将军饮马之“两动点一定长平移型”问题

2022-05-30 10:48王欢
初中生学习指导·中考版 2022年8期
关键词:饮马对称点动点

王欢

提起将军饮马,不由得让人想起《古从军行》的经典诗句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,随着时间的推移,它也逐渐演变成了数学当中求路径最短、线段和差最值的一种解题策略.在中考中,将军饮马有许多种变化,下面重点解析“两动点一定长平移型”问题.

一、模型引入

例1 如图1,将军在点A处,现在将军要带马去河边喝水,并沿着河岸走一段路(长度固定),再返回点B处的军营,问怎么走路程最短?

问题简化:已知A,B两点,MN长度为定值,请确定点M,N的位置使得AM + MN + NB值最小.

解析:考虑到MN为定值,故只要AM + BN值最小即可. 如图2,将AM平移到A'N使M,N重合,则AM = A'N,将AM + BN转化为A'N + NB. 如图3,构造点A'关于MN的对称点A[″],连接A[″]B,即可依次确定N,M的位置. 则最短路线为图3中的A—M—N—B.

小结:上述解题策略可分为三步进行:转化——将三条线段和转化为两条线段和,达到简化目的;平移——让本无交集的两条线段有公共端点;对称——依据两点间线段最短找到准确位置求解.其中转化是第一步,对称和平移的先后顺序可以调换,对象既可以是A也可以是B.

二、典例剖析

例2 (2019·辽宁·沈阳)如图4,在平面直角坐标系中,抛物线y = ax2 + bx + 2(a ≠ 0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线经过点D(-2,-3)和点E(3,2),点P是第一象限抛物线上的一个动点.

(1)求直线DE和抛物线的解析式;

(2)在y轴上取点F(0,1),连接PF,PB,当四边形OBPF的面积是7时,求点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴的右侧时,直线DE上存在两点M,N(点M在点N的上方),且MN = 2[2],动点Q从点P出发,沿P—M—N—A的路线运动到终点A,当点Q的运动路程最短时,请直接写出此时点N的坐标.

分析:第(3)问,过点M作A′M∥AN,作点A′关于直线DE的对称点A″,连接PA″交直线DE于点M,此时,点Q运动的路程最短,即可求解.

解:(1)直线DE的解析式为y = x - 1,

抛物线的解析式为y = -[12]x2 + [32]x + 2;

(2)点P(2,3)或[32 ,258].

(3)当点P在抛物线对称轴的右侧时,点P坐标为(2,3),

如图5,过点M作A′M∥AN,作点A'关于直线DE的对称点A″,连接PA″交直线DE于点M,此时,点Q运动的路程最短,

∵MN = 2[2],故将点A向上、向右分别平移2个单位长度得点A',故点A′坐标为(1,2),

由A′A″⊥DE,可得直线A'A[″]的解析式为:y = -x + 3,

联立直线A'A″和直线DE的解析式,得x = 2,则A′A″中点坐标为(2,1),

由中点坐标公式得,点A″坐标为(3,0),

可得直线PA″的解析式为y = -3x + 9,

联立直线PA″和直线DE的解析式,解得x = [52],∴点M坐标为[52,32],

将点M沿ED向下平移2[2]个单位长度得N [12,-12].

即点N坐标为[12,-12].

三、变式训练

例3 如图6,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点B在原点,点A,C在坐标轴上,点D的坐标为(6,4),E为CD的中点,点P,Q为边BC上兩个动点,且PQ = 2,要使四边形APQE的周长最小,则点P的坐标应为.

解析:考虑到PQ,AE为定值,故只要AP + QE最小即可,

如图7,将AP平移至A'Q,探究A'Q + QE的最小值.

作点A'关于x轴的对称点A″,连接A″E,与x轴交点即为Q点,将点Q向左平移2个单位长度即得P点.

答案:[83 ,0].

四、解题规律

对于此类“两动点一定长平移型”将军饮马问题,解决策略是:定点沿河平移定长——作对称点——连接异侧两定点——平移动点到定点连线上.解决问题的中心思想是“转化”,利用平移、对称等图形变换将两条线段转化为有公共端点的线段,将折线转化为直线,利用两点间线段最短找到动点,进而求出最短距离.

(作者单位:沈阳市浑南区第五中学)

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