 a= 12-4a 8-3a ，

所以 3a 2-12a+12=0，

即 a 2-4a+4=0，

即 （a-2） 2=0，a=2.

于是 c= 4 4-a =2，b= 4 4-c =2，

故 a+b+c=6.

5. 函数f（x）=ax 2+bx+c上下左右平移，不改变首项系数大小.

不妨设函数在区间[-1，1]的取值范围为[0，1].

分别令x=-1，0，1，

0≤a-b+c≤1，  ①

0≤c≤1，  ②

0≤a+b+c≤1，  ③

①+③，得 0≤2a+2c≤2，  ④

由②、④，得 2a≤2，

即 a≤1，

故 a能取到的最大值为1.

6. 不妨设此圆为单位圆.

当D点在线段OB上时，

设OD=x（0≤x≤1），则

BD=1-x，AD=1+x，

CD= AD·BD = 1-x 2 .

显然，此时AD是三边中较大者，要使此三角形为锐角三角形只须

AD 2

即 （1+x） 2<（1-x） 2+（1-x 2），  ①

且 1+x< 1-x 2 +（1-x）.  ②

由①和0≤x≤1，得

0≤x< 5 -2，

由②和0≤x≤1，得

0≤x<  5  5 .

因为  5 -2<  5  5 ，

所以 0≤x< 5 -2.

由对称性知，线段AD，BD，CD可以构成锐角三角形的概率为

（ 5 -2）×2 2 = 5 -2.

7. 由题设可知f（0），f（1），f（-1）为t=t 3的三个不同实根，

又 t=t 3，

即 t（t-1）（t+1）=0，

解得 t=0，1或-1.

因为 f（x）是连续函数，

所以  f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1， 或 f（-1）=1，f（0）=0，f（1）=-1.

故 [f（-1）+f（1）] 2-f（0）=0.

8. 不妨设a>b>c>d，则

a≥4，b≥3，c≥2，d≥1.

于是有 bcd≥6，cda≥8，

dab≥12，abc≥24.

从而  a+b+c+d abcd

= 1 bcd + 1 cda + 1 dab + 1 abc

≤ 1 6 + 1 8 + 1 12 + 1 24

= 5 12 ，

所以  abcd a+b+c+d ≥ 12 5 ，

当且仅当a，b，c，d分别取值1，2，3，4时等号成立.

故当{a，b，c，d}={1，2，3，4}時， abcd a+b+c+d 取得最小值 12 5 .

9. 方程 x+ x 2 x+1  + x  x+1  =x+1， ①

两边同乘以 x+ x 2 x+1  - x  x+1  ，得

x+ x 2 x+1  + x  x+1   ·

x+ x 2 x+1  - x  x+1

=（x+1）  x+ x 2 x+1  - x  x+1   ，

即  x+ x 2 x+1  - x  x+1  = x x+1 ，  ②

①-②，得  2x  x+1  =x+1- x x+1 ，

即  2x  x+1  = x 2+x+1 x+1 ，

2x x+1 =x 2+x+1，

（x- x+1 ） 2=0，

所以 x= x+1 （x>0），

即 x 2-x-1=0，

解得 正实数x= 1+ 5  2 .

10. 由{a n}与{b n}是等差数列可设

S n=A 1n 2+B 1n，T n=A 2n 2+B 2n.

于是  S n T n = A 1n 2+B 1n A 2n 2+B 2n = A 1n+B 1 A 2n+B 2 ，

由于以上分式约去公因式n所得，故可设

S n =kn（A 1n+B 1）=kn（2n+4）

=2kn 2+4kn.

同理 T n=kn（3n-1）=3kn 2-kn.

又 a 6 =S 6-S 5=（72k+24k）-（50k+20k）

=26k，

b 5 =T 5-T 4=（75k-5k）-（48k-4k）

=26k，

所以  a 6 b 5 =1.

11. 引入待定系数λ>0.

a+ ab  =a+ λa· b λ

≤a+ 1 2  λa+ b λ

= 2+λ 2 a+ 1 4λ ·2b，

当 2+λ 2 = 1 4λ ，即2λ 2+4λ-1=0，解得

正数λ=  6 -2 2 ，

于是  2+λ 2 = 1 4λ =  6 +2 4 ，

所以 a+ ab ≤  6 +2 4 （a+2b）= 2+ 6  4 ，

故 a+ ab 的最大值为 2+ 6  4 .

