几何图形位置关系背景下设置的问题例析

童其林

直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系是解析几何的重要内容. 具体来说，这部分内容主要研究直线方程，圆的方程，点到直线的距离，两圆的位置关系的判断与应用，弦长，切线方程，切点弦方程，公共弦方程，圆的轨迹，对称，距离，最值等问题. 2022年的全国新高考1卷、2卷，全国高考甲卷、乙卷，北京卷考查了直线与圆、圆与圆的位置关系，考查了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养. 下面让我们先欣赏这些问题，并对这些问题做一个简单的整理归纳，期望对你的复习备考有帮助.

例1.（2022年全国新高考1卷，14题）写出与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程__________.

解析1：圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1，圆（x-3）2+（y-4）2=16的圆心O1为（3，4），半径为4.

两圆圆心距为=5，等于两圆半径之和，故两圆外切.

如图1，当切线为l时，因为k=，所以kl=-，设方程为y=-x+t（t>0）.

O到l的距离d==1，解得t=，所以l的方程为y=-x+，

当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，k<0，

由题意=1，

=4，解得k=-

，

p=

，y=x-.

当切线为n时，易知切线方程为x=-1，

故答案为y=-x+或y=x-或x=-1.

点评：先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

解析2：画出图像，观察即可得到其中的一条公切线方程n为x=-1.

两圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16左右两边相减，即得其中的一条公切线方程l为3x+4y-5=0.

因为另一条公切线m过点A（-1，-），所以可设此方程m为y+=k（x+1）（k>0），即kx-y+k-=0，所以=1，解得k=，所以直线m为7x-24y-25=0. 可验证，点O1（3，4）到直线m的距离为4，所以7x-24y-25=0为两圆的一条公切线方程.

故答案为x=-1，或3x+4y-5=0，或7x-24y-25=0.

点评：画出图像，观察图像，可以减少运算量.

例2.（2022年全国新高考2卷，14题）设点A（-2，3），B（0，a），若直线AB关于y=a对称的直线与圆（x+3）2+（y+2）2=1有公共点，则a的取值范围是________.

解析：A（-2，3）关于直线y=a对称的点的坐标为A′（-2，2a-3），B（0，a）在直线y=a上，所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l为y=x+a，即（a-3）x+2y-2a=0.

圆C∶（x+3）2+（y+2）2=1，圆心C（-3，-2），半径r=1，依题意圆心到直线l的距离d=≤1，

即（5-5a）2≤（a-3）2+22，即6a2-1la+3≤0，（3a-1）（2a-3）≤0，解得≤a≤，即a∈[，]. 故答案为[，].

点评：首先求出点A关于直线y=a的对称点A′的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可.

例3.（2022年全国高考甲卷，理14题）若双曲线y2-=1（m>0）的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切，则m=_________.

解析：双曲线y2-=1（m>0）的渐近线为y=±，即x±my=0，不妨取x+my=0，圆x2+y2-4y+3=0，即x2+（y-2）2=1，所以圆心为（0，2），半径r=1，

依题意圆心（0，2）到渐近线x+my=0的距离d==1，

解得m=或m=-（舍去）. 故答案为.

点评：本题是双曲线与圆的结合，本质是双曲线渐近线与圆的位置关系，即相切关系. 首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.

例4.（2022年全国高考甲卷，文14题）设点M在直线2x+y-1=0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为______________.

解析：∵点M在直线2x+y-1=0上，

∴设点M为（a，1-2a），又因为点（3，0）和（0，1）均在☉M上，

∴点M到两点的距离相等且为半径R，

∴==R，

a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，

∴ M（1，-1），R=，

故☉M的方程为（x-1）2+（y+1）2=5.

點评：设出点M的坐标，利用（3，0）和（0，1）均在☉M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 也可以先求出点（3，0）与点（0，1）的垂直平分线方程y=3x-4，与直线2x+y-1=0联立，求得圆心坐标M（1，-1），再求出半径即可.

例5.（2022年全国高考乙卷，理14，文15题）过四点（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为____________.

