追求意义的深度理解

贺艳

摘要：二年级上册《认识线段》一课中，变幻莫测的“端点”给学生的学习带来了困惑。这是因为教学并没有突出端点的本质含义，学生并没有体会到端点内在的意义和价值。对此，重构了《认识线段》一课教学，重点突出端点“再创造”的过程，实现端点意义的深度理解。具体教学过程包括：经历体验，操作感悟;多元表征，加深理解;抽象概括，领悟本质;运用理解，提升认知。

关键词：线段;端点;意义理解

一、变幻莫测的“端点”

苏教版小学数学二年级上册《认识线段》一课，我们常会看到这样的教学场景：

教师示范、引导学生将一根线拉直后，介绍拉直的一段线可以看成线段，强调为了看清并突出手捏的两端，数学上用小竖线表示两端，叫作“端点”，进而抽象出线段的图形。接着，让学生举例，在生活中找线段，如黑板的边、课本的边、直尺的边等，并分别指出它们的端点。

教师让学生判断几个图形是否为线段，并说明理由。接着，让学生数一数平面图形（正方形、三角形、长方形等）分别由几条线段围成，说出它们的端点分别在哪里。

教师让学生思考：画出三个点，每两点之间画一条线段，能数出有几条线段？如果三个点在一条直线上（如图1所示），能数出几条线段？

细加分析这样的课堂，可以发现：首先，从一条直的线上抽象出线段，介绍线段有两个“端点”;接着，回到生活中找线段，发现物体的边没有“端点”;而后，判断图形是否为线段，强调有“端点”;再到数线段围成的图形，这时“端点”又消失了……在这一学习过程中，学生不断切换生活与数学的场景，“端点”也在不断地出现、消失、变化。变幻莫测的“端点”给学生的学习带来了困惑：

困惑1：生活中举出的线段实例都没有端点，画一条直的线更接近生活中线段的样子，为什么数学上的线段要画端点？仅仅为了看清楚两端吗？不画端点也看得很清楚，端点在这里有怎样的作用？

困惑2：判断图形是否为线段时，强调有两个端点，但在数正方形、三角形等平面图形中的线段时，为什么线段的端点却消失了？是不是应该标出围成平面图形的每条线段的端点？

困惑3：线段只有两个端点，图1的线段上有三个点，为什么还是线段？

二、“端点”的教学意义何在

线段的端点仅仅是为了突出两端，做一个简单的竖线标记吗？“端点”的教学该突出怎样的数学意义？又该以怎样的方式进行才能达到应有的价值追求呢？

笔者比较了苏教版、人教版和北师大版小学数学教材对“线段”这一内容的编排，发现：苏教版和人教版更接近，第一阶段都安排在二年级上册，以描述性定义介绍线段后抽象出图形，第二阶段都安排在四年级上册，用已学的线段引出射线、直线的学习，介绍它们的端点、长度并比较它们之间的区别;北师大版在二年级上册仅结合测量直观认识直的线（无端点），没有单独认识线段，而在四年级上册集中学习线段、射线、直线，在认识端点数量的过程中明确各自的长度。

可以预想，三个版本的教材，不论是分两段教学还是集中教学，学生都应在四年级学习时，结合三种线的长度比较，明确端点表示线的起点和终点，进而领会线长度的有限性和无限性。此时，学生才能达成对“端点”意义的深刻认识和理解。这也许是北师大版集中教学线段、射线和直线的原因。

那二年级教学时，教师直接告知学生“手捏的两端”是线段的端点就行了吗？显然不行。这样的教学并没有突出端点的本质含义，学生并没有体会到端点内在的意义和价值，只停留于“两个短竖线”的符号标记印象，产生困惑也是情理之中。那么，本节课该如何突破“端点”的理解难点，突出对“端点”数学本质的领悟，同时为第二阶段再学习做好顺利对接和经验积累的准备呢？

三、在创造中感悟“端点”

史宁中教授指出：数学教育不应当让教师和学生都沉迷于符号的世界，教师要理解数学的本质，创设合适的教学情境，让学生在情境中理解数学概念和运算法则，感悟数学命题的建构过程，感悟问题的本源和数学表达的意义。史宁中.教育与数学教育：基于以上反思，笔者重构了《认识线段》一课的教学，重点突出端点“再创造”的过程，实现端点意义的深度理解。

（一）经历体验，操作感悟

师生共同将一根线拉直，教师介绍：像这样两手之间直直的一段线可以看成线段。随后，教师将拉着线的两手不断变换位置，引导学生观察：虽然位置不同，但都是直的，都可以看成线段。这个环节突出线段是直的这一特征。