12. 由点A（-3，0），B（-1，-2），得

AB=2 2 ，

直线AB的方程为 x+y+3=0.

设C（2 cos θ， 3  sin θ），则

点C到直线AB的距离为

|2 cos θ+ 3  sin θ+3|  2  ，

所以△ABC的面積

S = 1 2 ×2 2 × |2 cos θ+ 3  sin θ+3|  2

=|2 cos θ+ 3  sin θ+3|

=| 7  sin （θ+φ）+3|，

其中  sin φ= 2  7  ， cos φ=  3  7 ，

故当 sin （θ+φ）=-1时，

△ABC的面积取得最小值3- 7 .

13. 190=2×5×19，

从1到190中，与190互素的数有

190-  190 2  -  190 5  -  190 19  +

190 2×5  +  190 2×19  +  190 5×19  -  190 2×5×19

=190-95-38-10+19+5+2-1

=72（个），

于是每190个数中都有72个数与190互素，并且循环出现，

又 2017÷72=28……1，

即 2017恰好是第28个循环后的第一个数，

所以满足题意的第2017个数是

190×28+1=5321（其中5321与190互质）.

14.  AC  · BD   = AC  （ BC  + CD  ）

= CA  · CB  - CA  · CD  ，

又  CA  · CB  =  CA   2+ CB   2- AB   2 2 ，

CA  · CD  =  CA   2+ CD   2- AD   2 2 ，

从而  AC  · BD  =  AD   2+ CB   2- AB   2- CD   2 2 .

由题设可知 AC⊥BD，

所以  AC  · BD   =  AD   2+ CB   2- AB   2- CD   2 2

=0，

即  AD   2+ CB   2- AB   2- CD   2=0，

将AB=1，BC=2，CD=3代入上式，得

AD   2+2 2-1 2-3 2=0，

即  AD   2=6，

所以 AD=  AD   2 = 6 .

15. 因为f（x） =x 2-2ax+a 2-1

=[x-（a-1）][x-（a+1）]，

所以 f（x）≤0的解集为[a-1，a+1]，

由f（f（x））≤0，得 f（x）∈[a-1，a+1].

由f（f（x））≤0的解集中有且只有一个元素，得

有且只有一个x使得f（x）∈[a-1，a+1]，

所以 f（x）=a+1有唯一实数根，

即二次方程x 2-2ax+a 2-a-2=0有两个相等根，

所以 Δ=4a 2-4（a 2-a-2）=0，

解得 a=-2.

故 实数a的取值范围是{-2}.

16. 联立 2x-y-6=0y 2=2px ，消去y并整理，得

2x 2-（12+p）x+18=0.

设A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则

x 1+x 2= 12+p 2 ，x 1x 2=9，

所以  FA  · FB

= x 1- p 2   x 2- p 2  +y 1y 2

= x 1- p 2   x 2- p 2  +4（x 1-3）（x 2-3）

=5x 1x 2- 12+ p 2  （x 1+x 2）+ p 2 4 +36

=45- 12+ p 2  × 12+p 2 + p 2 4 +36

=9-9p，

由 FA  · FB  =0，得 9-9p=0，

即 p=1.

17. 设点P（t， e  t）.

由y= e  x，得 y′= e  x，

所以y= e  x在點P处的切线l的方程为

l：y= e  y（x-t）+ e  t，

于是有，l分别与直线x=1，x=2交于点

（1， e  t（2-t）），（2， e  t（3-t）），

所以梯形的面积

S = 1 2 [ e  t（2-t）+ e  t（3-t）]×1

=  e  t（5-2t） 2 ，

又 S′=  e  t（3-2t） 2 ，

令S′=0，得 t= 3 2 <2，

当t< 3 2 时，S′>0，即

S=  e  t（5-2t） 2 在 -∞， 3 2  上单调递增;

当t> 3 2 时，S′<0，即

S=  e  t（5-2t） 2 在  3 2 ，+∞ 上单调递减.

所以 S≤ 1 2  e     3 2   5-2× 3 2  = e     3 2  ，

故 满足题意的梯形的面积的最大值为 e     3 2  .

18. 设足球皮表面上的多边形的顶点数是V，棱数是E.

因为每个六边形有6个顶点，每个五边形有5个顶点，

所以足球皮表面上的多边形的顶点数是

5x+6y=5x+6（32-x）.