解析：依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

若过（0，0），（4，0），（-1，1），则F=0，

16+4D+F=0，

1+1-D+E+F=0， 解得F=0，

D=-4，

E=-6，

所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0，即（x-2）2+（y-3）2=13.

若过（0，0），（4，0），（4，2），则F=0，

16+4D+F=0，

16+4+4D+2E+F=0，解得F=0，

D=-4，

E=-2，

所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即（x-2）2+（y-1）2=5.

若过（0，0），（4，2），（-1，1），则F=0，

1+1-D+E+F=0，

16+4+4D+2E+F=0，解得F=0，

D=

-，

E=-

.

所以圆的方程为x2+y2-x-y=0，即（x-）2+（y-）2=.

若过（-1，1），（4，0），（4，2），则1+1-D+E+F=0，

16+4D+F=0，

16+4+4D+2E+F=0，解得F=-

，

D=

-，

E=-2.

所以圆的方程为x2+y2-x-2y-=0，即（x-）2+（y-1）2=.

故答案为（x-2）2+（y-3）2=13，或（x-2）2+（y-1）2=5，或（x-）2+（y-）2=，或（x-）2+（y-1）2=.

点评：上述解法是假设圆方程的一般式进行求解，把选取的三个点坐标代入，得到方程组，解得即可. 也可以利用几何意义简化运算. 比如若选取三点为（0，0），（4，0），（4，2），则此三点为直角三角形，圆心在斜边的中点上，半径为斜边长的一半，很快可得到所求的圆方程.

从以上2022年的高考题可以看出，直线与圆、圆与圆的位置关系背景下设置的问题大都放在14题，是一个简单题的位置，也是应该得满分的问题，但有些问题还是有一定的运算量，如果方法选择得好，或者能发现题目的特点，可以减少运算量.下列所举的选择题，若无特别说明，均指单选题.

一、直线与直线的位置关系问题

一条直线时，主要研究直线的倾斜角、斜率、定点等问题. 两条直线时，主要研究两条直线平行、相交、重合等关系，其中相交中的垂直是相交问题的重点问题.

1. 直线的倾斜角、斜率、定点

例6. 直线2xcosα-y-3=0（α∈[，]）的倾斜角的取值范围是（ ）

A.[，]  B.[，]  C.[，]  D.[，]

解析：直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα.

因为α∈[，]，所以≤cosα≤，因此k=2cosα∈[1，].

设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，].

又θ∈[0，π），所以θ∈[，]， 即倾斜角的取值范围是[，]，选B.

点评：明白倾斜角、斜率的的概念，倾斜角的取值范围，是准确解题的关键.

2. 直线与直线的平行、垂直

例7. 直线l1∶ax+y-1=0，l2∶（a-1）x-2y+1=0，则“a=2”是“l1⊥l2”的（ ）

A. 必要不充分条件   B. 充分不必要条件

C. 充要条件      D. 既不充分也不必要条件

解析：l1⊥l2的充要条件是a（a-1）-2=0，解得a=2或a=-1，

所以“a=2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件. 故选B.

点评：直线l1∶A1x+B1y+C1=0（[A1][2]+[B1][2]≠0）与l2∶A2x+B2y+C2=0（[A2][2]+[B2][2]≠0））垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0.

例8.（多选题）已知直线l1∶（a+1）x+ay+2=0，l2∶ax+（1-a）y-1=0，则（ ）

A. l1恒过点（2，-2）   B. 若l1‖l2，则a2=

C. 若l1⊥l2，则a2=1 D. 当0≤a≤1时，l2不经过第三象限

解析：l1∶（a+1）x+ay+2=0?a（x+y）+x+2=0，

当x+y=0，

x+2=0，x=-2，y=2，即直线恒过点（-2，2），故A不正确;

若l1‖l2，则有（a+1）（1-a）=a2，解得：a2=，故B正确;

若l1⊥l2，则有a（a+1）+a（1-a）=0，得a=0，故C不正确;

若直线l2不经过第三象限，则当1-a≠0时，≥0，-≤0解得：0≤a<1，

当1-a=0时，直线l2∶x=1，也不过第三象限，

综上可知：0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确. 故选BD.

点评：多选题至少有两个满足题设的答案，解题时一般应一个一个验证.

