经典重现，追踪溯源

蓝云波

通过对2022年新高考数学全国II卷的深入研究，笔者发现今年的很多高考试题都具有较强的创新性，同时又具有深刻的背景，并突出了对考生综合素养的考查.2022年新高考全国II卷的压轴题就是这样的一道好题.为帮助考生们更高效地备考，下面通过对2022年全国II卷压轴题的分析，谈谈该题的试题赏析、解法探究、题源分析与教学反思，以期对广大师生有所帮助.现分析如下.

2022年新高考全国II卷数学压轴题如下：

【试题】（2022年新高考全国II卷22）已知函数f（x）=xeax-ex.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性;

（2）当x>0时，f（x）<-1，求a的取值范围;

一、试题赏析

2022年新高考数学全国II卷压轴题具有以下的鲜明特点：

首先，试题的叙述较为简洁，直抵问题的核心，使考生较为容易进入答题状态，为考生的平稳发挥奠定一定的基础.第一问较为基础，考查了利用导数研究函数的单调性这一核心考点，由于第一问没有参数，难度不大，起点较低，只要具有一定的基础即可做出来.第二问考查了较为热门的不等式恒成立问题，但却不落俗套.第二问入口较宽，为考生的发挥提供了各种可能，对考生的能力要求较高，体现出了高考压轴试题的选拔能力.第三问则是经典的数列型不等式问题，解答的核心是通项比较法，在证明此不等式前，先要证明一个不等式，而这个不等式具有深刻的背景，即是经典的对数平均不等式.体现出命题者高屋建瓴的命题技艺，使试题具有较强的典型性.

其次，2022年全国II卷的压轴题面目温和、表述简洁、设问层层递进，易于入手而深入较难.后两问的解题的视角与切入点较多，能够为具有一定能力的考生搭建一个适合自己发挥的平台，只要基础知识扎实，具有较强的分析问题的能力，则可结合自己的实际，选择恰当的方法进行解答的.可以说，今年的新高考全国II卷压轴题是一道能甄别出考生能力与水平的一道好题.

再次，2022年全国II卷压轴题考查了函数与导数中的主干知识与基本思想方法.注重学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养的考查.试题以超越函数为载体，综合考查了函数与导数、不等式恒成立问题、数列型不等式的证明等考点.体现出高考重点知识重点考查的原则，对考生的化归与转化能力的要求特别高.是一道能很好地甄别出考生知识能力水平和数学素养的一道好题，并具有很强的选拔能力.

二、解法探究

在近年的全国卷高考试题中，函数与导数压轴题常常以超越函数为载体，命题呈现入口较宽，深入较难的特征.解答常有多个切入点，为考生的发挥提供了较多的可能性.一直以来，压轴题都是让广大考生十分畏惧的考题，甚至有谈之色变的恐惧心理.因此解题常常陷入困境.下面笔者将就2022年新高考全国II卷的考题的解法作较为细致深入的探究.

1. 第一问的解答

【解析】（1）當a=1时，f（x）=（x-1）ex，则f′（x）=xex，

当x<0时，f′（x）<0，当x>0时，f′（x）>0，

故f（x）的减区间为（-∞，0），增区间为（0，+∞）.

【点评】本题由于当a=1时，函数不含参数，因此难度不大，较为基础，只要具备一定的基础知识与能力即可准确求解.是较为平和的问题，但却平复了考生的紧张情绪，为后面考生的稳定发挥奠定了基础，体现出命题者人性化的关怀.

2. 第二问的解答

【点评】直接构造函数求解不等式恒成立问题，是解答此类问题的最常见的方法，难点在于通过分类讨论求得函数的最值再解相关不等式，或找出矛盾区间，排除不适合题意的参数范围.结合本题，难点在于对函数求导之后，导函数还是一个超越函数，如果继续进行二次求导或多次求导也会陷入相同的境地，不利于问题的求解，这也是本题的一大创新之处.如果从函数的端点值进行分析，则可找到解题的切入点，也奠定了解题的基础.在解题过程中，这里给出的解法使用了一定的放缩技巧，优化了解题过程.

题源1与2022年新高考全国II卷的命题方式可以说是如出一辙，解答的方式与技巧也是相通的. 题源2第二问则考查的是对数平均不等式，与2022年新高考全国II卷第三问的背景是一致的. 读者不妨尝试解答下这两题，以提高自己的能力与水平.

四、反思

通过对2022年新高考全国II卷压轴题的分析，笔者认为，在数学解题中，教师与考生应注意到：

1. 教师在引导学生的复习备考过程中，不能让学生一味盲目刷题，新高考特别注重考生的数学核心素养的考查，在平时的教学过程中，应注重数学知识的发生过程，学生只有亲历了这些过程，才能更好地理解数学并爱上数学. 在讲解数学问题时，要揭示问题背景，揭示各种解法的来龙去脉，并让学生亲历解题过程，找出解题瓶颈，找到合理的化解矛盾的良策. 在此基础上在辅以一定量的具有针对性的练习，提高学生的认知与解题水平.

2. 教师要重视学生的数学核心素养的培养，在教学中要重视学生各种能力培养. 如函数与导数中的化归与转化能力、逻辑推理能力、抽象概括能力的培养，这些都不是一朝一夕可以速成的. 教师不可急功近利，对各种解题方法与技巧的解决，重在揭示解题过程中的发生与升华过程，不能越俎代庖，不讲原理，包办一切解题过程.

3. 注重历年高考真题的价值，发挥高考真题的育人价值.如2022年新高考全国II卷压轴题，虽然总体难度较大，但并非高不可攀. 在历年的很多考题中也能找到很多相关的题源，只要我们注重历年经典的高考真题与相关题根的教学与学习，就能跳出题海，提高解题能力，并在高考中取得好成绩.

4. 面对新高考面临的各种挑战，要做到心中有数，不要有畏惧心态，要有迎难而上的魄力. 只要学生的综合素养提升了，就能有效应对各种挑战. 因此，教师在平时的教育教学过程中，要灌输以不变应万变的观念，不被各种口号所误导. 只要踏踏实实落在以培养学生的素养与能力这一实处，就一定会获得成功.

【本文系广东省十三五规划立项课题“基于数学核心素养的高中数学变式教学的实践与研究”（课题编号：2019YQJK272）阶段性研究成果】

责任编辑 徐国坚