另一方面，每个顶点都是3块皮子的公共顶点，所以总顶点数是3V，

于是有 5x+6（32-x）=3V.  ①

又 每个六边形有6条边，每个五边形有5条棱，

所以足球皮表面上的多边形的棱的总数是

5x+6（32-x）.

另一方面，每条边是两块皮子的公共棱，所以棱的总条数是2E，

于是有 5x+6（32-x）=2E.  ②

由①，②，得 2E=3V.  ③

由多面体的欧拉公式：

顶点数+面数-棱数=2，

得 V+32-E=2，

即 E=V+30，  ④

④代入③，得 2（V+30）=3V，

即 V=60.  ⑤

⑤代入①，得 5x+6（32-x）=3×60，

解得 x=12.

19. 记 a b =x（x>0），

则不等式  a 2 a 2+b 2  +λ  b a+b  ≤ 3 2  2 可变为

x 2 1+x 2  +λ  1 1+x  ≤ 3 2  2 .

因为   x 2 1+x 2  +λ  1 1+x

= x  1+x 2  + λ  1+x

≤ x   （1+x） 2 2   + λ  1+x

=  2 x 1+x + λ  1+x

= 2 -  2  1+x + λ  1+x

= 2 - 2   1 1+x -  2 λ 2 1+x

= 2 - 2   1  1+x  -  2  4 λ  2+  2  8 λ 2

≤ 2 +  2  8 λ 2

≤ 3 2  2 ，

當且仅当 1  1+x  =  2  4 λ且x=1，即x=1且λ=2时取等号成立，

由 2 +  2  8 λ 2≤ 3 2  2 ，得 λ 2≤4，

解得 0<λ≤2，

故 滿足题意的λ的最大值是2.

20. 由

f（x）=∑ 2017 k=1   x k！  =∑ 2017 k=1   [x] k！  =f（[x]），

知f（x）=n有实数解当且仅当f（x）=n有整数解.

对于整数x，有

f（x+1）-f（x）

=[x+1]-[x]+∑ 2017 k=2    x+1 k！  -  x k！   ，

所以 f（x）（x∈ Z ）单调递增.

因为 6！=720，7！=5040，

所以 f（1176） =∑ 2017 k=1   1176 k！  =∑ 6 k=1   1176 k！

=1176+588+196+49+9+1

=2019，

f（1175） =∑ 2017 k=1   1175 k！  =∑ 6 k=1   1175 k！

=1175+587+195+48+9+1

=2015，

令0

0

因此，方程f（x）=n（1≤n≤2017且n为偶数）有解时，n的个数，即为

{f（1），f（2），…，f（1175）}中偶数的个数.

又k>1时，有

2m+1 k！  =  2m k！  （2≤m≤2017），

所以 f（2m+1）-f（2m）

=1+∑ 2017 k=2    2m+1 k！  -  2m k！   =1，

即 f（2m），f（2m+1）中恰有一个为偶数，

又 f（1）=1，f（2）=3，f（3）=4，…

从而{f（1），f（2），…，f（1175）}中有偶数

1175-1 2 =587（个）.

接力赛

1A . S  m+2 -S m =a  m+2 +a  m+1

=1+2（m+1）+1+2m

=4m+4

=36.

所以 m=8.

1B.  令正三棱锥为P＼|ABC，其中△ABC为底面.

易知，正三棱锥的侧面均为面积是T的等腰直角三角形，

从而 PA=PB=PC= 2T .

于是，该正三棱锥的外接球的直径为

2R= PA 2+PB 2+PC 2 = 6T .

所以，该正三棱锥的外接球的表面积为

S=4πR 2=π（2R） 2=6πT=18T，

由设前面队友传来的答案，知

T=8，

所以，该正三棱锥的外接球的表面积为

18T=18×8=144.

2A.

由|x-2|+|x-1|+|y|=3和 0≤|y| ，

得 |x-2|+|x-1|≤3，

解得 0≤x≤3.

当y≥0时，方程|x-2|+|x-1|+|y|=3转化为函数

y =3-|x-2|-|x-1|（0≤x≤3）

= 2x，2，6-2x，  （0≤x<1）（1≤x<2），（2≤x≤3）     图4

显然，方程

|x-2|+|x-1|+|y|=3

表示的曲线关于x轴对称.