3. 直线与直线的对称

例9. 已知三角形ABC的顶点A（4，-1），角B和角C的角平分线方程分别是x-y-1=0和x-1=0. 求BC边所在直线的方程.

解析：利用对称性（如图2），即可知A（4，-1）关于角B的平分线所在直线x-y-1=0的对称点E（0，3）在直线BC上，同理A（4，-1）关于角C的平分线所在直线x-1=0的对称点D（-2，-1）在直线BC上，所以直线DE的方程，也即直线BC所在的直线方程为2x-y+3=0.

点评：本题是让许多考生百思不得其解的一个问题，主要是思路打不开造成的，方法想不到. 利用角的两边关于角的内角平分线对称是坦途.

二、直线与圆的位置关系问题

对于圆的内容，主要研究圆的方程、与圆有关的轨迹问题、与圆有关的最值问题等，直线与圆的位置关系问题主要研究相交、相离、相切、切线方程、切点弦方程、对称、范围、最值、定点、定值等问题.

1. 圆方程定义的应用

例10. 已知平面上到两直线y=x与y=kx的距离平方和为1的点的轨迹是一个圆，则实数k=________.

解析：设此点的坐标为（x，y），则依题意有（）+（）=1，

化简得（+）x2+（+）y2-（+1）xy=1，

此方程要表示圆，则+1=0?k=-1.

2. 利用几何意义求范围、最值

例11. 若实数x、y满足条件x2+y2=1，则的范围是（ ）

A. [0，]  B. [-3，5]  C. （-∞，-1]  D.（-∞，-]

解析：的几何意义即圆上的点（x，y）到定点（-1，2）的斜率，由图3知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，

则AB的方程为y=k（x+1）+2=kx+k+2，

由切线性质有，=1，解得k=-，故的取值范围为（-∞，-]，故选D.

点评：画图，利用几何意义解题.

例12. 已知点P在直线x+y=4上，过点P作圆O∶x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，则点M（3，2）到直线AB距离的最大值为（ ）

A.    B.     C. 2   D.

解析：设P（a，b），则a+b=4，

以OP为直径的圆的方程是（x-）2+（y-）2=（a2+b2），

与圆O的方程x2+y2=4相减，得直线AB的方程为ax+by=4，即ax+by-4=0，

因为a+b=4，所以b=4-a，代入直线AB的方程，得ax+（4-a）y-4=0，

即a（x-y）+4y-4=0，当x=y且4y-4=0，即x=1，y=1时该方程恒成立，

所以直线AB过定点N（1，1），

点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，MN=，

所以点M（3，2）到直线AB距离的最大值为. 故选D.

点评：两圆方程相减即得两圆的公共弦方程，注意运用利用不变性解题.

3. 弦长、线段长问题

例13.（多选题）设a，b为正数，若直线ax-by+1=0被圆x2+y2+4x-2y+1=0截得弦长为4，则（ ）

A. a+b=1  B. 2a+b=1  C. ab≤  D. ≥9

解析：由x2+y2+4x-2y+1=0，可得（x+2）2+（y-1）2=4，

故圆的直径是4，所以直线过圆心（-2，1），即2a+b=1，故B正确.

又a，b均为正数，在2a+b=1中运用均值不等式可得ab≤，当且仅当a=，b=时等号成立，故C正确.

又=+=（+）（2a+b）=+1+4+≥5+2=9，

当且仅当=，即a=b，即a=b=时，等号成立，故D正确.

故选BCD.

例14. 过直线y=2x上一点P作圆C∶（x-3）2+（y-1）2=的切线PA、PB，A、B为切点. 若直线PA、PB关于直线y=2x对称，则CP线段的长为______________.

解析：由切线PA、PB关于直线PC关于对称，以及切线PA、PB关于直线y=2x对称知，直线y=2x与PC直线重合或垂直.

由点C不在直线y=2x上知，PC与直线y=2x垂直.

设P（t，2t），则=-，t=1. 所以P（1，2），CP=.

点评：画出图象，判断PC与直线y=2x垂直是解题的关键.

4. 圆的切点弦方程、三角形内切圆与外接圆问题

例15. 过坐标原点O作圆C∶（x-）2+y2=9的两条切线，设切点为A，B.

