将军饮马之“两动点一定长平移型”问题

王欢

提起将军饮马，不由得让人想起《古从军行》的经典诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，随着时间的推移，它也逐渐演变成了数学当中求路径最短、线段和差最值的一种解题策略.在中考中，将军饮马有许多种变化，下面重点解析“两动点一定长平移型”问题.

一、模型引入

例1 如图1，将军在点A处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路（长度固定），再返回点B处的军营，问怎么走路程最短？

问题简化：已知A，B两点，MN长度为定值，请确定点M，N的位置使得AM + MN + NB值最小.

解析：考虑到MN为定值，故只要AM + BN值最小即可. 如图2，将AM平移到A'N使M，N重合，则AM = A'N，将AM + BN转化为A'N + NB. 如图3，构造点A'关于MN的对称点A[″]，连接A[″]B，即可依次确定N，M的位置. 则最短路线为图3中的A—M—N—B.

小结：上述解题策略可分为三步进行：转化——将三条线段和转化为两条线段和，达到简化目的;平移——让本无交集的两条线段有公共端点;对称——依据两点间线段最短找到准确位置求解.其中转化是第一步，对称和平移的先后顺序可以调换，对象既可以是A也可以是B.

二、典例剖析

例2 （2019·辽宁·沈阳）如图4，在平面直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx + 2（a ≠ 0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（-2，-3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点.

（1）求直线DE和抛物线的解析式;

（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标;

（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN = 2[2]，动点Q从点P出发，沿P—M—N—A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标.

分析：第（3）问，过点M作A′M∥AN，作点A′关于直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路程最短，即可求解.

解：（1）直线DE的解析式为y = x - 1，

抛物线的解析式为y = -[12]x2 + [32]x + 2;

（2）点P（2，3）或[32 ，258].

（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P坐标为（2，3），

如图5，过点M作A′M∥AN，作点A'关于直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路程最短，

∵MN = 2[2]，故将点A向上、向右分别平移2个单位长度得点A'，故点A′坐标为（1，2），

由A′A″⊥DE，可得直线A'A[″]的解析式为：y = -x + 3，

联立直线A'A″和直线DE的解析式，得x = 2，则A′A″中点坐标为（2，1），

由中点坐标公式得，点A″坐标为（3，0），

可得直线PA″的解析式为y = -3x + 9，

联立直线PA″和直线DE的解析式，解得x = [52]，∴点M坐标为[52，32]，

将点M沿ED向下平移2[2]个单位长度得N [12，-12].

即点N坐标为[12，-12].

三、变式训练

例3 如图6，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A，C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P，Q为边BC上兩个动点，且PQ = 2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为.

解析：考虑到PQ，AE为定值，故只要AP + QE最小即可，

如图7，将AP平移至A'Q，探究A'Q + QE的最小值.

作点A'关于x轴的对称点A″，连接A″E，与x轴交点即为Q点，将点Q向左平移2个单位长度即得P点.

答案：[83 ，0].

四、解题规律

对于此类“两动点一定长平移型”将军饮马问题，解决策略是：定点沿河平移定长——作对称点——连接异侧两定点——平移动点到定点连线上.解决问题的中心思想是“转化”，利用平移、对称等图形变换将两条线段转化为有公共端点的线段，将折线转化为直线，利用两点间线段最短找到动点，进而求出最短距离.

（作者单位：沈阳市浑南区第五中学）