于是，可以画出该方程表示的整个曲线 （如图4） ，其所围区域的面积

S=2× 1 2 ×（1+3）×2=8.

2B.  设PA=a，PB=b，PC=c，则有

AB 2=a 2+b 2，

BC 2=b 2+c 2，CA 2=c 2+a 2.

S  △ABC

= 1 2 AB·AC sin ∠BAC

= 1 2 AB·AC 1- cos  2∠BAC

= 1 2  AB 2·AC 2-（AB·AC cos ∠BAC） 2

= 1 2  AB 2·AC 2- 1 4 （AB 2+AC 2-BC 2） 2

=  1 2  （a 2+b 2）（c 2+a 2）- 1 4 [（a 2+b 2）（c 2+a 2）-（b 2+c 2）] 2

= 1 2  a 4+a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2- 1 4 （2a 2） 2

= 1 2  a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2 .

設点P到平面ABC的距离为h，则有

V  P＼|ABC = 1 6 abc= 1 3 S  △ABC ·h，

所以 h = abc 2S  △ABC

= abc  a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2

= 1   1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2

≤  a 2+b 2+c 2 9

=  （2T） 2 9

= 2 3 T.

由前面队友传来的答案，知

T=8，

所以点P到平面ABC距离的最大值为

2 3 T= 2 3 ×8= 16 3 .

3A.  因为ab>0，a+b=ab，

所以 （ab） 2 =（a+b） 2=（a-b） 2+4ab

≥4ab，

即 ab≥4.

于是  a 1+a + b 1+b  = a（1+b）+b（1+a） （1+a）（1+b）

= a+b+2ab 1+a+b+ab

= 3ab 1+2ab

= 3 2  1- 1 1+2ab

≥ 3 2  1- 1 1+2×4

= 4 3 ，

当且仅当a=b=2时， a 1+a + b 1+b 取得最小值 4 3 .

3B.  抛物线x 2=2py（p>0）的极坐标方程为

R= p 1- sin θ ，

其中，θ为抛物线上的点 P（x，y） 与焦点 0， p 2  所连直线与x轴正方向夹角，R为抛物线上的点 P（x，y） 到焦点 0， p 2  的距离.

所以 |AB|=|AF|+|FB|

= p 1- sin θ + p 1+ sin θ = 2p  cos  2θ ，

S  △OAB  = S  △OAF +S  △OBF  2

=|OF|· |AF| cos θ+|FB| cos θ 2

= p 4 · 2p  cos  2θ · cos θ

= p 2 2 cos θ ，

即 p 2=2S  △OAB  cos θ，

将θ=60 ° ，S  △OAB =T= 4 3 代入，得

p= 2× 4 3 × cos60°  = 2 3  3 .

个人赛

1. 因为  n+4 n+2 =1+ 2 n+2

<1+ 2 n+1 = n+3 n+1 ，

所以 1+ 2 n+2 < 2 <1+ 2 n+1 ，

即  2 n+2 < 2 -1< 2 n+1 ，

有  2（ 2 +1） n+2  <（ 2 -1）（ 2 +1）

< 2（ 2 +1） n+1 ，

2（ 2 +1） n+2 <1< 2（ 2 +1） n+1 ，

得 2 2 

所以 正整数n=3.

2. 因为 |x+1|+|x-1|

=|x+1|+|1-x|

≥|（x+1）+（1-x）|

=2，

当（x+1）（1-x）≥0，即-1≤x≤1时，等号成立.

又  1 2 （ e  x+ e   -x ）≥1，当x=0时等号成立.

所以 f   min  （x）=f（0）=3.

3. 由题设知，此椭圆的短轴长与焦距相等，即

b=c，

所以椭圆C的离心率为

c a = c  b 2+c 2  = 1  2  =  2  2 .

4. 注意到

a 1= 2 7 ，a 2= 4 7 ，a 3= 8 7 -1= 1 7 ，

a 4= 2 7 ，a 5= 4 7 ，a 6= 8 7 -1= 1 7 ，

…

显然 数列{a n}是周期T=3的周期数列，

而 2017=3×672+1，

所以 a  2017 =a 1= 2 7 .

5. 设直角△ABC的三边长分别为a，b，c，其中c为斜边长，则

a 2+b 2=c 2，且ab=1.