（1）求直线AB的方程以及线段AB的长;

（2）求△OAB内切圆的方程.

解析：（1）依题意，A，B为OC以为直径的圆与圆C的交点.

∵ 以OC为直径的圆的方程为（x-）2+y2=（）2，即x2+y2-x=0.

又圆C方程化为x2+y2-9x+=0，

将两圆方程相减得，x-=0，即x=.

∴ 直线AB的方程为x=. 易知，圆心C到直线AB的距离d=-=2.

∴ AB=2=2.

（2）如图4，设△OAB内切圆的半径为r，圆心为I，AB中点为D，圆I切边OA于E.

则由OA=OB，CA=CB，知O、I、D、C四点共线，且CD=2.

由CA⊥OA，IE⊥OA，IE=ID=r知，IE∥CA，OI=-r-2=-r.

∴ = ，=，解得r=1.

∴ OI= ，內心I的坐标为（，0）.

∴ △OAB内切圆的方程为（x-）2+y2=1.

点评：两圆方程相减即得两圆的公共弦方程，另外利用平面几何的性质定理可以快速找到解题途径.

三、圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系主要研究圆与圆的位置关系的判定，两圆公共弦问题，两圆对称问题，过两圆交点的圆问题，求参数取值范围或最值问题等.

1. 两圆相离、外切、相交、内切、内含，以及公切线问题

例16.（多选题）已知圆C∶x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D∶x2+y2=4有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是（ ）

A. -3    B. 3    C. 2    D. -2

解析：圆C方程可化为：（x-a）2+y2=1，则圆心C（a，0），半径r1=1;

由圆D方程知：圆心D（0，0），半径r2=2;

∵圆C与圆D有且仅有两条公切线，∴两圆相交.

又两圆圆心距d=a，∴2-1

可知CD中的a的取值满足题意. 故选CD.

点评：两圆外离时有四条公切线，两圆外切有三条公切线，两圆相交时有二条公切线，两圆内切时有一条公切线，两圆内含时没有公切线.

2. 圆系方程的研究

例17.（多选题）已知圆C∶x2+y2-kx+2y+k2-k+1=0，下列说法正确的是（ ）

A. k的取值范围是k>0

B. 若k=4，过M（3，4）的直线与圆C相交所得弦长为2，方程为12x-5y-16=0

C. 若k=4，圆C与圆x2+y2=1相交

D. 若k=4，m>0，n>0，直线mx-ny-1=0恒过圆C的圆心，则+≥8恒成立

解析：圆C方程可化为（x-）2+（y+1）2=k，解得k>0，故A正确;

若k=4，可得圆方程：（x-2）2+（y+1）2=4，

过M（3，4）的直线与圆C相交所得弦长为2，则圆心（2，-1）到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，x=3，满足条件，故B不正确.

由（x-2）2+（y+1）2=4，得圆心（2，-1），半径r1=2，

圆x2+y2=1，圆心为（0，0），半径r2=1，

两圆心的距离为r1-r2=1<=

直线mx-ny-1=0恒过圆C的圆心，可得2m+n-1=0?2m+n=1.

+=（+）（2m+n）=4++≥4+2=8，

当且仅当m=，n=时取等号，故D正确. 故选ACD.

点评：注意斜率不存在时的直线方程.

3. 范围、最值问题

例18. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是          .

解析：∵圆C的方程可化为：（x-4）2+y2=1，∴圆C的圆心为（4，0），半径为1.

由题意，直线y=kx-2上至少存在一点A（x0，kx0-2），以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，

∴存在x0∈R，使得AC≤1+1能成立，即ACmin≤2.

∵ACmin即为点C到直线y=kx-2的距离，∴≤2，解得0≤k≤.

∴ k的最大值是.

点评：圆与圆有公共点，即两圆相交，应满足圆心距小于等于两半径之和，由此等到满足题设的不等式（能成立问题），解这个不等式即可求出k的最大值. 这里还要注意恒成立，能成立，恰成立的条件.

