体验生长过程，感悟数学思想

谢立辉

[摘  要] 文章以人教版九年级下册“正切”教学为例，从学生认知的实际出发，根据数学内部知识结构的需要，展现概念的自然生长过程，让学生在学习概念的过程中，养成主动研究问题、自主解决问题的方式方法，领悟探索数学问题的基本思想方法.

[关键词] 正切;数学思想;初中数学

新课程标准指出，重视数学知识的教学，也应重视知识的生长与延续. 数学概念是构成数学理论体系的基本元素，是学生学习数学的原点. 概念教学应从学生认知的实际出发，根据数学内部知识结构的需要，展现概念的自然生长过程，让学生在学习概念的过程中，养成主动研究问题、自主解决问题的方式方法，领悟探索数学问题的基本思想方法. 在传统教学中，重视训练、以练代讲、片面追求课堂容量的现象不同程度地存在，这种教学忽略了数学本质，忽略了学生的主体地位，使学生对知识生长过程的体验流于形式. 那么，如何在数学概念教学中回归数学本质，让学生体验知识的生长过程，感悟数学的思想，笔者以九年级“正切”概念教学为例尝试进行说明.

教学实录

当小球在斜坡上滚动时，哪些量是固定不变的？哪些量是变化的呢？它们分别叫什么呢？在滚动过程中，小球的滚动速度与什么量密切相关？斜坡陡或缓，会引起小球滚动速度与滚动时间的变化. 那么在斜坡的陡峭程度中，存在哪些变化的量？它们之间有什么关系呢？以上问题，就是教师研究的课题.

设计意图  从现实问题引入课题，以小球运动为载体，让学生从熟悉的生活情境中提炼常量与变量，归纳其中变量的依赖关系，容易获得函数模型的直接体验. 实际上，本节课研究的正切就是一种函数，它反映了坡角与铅直高度、水平宽度之间的关系.

师：生活中，同学们不乏爬坡的经历，如何判定坡面的陡峭程度呢？如图1所示，请同学们从数学的角度看待爬坡问题，其中，有我们熟知的几何图形吗？

生：判定坡面的陡峭程度，主要看坡面与水平面的夹角，夹角越大说明坡面越陡，夹角越小说明坡面越缓. 在图1中，有直角三角形存在.

师：图1中的两个坡面，哪个更陡一些？为什么？

生：第一个坡面更陡一些，因为它的坡面与水平面的夹角比较大. （板书：角度）

设计意图  对于坡面陡峭程度的探究，仍是从生活情境入手，使学生感受数学源于生活，与生活密切相关[1]. 在情境上，笔者没有花费太多的时间，而是直接把爬坡问题抽象成如图1所示的图形，如此，学生可以顺利地利用坡面、夹角等词语表情达意. 同时，在这个生活问题中，笔者充分设疑，把生活问题数学化，帮助学生从感性认识转化为理性认识，带着问题去探究，从中学习思考数学问题的方式方法.

师：我们根据坡角的大小可以判定坡面的陡与缓，如果没有测量角度的工具，只知道两个台阶的数据（如图2所示），即台阶1的水平宽度是8，铅直高度是4，台阶2的水平宽度是8，铅直高度是6，那么，比较这两个台阶，哪个台阶更陡呢？

生：第二个台阶比较陡，它们的水平宽度相同，铅直高度不同，铅直高度越高的越陡. （板书：水平宽度、铅直高度）

师：如果已知台阶1的水平宽度是8，铅直高度是6;台阶2的水平宽度是10，铅直高度是6.那么这两个台阶哪个陡呢？

生：第一个台阶比较陡，因为这两个台阶，铅直高度相同，水平宽度越大台阶越缓，水平宽度越小的台阶越陡.

设计意图  通过两组台阶的比较，培养学生利用数据说理的能力，要求学生能用规范的数学语言表达数量关系. 这两组台阶，学生都是根据生活经验进行判断，主要用的是合情推理[2].

師：如果已知两个台阶，第一个台阶水平宽度是8，铅直高度是4，第二个台阶水平宽度是10，铅直高度是6，那么这两个台阶哪个陡一些呢？

此时，学生没有章法，有的学生根据数据画出了图形，发现第二个台阶陡一些，但没有合适的理由说明. 课堂上一时热闹了起来.

设计意图  笔者利用这个问题旨在引发学生的认知冲突，此时两个台阶的水平宽度与铅直高度都不相同，前面的经验已经失效. 有的学生把水平宽度化为相同，再比较铅直高度的大小，有的学生画出图形，观察比较坡度大小. 在学生的合作交流中，学生逐渐学会了转化的数学思想，以及物理学科中的“控制变量法”.