于是 △ABC周长

=a+b+c=a+b+ a 2+b 2

≥2 ab + 2ab =2+ 2 ，

當且仅当a=b=1时等号成立，

故 △ABC小值为2+ 2 .

6. 因为对正整数m，

当1≤m≤9时，有 [ lg m]=0;

当10≤m≤99时，有 [ lg m]=1;

当100≤m≤999时，有 [ lg m]=2;

当1000≤m≤2017时，有 [ lg m]=3，

所以   [ lg 1]+[ lg 2]+[ lg 3]+…+[ lg 2017]

=9×0+90×1+900×2+1018×3

=4944.

7. 三角变形，有

tan 225°+2tan25°tan40°

=（ tan25°+tan40°） 2-tam 240°

=   sin（25°+40°） cos25°cos40°    2-  sin 240° cos 240°

=   cos25° cos25°cos40°   2- sin 240° cos 240°

= 1  cos 240° - sin 240° cos 240°      图5

=  cos 240° cos 240°

=1.

8. 如图5，连接A 1C 1.

因為 BB 1∥AA 1，

所以 ∠A 1AC 1是异面直线AC 1与BB 1所成的角.

在 Rt △A 1AC 1中，

AC 1 = AA  2  1+A 1C  2  1 = AA  2  1+AC 2

= AA  2  1+AB 2+BC 2

= 1 2+2 2+2 2

=3，

所以  cos ∠A 1AC 1= AA 1 AC 1 = 1 3 .

9. 设x 1=a，x 2=b.

由x  n+2 =x n+x  n+1 ，知

整数数列{x n}的前6项分别为

a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，

又 x 1=a，是质数，

所以满足3a+5b=61的正整数的解（a，b）为

（2，11），（7，8），（17，2），

故 质数x 1的最大值是17.

10. 椭圆 x 2 8 + y 2 4 =1的离心率

e= c a =  8-4   8  = 1  2  .

作MN垂直右准线于N，PQ垂直右准线于Q.

由椭圆定义，知

|MN|= 1 e |MF|= 2 |MF|.

所以  2 |MF|+|MP| =|MN|+|MP|

≥|PQ|= a 2 c -2

=4-2=2，

当且仅当P、M、Q三点共线，且M在P、Q之间时取等号.

11. 设从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则有

ab=12，bc=48，ca=36，

解得 a=3，b=4，c=12，

于是，该长方体外接球的直径为

2R= a 2+b 2+c 2 = 3 2+4 2+12 2 =13，

故该长方体外接球的表面积为

S=4πR 2=（2R） 2π=169π=169×3=507.

12. 方程x 3+6x 2+5x=y 3-y+2可化为

x（x+1）（x+2）+3（x 2+x）

=y（y-1）（y+1）+2，  （*）

因为 三个连续整数的乘积是3的倍数，

所以 （*）式左边是3的倍数，

而 （*）右边除以3余2，这是不可能的.

所以，原方程无整数解，即

满足题意的整数解（x，y）的个数是0.

13. PA  2  1+PA  2  2+…+PA  2   2017

= PA    2  1+ PA    2  2+…+ PA    2   2017

=（ PO  + OA   1） 2+（ PO  + OA   2） 2+…+

（ PO  + OA    2017 ） 2

=2017 PO  + OA    2  1+ OA    2  2+…+ OA    2   2017 +

2 PO  ·（ OA   1+ OA   2+…+ OA    2017 ）

=2017+1×2017

=4034.

14. 由x 1=2和x  n+1 = x  2  n x n+1 ，得

x n>0，

x n x n+1 =x n 1- x n x n+1  =x n-x  n+1 ，  ①

于是 ∑ 2017 n=1  x n x n+1 =∑ 2017 n=1 （x n-x  n+1 ）

=x 1-x  2018 =2-x  2018 .  ②

由①、②及x n>0，知

∑ 2017 n=1  x n x n+1 <2.  ③

由①和x n>0，知

x n>x  n+1 .

由x 1=2，x  n+1 = x  2  n x n+1 ，得

x 2= 4 3 ，x 3= 16 21 ，

所以 x  2018 

進而有 ∑ 2017 n=1  x n x n+1 =2-x  2018 >1，  ④

由③、④，得 1<∑ 2017 n=1  x n x n+1 <2，

故 ∑ 2017 n=1  x n x n+1 的整数部分是1.