高职院校中高等数学竞赛的指导

[摘           要]  针对高职学生的高等数学竞赛可以激发学生的学习积极性，提高学生的学习兴趣。为了在有限时间内提高学生的学习效率，需要对数学竞赛解题的一般规律进行总结。以极限为例，对历年试题中的极限相关试题进行总结，归纳出一般性的结论，让学生在有限的时间内得到最大限度的提高，对高职院校高等数学竞赛的辅导者和参赛者有一定的借鉴意义。

[关    键   词]  高职院校;高等数学;竞赛;极限

[中图分类号]  G712                    [文献标志码]  A                  [文章编号]  2096-0603（2022）30-0109-03

一、引言

高等数学作为一门重要的公共基础课，能够指导学生正确认识客观规律，解决实际问题，对培育学生的科学精神、创新精神，提高学生的逻辑思维能力有重要的意义[1]。现代意义上的数学竞赛起源于匈牙利，是一种发现数学人才的形式，但是针对高职院校学生的数学竞赛更侧重于促进高等数学教学和学习。近几年，我校每年报名参加江苏省高等数学竞赛的人数逐年上升，报名人数从最初的个位数到现在的200人以上。经过问卷调查，报名参赛的学生超过50%是刚入学的一年级新生，具有良好的高中数学基础，参加高等数学竞赛热情较高，但是缺少有效的指导。

为了提高参加竞赛学生的学习效率，教师会利用学生有限的课余时间对学生进行辅导。为了增强竞赛辅导的针对性，需要教师对江苏省历年竞赛试题进行研究，把握试题的类型、解题技巧及难度层次，让学生在有限的时间内得到高效提升。因此本文以极限为例，对历年竞赛试题进行整理归纳，总结出一般性的方法，希望对高等数学竞赛的辅导者和参赛者有一定的借鉴意义。

二、历年极限试题的分类探讨

极限是微积分的核心思想，掌握常用的求极限方法是学好微积分的关键。分析历年高等数学竞赛试题可知，常用求极限的方法有：数列极限的夹逼准则法、去零因子法、等价无穷小替换法、L′Hospital法则、导数定义法、泰勒公式等。下面以历年的竞赛试题为例对常用的求极限方法及极限方法的相关应用进行说明。

（一）数列极限的夹逼准则

数列极限的夹逼准则法是求解数列极限的一种重要方法，其核心思想是放缩，将无法求出表达式的数列求和转化为可求和的数列，进而求出数列极限，充分体现了数学的技巧性和实用性，是近几年考查的热点，首先给出数列极限夹逼准则的定义：

（二）无穷小的比较

小结：此类习题，要求参赛者对同阶无穷小、低阶无穷小、高阶无穷小、等价无穷小的概念能熟练运用，在一些极限中函数的形式较为复杂，此时运用等价无穷小替换可使问题简单化，但在求极限的过程中需注意只有整个式子中的乘除因子才可用等价无穷小替换，当被代换的量作为加减的元素时就不可以使用，或者被代换的量在取极限的时候极限值不为0时候也不能用等价无穷小替换。

（三）L′Hospital法则求极限

L′Hospital法则求函数极限方法一直倍受欢迎，此方法使用起来较方便，可以解决大多数极限问题，常与等价无穷小替换法结合起来考查，以下给出L′Hospital法则的定义：

（四）综合分析

高等数学竞赛重点考查的是学生对知识理解的深入程度和对知识归纳运用的程度，辅导者在加强对学生基本知识和基本概念训练的同时，更要注重培养学生的综合素质，可通过一些综合性的习题培养学生运用基本知识解决问题的能力，例如极限中也常出现涉及知识点较多的习题。

小结：有些试题参赛者觉得无从下笔，通过例7和例8分析可见，每一道看似复杂的难题只是不再单一考查一个知识点，此时需要参赛者对知识点拿捏得很准，不同的问题根据条件和形式一环扣一环地分析，边做边写边判断，数学的学习需要在练习中才能得到较快的提升。

（五）极限的相关应用

以上极限的求法也经常运用于判断函数的连续性及函数间断点的类型，这里给出连续函数及间断点的定義[2]：

小结：连续与间断是极限的延伸，近几年考查主要是以间断点类型的判断为主，要求参赛者对几种间断点的概念进行区别与理解，且在判断的过程中要对几种求极限的方法都加以掌握。

三、结语

通过以上五种问题的探索分析，针对不同的极限题选取恰当的方法，但是每种方法不能孤立开来看，需要参赛者对知识点能融会贯通。极限的问题虽在试卷中位于基础题部分，但存在很多技巧，在以上几种题型的探究过程中也发现历年真题有很多相似之处，大同小异。所以，参赛者在备赛过程中要学会抓住真题，多揣摩，多加练习与总结，才可以灵活地应对竞赛中的极限题[4]，辅导者在指导的过程中要加强学生基本知识和基本技巧的训练，使学生通过参加数学竞赛对高等数学的学习迈入一个新的台阶[5]。

参考文献：

[1]张耘.浅析高职高专数学竞赛对学生创新能力的培养[J].教育与职业，2013（20）：175-176.

[2]张瑜.高等数学竞赛教程[M].苏州：苏州大学出版社，2009.

[3]华东师范大学数学科学学院.数学分析（上册）[M].5版.北京：高等教育出版社，2019.

[4]王罡.高职院校参加高等数学竞赛的相关策划[J].高教学刊，2016（22）：236-237.

[5]付向南.高等数学竞赛试题分析[J].山东工业技术，2017（18）：264.

作者简介：梅玲玲（1991—），女，汉族，江苏如东人，硕士研究生，助教，研究方向：高等数学教学和调和分析。