师：把第一个台阶都扩大5倍，得到水平宽度是40，铅直高度是20，把第二个台阶都扩大4倍，得到水平宽度是40，铅直高度是24，显然第二个台阶比较陡.

师：放大后的图形与原图是什么关系呢？为什么说放大后的图形与原图坡面的倾斜程度相同呢？

生：放大后的图形与原图是相似图形，因为相似图形的对应角相等，所以它们的坡角也相同，所以坡面的倾斜程度相同.

师：如果两个台阶，第一个台阶水平宽度是8，铅直高度是4，第二个台阶的水平宽度是12，铅直高度是6，那么这两个台阶哪个更陡呢？为什么？

生：这两个台阶的倾斜程度一样，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，所以这两个直角三角形相似，根据相似三角形对应角相等，所以它们的坡角大小一样，所以这两个台阶的坡度大小一样.

此时，笔者板书=，有了直角三角形中两直角边的比，于是笔者引入了正切的概念. 在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫∠A的正切，记作tanA.

师：两个比值相等，即两个角的正切值相等，所以坡角相等，反之，当两个坡角相等时，它们的正切值相等吗？

生：也相等，因为当两个角分别对应相等时，这两个直角三角形相似，所以对应边成比例，即锐角的正切值相等. （板书：因为tanA=tanB，所以∠A=∠B.）

设计意图  用正切的新概念解读坡面的陡峭程度，让学生归纳用两种方法比较坡面的倾斜程度，一是比较坡角的大小，二是比较坡角正切值的大小. 这样一来，不论水平宽度是否相同，铅直高度是否相同，都可以利用正切值比较坡角的大小，当正切值大时，坡角就大，当正切值小时，坡角就小.

师：请同学们拿出一副三角板，仔细观察三角板，说说30°、45°、60°角的正切值分别是多少？当角度确定时，它的正切值确定吗？当角度变化时，它的正切值变化吗？

生：tan30°=，tan45°=1，tan60°=，所以当角度确定时，它的正切值也就确定了，当角度变化时，它的正切值也变化.

师：在直角三角形ABC中，∠C是直角，已知tanA=，AB=10，求兩条直角边的长.

……

教学感悟

1. 感性向理性的自然过渡

初中数学课堂在注重学生感性观察的同时，还要引导学生理性地思考. 有了理性思考才能理解数学的本质[3]. 本节课，笔者从学生身边的实例出发，让学生思考其中的变量与常量，从斜面、水平宽度、竖直高度三个方向看坡面的倾斜程度，在实际问题数学化的过程中，学生逐渐发现坡面的倾斜程度由铅直高度与水平宽度的比值大小决定，在抽象、归纳与建模中，培养了学生发现规律、应用规律解决问题的能力.

2. 形成向发展的自然过渡

本节课展现了正切概念的形成与深化的过程，以及数学规律的发现过程. 笔者把正切概念与相似三角形联系，从而引出线段的比值，建立了正切的概念. 通过变量之间的相互关系，把正切归到函数系列，建立了锐角三角函数的概念，实现了知识的形成与发展，学生收获了知识，延伸了思维，同时也感受了“控制变量法”这一研究方法.

3. 提问向发问的自然过渡

郑毓信教授指出，数学教学，教师要善于提问. 笔者从生活实例出发，从当水平宽度不同时、当铅直高度不同时、当两者都不同时提出问题，层进式的提问符合学生的认知水平，抽丝剥茧式的提问，积累了学生的经验，激活了学生的思维. 从教师的示范问、学生类比发问、反思发问，实现了教师提问向学生提问的自然过渡.

4. 知识向思想的自然过渡

学生在掌握一定的数学知识后，应具备用数学的眼光看问题，用数学的思想方法解决问题. 在课堂教学中，教师应让学生实现知识向思想的自然过渡，向学生渗透数学思想方法，如转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等. 在不断积累的过程中，能加深学生对于数学思想方法的认识. 在笔者的教学中，通过有梯度的情境，学生逐步领会了转化的数学思想;通过结合图形的性质，学生逐步领会了数学结合的数学思想;通过分析特殊角度的比值变化，学生逐步领会了函数思想.

参考文献：

[1]金燕. 生活实例引入  问题探究提升——以“正切”一课的教学为例[J].初中数学教与学，2019（08）：23-25.

[2]李东. 经历与思想并重——“正切（1）”教学实录与反思[J]. 中学数学月刊，2020（09）：1-3+6.

[3]罗增儒. 锐角正切的教学分析与课例点评[J]. 中学数学教学参考，2019（29）：23-29.