深度学习的数学教学实践初探

刘燕 郭海燕

摘要：“深度学习”理念与教学方式已显必要.深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并把它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系并迁移到新的情境中，作出决策和解决问题的学习.本文以借助互动白板技术的支持融合下的一段习题课的教学案例实践为例，在以下几个方面（理解的基础上进行较高认知水平层次迁移类比等学习活动生成新知识、构建知识体系;溯源创新解决问题等）分享探讨“深度学习”在教学中的应用.

关键词：深度学习;数学教学;互动白板

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）21-0044-03

深度学习是指在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并把它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系并迁移到新的情境中，作出决策和解决问题的学习.相对应的（也是传统课堂教学流行方式）浅层学习的认知水平停留在识记和理解两个层面上，学习者被动地接受学习内容，对书本知识和教师讲授的内容进行简单的记忆和复制，但是对其中内容却不求甚解，这种学习使学生在课后不久就忘记了所学知识.所以为了强调学生成绩的提高，势必加强训练，增加考试，家长还觉得不够，再校外参加课外培训……，所以才会呼唤减轻学生过重的作业负担和校外培训负担，所以“深度学习”理念与教学方式显得尤其必要.“深度学习”是教学中的学生学习，体现在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与，体验成功、获得发展的有意义的学习过程.“深度学习”必须满足以下五大要点：（1）积极投入，（2）基于理解的学习过程，（3）学习活动和认知能力处于较高认知水平层次，（4）在整体性学习的背景下，逐渐建立自己的知识体系，（5）具有创造性和批判性思维，能够解决情境下问题.

常常碰到这样的一个问题，学生课上听的时候会了，课后做的时候又不会了，同仁也常抱怨，现在学生的能力太弱了，刚讲过的变个条件又不会了，问题出在哪儿呢？笔者经过长时间的调研和反思，发现教师普遍注重教学生怎么做而轻视教学生怎么想，所以，学生的“会”就停留在对解题步骤的理解，至于怎么想到这样做，却不了了之，所以效果自然就是听一题，会一题，甚至对原题也是一知半解的，更不能说迁移了.我们平日的教学当中，认真思考解决好这个问题，其实已经融入了深度学习的理念，下面笔者就一道综合应用型的习题，就互动白板技术的支持融合中解决情境下问题，深度学习的教学案例，与大家分享探讨.

例1在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=ax2-2ax+a-2（a>0），分别过点M（t，0）和点

N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B.记抛物线在A，B之间的部分图像为G（包括A，B两点）.

（1）求抛物线的顶点坐标;

（2）记图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m.

①当a=2时，若图形G为轴对称图形，求m的值;

②若存在实数t，使得m=2，直接写出a的取值范围.

1明确解题目标

解题从学法角度入手、知识溯源来分析，应该分三步：①要明确解题目标是什么;②根据目标追溯与之相关的知识源，结合知识源的主要特征，选择适合的知识源求解;③解决情境下问题与建立自己的知识体系.

以上面的三个步骤作为操作模式，逐步引导学生学会“怎样想”，呈现思路的形成过程和必然性，引导學生掌握基本的分析方法，才能够让学生自悟并有效迁移.下面，笔者通过这个案例说明习题教学如何从教“怎样做”转向教“怎样想”.

2追溯选择与问题相关的知识源求解

设计成下列驱动问题：

问题1：问题（1）求抛物线的顶点坐标，已学过的有关顶点坐标的知识源有哪些？

主要有二次函数解析式顶点式（知识源1）、顶点公式（知识源2）.

问题2：此问应选哪个知识源求顶点坐标？

观察式子结构是字母系数（含参）解析式，然而发现配方成顶点式恰好计算量少于用顶点公式，所以选择知识源1.

问题3：二次函数图像如何确定？主干题中抛物线确定了吗？请用白板画图理解.

a值与顶点确定则二次函数图像确定，其中a值确定带来开口方向与开口宽窄确定.主干题中抛物线只确定顶点与开口向上，开口宽窄不确定，所以是如图1的抛物线系列.

问题4：如何理解“图形G”？

二次函数动态问题的处理策略：数形结合，从直观图像开始认识性态结构，把结构研究作为一种思维的模式，最后超越直观.图形G是水平宽为2的平行垂线截抛物线得的一段，随着t变化，图形位置与大小变化（如图2）.