4. 定点、定值、定圆等问题

例19. 如图5，已知两个同心圆C1∶x2+y2=4和C2∶x2+y2=16，P圆C2上一点. 过点P作圆C1的两条切线，切点分别为A、B.

（1）若点P坐标为（2，-2），求四边形OAPB的面积.

（2）当点P在圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线AB相切？若存在，求出定圆的方程;若不存在，请说明理由.

解析：（1）依题意，OA⊥OP，OB⊥BP，且OA=OB=2，PA=PB==2.

∴ S△OAP=S△OBP=×2×2=2.

∴ 四边形OAPB的面积为4.

（2）设P（m，n），则m2+n2=16.

当点P在圆C2上运动时，恒有PA=PB==2.

∴ 点A、B在以P为圆心，2为半径的圆上.

该圆方程为（x-m）2+（y-n）2=12. 又点A、B在圆C1∶x2+y2=4上，

联立两圆方程，消二次项，得-2mx-2ny+m2+n2=12-4. 即mx+ny-4=0.

∴ 直线AB方程为mx+ny-4=0.

∵ 原点O到直线AB的距离d===1为定值.

∴ 圆x2+y2=1恒与直线AB相切.

∴ 存在定圆恒与直线AB相切，定圆方程为x2+y2=1.

点评：本题也可以用平面几何方法求解：设OP与AB的交点为D，则OD⊥AB.

在△OAP中，由OA⊥AP，OA=2，OP=4，知OD=1. 所以，以O为圆心，1为半径的圆恒于直线AB相切. 所以，存在定圆恒与直线AB相切，定圆方程为x2+y2=1.

总之，面对现在的高考题，我们的数学学习不能浅尝辄止，应该进行深度学习，包括对解析几何中直线与圆、圆与圆的位置关系这个内容的学习，也要达到一定的深度，才能应对变化.

练习题

1. 如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax+By+C=0不经过（ ）

A. 第1象限  B. 第2象限  C. 第3象限  D. 第4象限

2. 若直线（3a+2）x+（1-4a）y+8=0与（5a-2）x+（a+4）y-7=0垂直，则a=（ ）

A. 0    B. 1    C. -1或1    D. 0或1

3.（多选题，2021年新高考Ⅰ卷，第11题）已知点P在圆（x-5）2+（y-5）2=16上，点A（4，0），B（0，2），则（ ）

A. 点P到直线AB的距离小于10

B. 点P到直线AB的距离大于2

C. 当∠PBA最小时，PB=3

D. 当∠PBA最大时，PB=3

4.（多选题）已知点P（x0，y0）是直线l∶x+y=4上的一点，过点P作圆O∶x2+y2=2的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，则（ ）

A. 当四边形OAPB为正方形时，点P的坐标为（2，2）

B. PA的取值范圍为[，+∞）

C. 当△PAB为等边三角形时，点P的坐标为（1，3）

D. 直线AB过定点（，）

5.（多选题）在平面直角坐标系中，已知圆K∶（x-k）2+（y-k）2=，其中k≠0，则（ ）

A. 圆K过定点     B. 圆K的圆心必在定直线上

C. 圆K与定直线相切  D. 圆K与定圆相切

6. 已知圆C∶x2+y2=1，写出一条到圆心距离等于的直线方程___________.（写出一个正确答案即可）

7. 已知O为坐标原点，直线l与圆x2+y2-6y+5=0交于A、B两点，AB=2，点M为线段AB的中点. 则点M的轨迹方程是___________，

A

+B的取值范围为________________.

8. 已知△DEF三边所在的直线分别为l1∶x=-2，l2∶x+y-4=0，l3∶x-y-4=0，☉C为△DEF的内切圆.（1）求☉C的方程;

（2）设☉C与轴x交于A、B两点，点P在☉C内，且满足PC2=PA·PB. 记直线PA、PB 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围.

练习题参考答案

1. C 2. D 3. ACD 4. BD 5. BC 6. x=，或x=-，或y=，或y=-，或x-y+=0或x-y-=0，x+y-=0，或x+y+=0等，答案不唯一.

7. x2+（y-3）2=4;[6-2，6+2].

8.（1）x2+y2=4;（2）（-1，0].

责任编辑 徐国坚