接着，教师追问：刚才手中的这条线段从哪里开始到哪里结束？并出示活动任务：仍用同一根线，想办法创造出和刚才不同的线段，并说说创造出的线段从哪里到哪里。学生动手动脑创造性地表示出不同的“线段”。

教师选择典型作品，引导学生讨论：两手捏的位置不同，为什么都能看成线段？再次明确线段直的特征。接着追问：创造出的这些线段有什么不同？与什么有关？通过交流讨论，明确：线段有的长，有的短;线段的长短和两手捏的位置（端点）有关系。

（二）多元表征，加深理解

教师引导学生在创造和交流的基础上，挑战第二个活动任务：画出心目中的线段。学生的作品表达生动、丰富多样（如图2所示）：有的画出两手拉线的图，有的用符号表示（五角星、圆圈、圆点、竖线等）手捏的两端。学生用自己理解和喜欢的方式表达出心目中线段的样子。此时的“端点”形态各异，学生在多元表征中经历了“再创造”的过程，加深了对端点的意义理解。

（三）抽象概括，领悟本质

教师引导学生观察比较：这些作品，两端的标记不同，表示的意思相同吗？學生交流：标记虽然不同，但都表示从哪里开始到哪里结束;有了标记，就能表示出线段有多长，让别人看得更清楚;如果没有标记，这条线段就会一直延长下去，甚至无限长……在交流碰撞中，可以看出，学生对他们创造出的标记有了深刻的理解。此时，教师顺势出示并介绍规范的线段图形（如图3所示），使学生达成共识，水到渠成地完成数学表达和数学抽象。

（四）运用理解，提升认知

有了以上对于“端点”的意义理解以后，教师让学生回到生活中举例，重点要求学生结合实例，指出找到的线段是从哪里到哪里，突出以端点的意义来解释，而不是直接问端点在哪里。

对于三个点在一条直线上时能数出几条线段，让学生明白只要是两个端点之间直的一段就是线段，即使线上有多出的點，也不会影响对线段的判断，突出对线段本质的理解和认识。

在数图形（如三角形）中的线段时，教师通过动态演示三条线段围成三角形的过程，突出端点交汇时的处理，并适时讲解：当三条线段拼接在一起时，原来的线段端点就藏在相交的这个点里。这样能够帮助学生解除心中的疑惑，让数学知识形成的每一步都有理有据、清晰明了，同时也为今后深入学习三角形的相关知识做孕伏。

四、追求“端点”意义的深度理解

（一）突出学生主体，引发深度参与

众所周知，教学要以学生为主体，突出学为中心。但在实际教学中，想要真正践行到位，还需要教师不断地自省、自觉、自悟。上述“线段端点”的教学，引导学生在操作思考中“创造”新的线段，在交流分享中表达对线段的理解。学生“创造”出的“端点”形式多样、形态各异，此时的“端点”不仅仅是一个符号标记，更凸显出它的数学意义和本质，能够让学生的理解更清晰、更透彻、更深入。我们要提供更多的时间和空间给学生，解放学生的手，让他们在探究中积累发现;解放学生的口，让他们在交流中分享碰撞;解放学生的脑，让他们在思考中提升进阶。

（二）凸显数学本质，促进深度感悟

学习如果停留于知识的表面，无疑是肤浅无力的。数学是一门追求理性思维和理性精神的学科，其教学要凸显对数学知识本质的理解与领悟，多追问“是什么”和“为什么”，追寻知识背后的“理”，才能起到锻炼思维、提升素养的目的。上述“线段端点”的教学，依据“三线”（直线、射线、线段）的整体编排，始终立足端点的意义——线段的起点和终点，让学生在丰富的活动中感受到端点表示从哪里开始到哪里结束，这样就赋予了端点真实的数学内涵。将数学知识放在整体的知识体系中去思考定位，更能体现本质，也更能促进学生的深度感悟。

（三）经历学习历程，实现深度建构

教学要让学生充分经历知识发生、发展和运用的过程，在此过程中实现思维的进阶和素养的提升。上述“线段端点”的教学，让学生对线段概念的学习经历了操作感知、形成表象、抽象概括、理解运用的过程。通过在经历体验中操作感悟、在多元表征中加深理解、在抽象概括中领悟本质、在运用理解中提升认知几个环节，学生经历了丰富的学习活动，对概念的认识更丰厚、更深刻，实现了数学教学从知识本位到思维发展，从形式模仿到意义理解，从被动接受到主动建构的转变。特别是在数平面图形中的线段时，对其端点变化的细微处理，借助动态演示的定格描述“端点”变化的过程，让学生看在眼里，明在心中，让知识形成的每一步都清晰明了。