【设计说明】这两问目的在于由形感知，化难为易，培养学生掌握处理二次函数问题的策略.

问题5：主干题中“图形G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差m”已学过的确定m值的有关知识源有哪些？

主要有平面直角坐标系中点坐标与线段长短转化（知识源1）、“最高点与最低点落差”与“最大值与最小值的差”的转化（知识源2）、结合二次函数图像形状与性质（数形结合求解）（知识源3）、构造待求量与某变量的函数关系，根据函数性质求最值（知识源4）.

问题6：应选哪个知识源？

如图3，结合二次函数图像形状与性质（数形结合求解）（知识源2）与（知识源3）.

问题7：问题（2）①当a=2时，若图形G为轴对称图形，求m的值.如何用轴对称图形解决？

a=2时，图像形状固定，问题仅仅与位置有关，结合图像（如图2），抛物线对称轴仅有一条，发现只有一个位置，满足“部分图像”成轴对称，所以只能与抛物线共对称轴，借助端点对称性求解，点A与点B纵坐标相同为0，与最低点纵坐标-2的差均是2，所以m=2.

【设计说明】目的在于培养学生处理轴对称问题的调控能力.

问题8：问题（2）②若存在实数t，使得m=2，怎样求a的取值范围？

求变量的取值范围常有两种处理策略，一是把要求的变量用另一个变量表示成函数，利用代数计算求取值范围，二是配合图像与性质，数形结合确定取值范围.不论哪种策略都得分类讨论.本题若用代数计算，计算量很大（学生尝试过，计算超越现有的知识范畴），所以选择用后者.

问题9：既然用图形的性质解决此问题，同时，双变量t与a都影响着m值，那么能否模仿二次函数性质探究方法，分别找出a固定或者t固定时m随另一变量的变化规律？

a固定时，回归课本（人教九上P29页），从图像看离对称轴越远越陡峭，从函数值看也是越变越快，m取最小值位置在图形G与抛物线共对称轴时（如图2）;

t固定时，回归课本（人教九上P31页），在a>0的前提下，从图像看a越大开口越窄，横向等宽时高低差越大，从函数值看横坐标等距函数值差距也越大，也就是说a增大m的最小值增大，可能使其超过2（如图3）.也就是说由（2）①得a=2时，m≥2;若a>2，则m>2，即不存在m=2了，所以须得a≤2，才符合题意;综上问题得解0【设计说明】从知识溯源切入，教学生怎样想，目的在于培养学生深入溯源二次函数图像性质探究规律的思维品质，a定m随t的变化规律与t定m随a的变化规律双重规律夹逼下得到问题解决，拓宽思路，从直观图像开始最后超越直观，提升处理二次函数多参数问题的能力.

3解决情境下问题建立自己的知识体系

教师应该引导学生怎样想，尤其是思路受阻时，借助知识溯源、回顾处理相关问题的知识源，往往能打开解决问题的思维通道，确定解题方向的切入点，也比较容易调动学生已有的知识，经验感受和兴趣，从而更加自主参与知识的获取、问题的解决过程，有利于学生从中获取更多的新知、感悟，理解与建构知识结构、促进内化与创新思维.

互动白板技术创造性应用为数学实验创设增加了可操作性，让学生自己动手画y=ax2-2ax+a-2（a>0）图像，操作得图2、图3效果，特别是图1、图2、图3给学生反复观察和共同研究探讨，从而为性质的归纳，结论的提炼，知识的构建，提供了直观到抽象、静态往动态的平台，为创造性和批判性思维的发展提供保障.

正如数学家德海纳特说，所有有活力的思想都有一个缓慢的发展过程，留足够的探索时间，引导学生，围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与，体验成功、获得发展.深度学习有着不可忽视的教育价值.

参考文献：

[1]郭华.深度学习及其意义[J].课程·教材·教法，2016（11.01）：25-32.

[2]刘华为，沈旭东.基于操作感悟突出生成过程——“三角形有关概念的几点思考”[J].中小学教材教学，2020（Z2）：60-62.

[3]刘华为.基于问题驱动，加強功能开发——对例题教学的一点尝试[J].中学数学教学参考，2020（01.15）：60-62.

[责任编辑：李璟]