三条主线，三次类比，三轮重构

毛丽娟

[摘  要] 以“分式的加减”为例，尝试进行教学设计实践与反思，实践发现，基于三条主线、三次类比、三轮重构的教学设计，将学生的学与思逐步引向深入，实现了科学育人，落实了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的三维目标.

[关键词] 分式;加减;设计;反思

前不久，笔者参与了县里组织的教师暑期培训， 在培训中尝试对“分式的加减”教学设计进行重构，获得了专家与同仁的一致好评，现将本节课的教学设计及相应评析展现如下.

教学设计

1. 教学内容及评析

（1）教学内容：人教版义务教育教科书八年级《数学》上册第十五章“分式”第2节“分式的加减”.

（2）内容评析：学生已经学过了分数、整式的加减运算，分式的乘除运算等，为“分式的加减”作了有效的铺垫. 为什么要把分式加减运算放在分式乘除及乘方之后学习呢？其原因在于，分式的加减相对较难一些，分式的乘除及乘方可以直接利用运算法则计算，而分式的加减运算不仅要运用法则计算，还要进行通分、约分和因式分解.

2. 教学目标及评析

（1）教学目标：①经历探索分式加减法法则的过程，理解其算理. ②会进行分式的加减运算，培养学生的代数式化归能力. ③能利用分式加减运算解决简单的实际问题，体会分式的模型作用[1].

（2）目标评析：完成第一个教学目标的标志是能类比分数加减运算法则，自然地说出分式加减的运算法则. 完成第二个教学目标的标志是能对异分母分式进行正确的通分，然后按运算法则计算，最后把结果化为最简分式. 完成第三个教学目标的标志是能根据实际问题列出相应的关系式，然后按分式加减的运算法则运算出结果.

3. 教学问题诊断分析

同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减. 当同分子分式相加减时，学生会产生负迁移误认为分子不变，分母相加减. 分母是多项式的异分母分式相加减，有时需要因式分解后才能确定最简公分母，学生因为因式分解错误导致分式加减运算错误. 当分式与整式进行加减运算时，因符号处理不当而产生错误，所以本节课的难点是分式与整式的加减运算.

4. 教学过程设计

（1）交流复习，反思疑点.

在这一环节，用PPT依次展现以下内容，如图1所示，让学生依次思考分式的定义、分式的性质、分式的运算，当出现第⑤项内容时，板书课题及教学目标.

设计意图  新课标指出，教材呈现的素材应符合学生的现实，何谓学生的现实？其是指生活现实、数学现实及其他学科现实. 本节课在导入部分以数学现实的内容呈现，其目的是让学生形成完整的知识体系，进一步掌握研究代数式的基本思路，即代数式的定义——代数式的性质——代数式的运算——代数式的应用. 这也是后面即将学习“二次根式”的基本思路.

（2）解疑释惑，反思问题.

问题1：

约分：①;②.

问题2：

通分：①，;②，.

反思：分式的约分与通分应用的数学知识是什么？通分时，如何找各分母的最简公分母呢？

设计意图  正确进行分式的加减运算，需要掌握以下三点：①正确地对分式进行约分;②对两个或多个异分母分式进行通分;③因式分解是进行分式加减运算的有效路径，并再次强化分式的约分与通分的必要性.

（3）明确算理，达到反思.

问题3：观察下面分数加减运算，你能得出分式加减运算的运算法则吗？

+=，

-=-，

+=+=，

-=-=-.

问题4：

化简：①-;②+.

PPT展示：分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减.

①-==-;

②+=+=.

反思：分式加减运算每一步的运算依据是什么？

设计意图  通过问题3，学生可以看到，分数相加减，同分母的，分母不变，分子相加减;异分母的，先通分变为同分母后再加减. 当分数加减运算变为分式加减运算时，因为其都含有分母，学生自然地会把分数的加减法法则推广到分式的加减法法则. 问题4的两个化简分别是同分母分式相加减与异分母分式相加减，引导学生运用分式加减法运算法则进行简单的运算[2].

（4）问题解决，应用反思.

问题5：

化简：①-;②+.

反思：当两个分母互为相反数时，如何化为同分母分式呢？

问题6：

化简：①+;②-x+y.

反思：当分式与整式进行加减运算时，如何将整式变为同分母分式呢？

设计意图  问题5的两个小题都属于同分母分式相加减，其中第②小题较第①小题难一些，需要将分母提取负号后变为同分母分式. 问题6的两个小题都属于异分母分式相加减，其中第②小题比第①小题难一些，需要将后面的多项式先变为分式再进行分式加减运算. 问题的设置涵盖了分式加减的四个重要类型，难度呈阶梯式上升.

（5）变式训练，反思方法.

问题7：甲、乙两个工程队分别承担一条20 km公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路x  km，另一半时间每天维修y km;乙队维修前10 km公路时，每天维修x km，维修后10 km公路时，每天维修y km（x≠y）. 甲、乙两队哪一队先完成任务？

设计意图  这是一个来自实际生活的问题，需要学生分别用分式表示甲队、乙队完成工程所用的时间，欲求哪一队先完成任务，需要运用分式的减法运算，通过分式运算结果的正负号判定所用时间的长短，体现了分式运算在实际生产生活中的应用.

5. 作业设计

必做题：教材第146页习题15. 2第4题、第5题.

选做题：现有大小两艘轮船，小船每天运 x t货物，大船比小船每天多运10 t货物.现在让大船完成运送100 t货物的任务，小船完成运送80 t货物的任务.试说明哪艘轮船完成任务用的时间少.

设计意图  作业分层设置，符合新课程标准提出的“让不同的学生在数学上获得不同的发展”. 这里的选做题旨在让学有余力的学生多一些锻炼的机会，为后面分式方程的学习作进一步的铺垫.

本课评析

1. 三条主线：明线暗线反思线

散文，形散而神不散. 此次教学亦如此，各个环节虽彼此分开，但却环环相扣. 本节课的主线是分式的加减运算，且始终围绕这个主线展开，前面有约分、通分作铺垫，中间有分式加减的例题讲解，后有分式应用的变式训练. 本节课的暗线是数学思想的渗透，在推出分式加减的运算法则时运用了类比的思想，在处理异分母分式相加减时运用了转化的数学思想. 本节课还有一条反思线，通过不断地追问，引导学生不断反思，让学生做到时时总结与反思.

2. 三次类比：有浅有深有高潮

本节课的第一个类比是分式加减与分数加减类比，将新旧知识进行了很好的联系，降低了学生的“认知坡度”. 第二个类比是异分母分式相加减与同分母分式相加减类比，实现了复杂问题向简单问题的转化. 第三个类比是分式运算应用与分式运算的类比，凸显了分式运算法则在现实生活中的应用.

3. 三轮重构：课时章节整体部署

本节课的教学设计经过了多次修改，也进行了多轮讨论，实现了从章节的视角整体布局本课教学设计. 在整节课时以“定义——性质——运算——应用”为基调进行教学设计，将学生的学与思逐步引向深入，实现了科学育人，落实了知识与技能、过程与方法、情感态度與价值观的三维目标.

参考文献：

[1]陈秀海，张庆华. 数式同性，追求教学的“本心”——以“分式的加减”为例[J]. 中学数学，2021（06）：22-24.

[2]王朝晖. 类比教学，让数学知识自然生成——以“分式的加减”为例[J]. 中学数学教学参考，2019（36）：17-19.