分类讨论与有序化思想的运用

雷添淇

例（第九届数学创新应用大赛复赛八年级试题）M，N，P，Q分别是数轴上四个不同的数所对应的点，且[MN=NP=PQ=a]，[a]为整数，数[a]对应的点在线段[MN]上，数[b]对应的点在线段[PQ]上. 若[|a|+|b|=3]，则原点可能是（）.

A. [M]B. [N]C. [P] D. [Q]E. 以上选项均不可以

解析：因为M，N，P，Q是四个不同的点，且[MN=NP=PQ=a]，[a]为整数，所以M，N，P，Q在数轴上从左至右的顺序排列为：M，N，P，Q或Q，P，N，M，且[a]为正整数.由[|a|+|b|=3]，可知[a+|b|=3]，从而[a为1或2或3]. 因为数[a]对应的点在线段[MN]上，且[MN=a]，所以若M，N，P，Q中有原点，则[a]应该对应点N或点M.

下面按照这四个点的排列顺序分类讨论（注：用“→”表示对应）：

（1）当点M，N，P，Q在数轴上从左至右排列时，如图1，

可按照[a]的取值分类讨论：

（i）当[a=1]时，[b=±2]. ①[a（1）→M]，[b（2）→N]，与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾;②[a（1）→N]，[b（2）→P]，[0→M]，符合条件.

（ii）当[a=2]时，[b=±1]. ①[a（2）→M]对应，与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾;②[a（2）→N]对应，与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾.

（iii）当[a=3]时，[b=0]，与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾.

（2）当点Q，P，N，M在数轴上从左至右排列时，如图2，

（i）当[a=1]时，[b=±2].

①[a（1）→M]，[0→N]，[b（-2）→Q]，符合条件;②[a（1）→N]，與已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾.

（ii）当[a=2]时，[b=±1]. ①[a（2）→M]，[0→N]，[-2→P]，与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾. ②[a（2）→N]，[0→P]，[-2→Q]，此时[b（-1）]对应的点在线段[PQ]上，符合条件.

（iii）当[a=3]时，[b=0]. ①[a（3）→M]，[0→N]，与已知条件“[b]对应的点在线段[PQ]上”矛盾. ②[a（3）→N]，[b（0）→P]，符合条件.

综上所述，原点可能对应[M，N，P].故应选ABC.