“积”出来的面积:度量视域下“面积”教学的实践和思考

郝高峰 何军华

[摘  要] 以度量的视角审视当下“什么是面积”教学，存在“三重”“三轻”现象，即重视对面积概念表象的分层建构，轻视对概念本质的深度探求;重视比较面积大小时的“操作”，轻视其内在逻辑的“沟通”;重视对周长和面积概念“异”的辨析，轻视对“同”的梳理。在深度研读教材的基础上，文章对北师大版“什么是面积”教学进行思考和实践，以发展学生的度量意识。

[关键词] 面积;度量;量感;审视;实践

[?]一、教学背景

史宁中教授指出，度量是数学的本质[1]。面积作为对二维空间图形的度量，其概念建立理应立足度量的意义，重视学生量感的培养。在新世纪小学数学全国名师工作室教学设计与课堂展示“学会学习—发展学生‘量感的学习方式探索”主题研究活动中，笔者所在学校的青年教师陈琴琴执教北师大版三年级数学“什么是面积”一课。磨课过程中总觉得“度量”意识的渗透不够流畅和深入。无独有偶，西安市未央区某教师打算在大学区的教研活动中执教此课，试教中也发现一直迷失在周长与面积的纠葛之中，向笔者寻求解决之法。于是，笔者静下心来，翻查近年来关于“什么是面积”教学的相关资料，從度量的视域对其进行审视和实践，以期在促进学生量感形成方面做出有益探索。

[?]二、教学审视

“面积”是小学数学“图形与几何”领域中的一个非常重要的概念。它上承“长度”，下启“体积”。其中“面积的认识”被现行人教版、北师大版和苏教版教材均安排在了三年级下册。虽然只有北师大版教材借智慧老人之口明确给出了“物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积”这样的描述性概念，但实际另两版教材也是按照“物体表面”和“封闭图形”两个层面引导学生体会什么是面积的。紧接着三版教材都安排了比较大小相近的两个矩形（其中北师大版和苏教版安排了一个正方形）的面积，借此引入度量标准的选择和初步确定，引导学生体会用标准图形的个数来刻画图形的面积。

基于这样的教材编排，结合小学生的认知现状，“面积的认识”教学通常都有两个基本环节：（1）分层体会什么是面积，即联系生活，由“物体的表面”有大有小过渡到“封闭图形”有大有小，从这两个层面感受它们的大小即面积;（2）操作体悟度量标准如何确立，即通过第三方图形（小正方形）度量大小相近的矩形的面积，渗透统一标准等思想。当从度量的视角再次审视当下教学时，不难发现存在“三重”“三轻”现象。

1.重视对面积概念表象的分层建构，轻视对概念本质的深度探求

《辞海》（第七版）对“面积”的解释是：几何学的基本度量之一，用以度量平面或曲面上一块区域大小的正数（应为非负数），通常以边长是单位长的正方形的面积为度量单位。例如，两边长a米和b米的矩形的面积等于ab平方米。可见，就面积度量而言，其本源意义是通过面积单位的“计数”，实现对图形大小的“定量刻画”[2]。所谓面积度量，其一就是要建立度量标准（即确定面积单位），其二就是“量”（liáng）出有几个这样的标准。现行教材，特别是教学中，囿于对学生现状的传统认知，教师常花较大力气引导学生通过感知物体表面及封闭图形有大有小，从而分层将面积概念建构为“物体表面或封闭图形的大小”。仔细思忖，这里所说的“大”“小”是一个非常宽泛的相对概念，并未触及面积的本质。比如数学书封面，相对于黑板面来说“小”，相对于枫叶的表面就“大”了。而面积中的“大小”理应指一个“值”。

2. 重视比较面积大小时的“操作”，轻视其内在逻辑的“沟通”

学习面积，必然要走向大小比较。传统教学中的逻辑是能直接看出“大”“小”的就直接看;“大”“小”不太容易看出来的就“重叠”着比;“重叠”也不容易比的就找第三方（单位面积，通常选小正方形）来度量。从而出现了“观察法”“重叠法”“测量法（又分为用单位面积直接测量法和用公式间接测量法）”[3]等诸多方法。这些颇具操作性的方法，一方面使教学有了一些显性的“抓手”;但另一方面也使教学在不知不觉中走入了一个逻辑误区，即有些图形的面积是看出来的，有些图形的面积是度量出来的。当教学过分强化不同“方法”时，就极有可能忽视其内在逻辑。其实，不管是“观察法”还是“重叠法”，抑或是“测量法”，其实质都是先确定一个标准，然后进行比较（度量）。另外，用多种工具（如小正方形、小圆形，甚至小三角形等）度量面积相近的两个矩形时，多强调选用小正方形作为面积单位的优越性（如三角形不好铺满，圆形不能密铺，而正方形最易密铺），缺少不同单位之间的沟通。

3. 重视对周长和面积概念“异”的辨析，轻视对“同”的梳理

因为学生在学习“面积”之前，先学习了“周长”，所以周长概念的负迁移在学习面积时显现出来在所难免。再加上教学中简单地将面积定义为“物体表面及封闭图形的大小”，学习周长时积累的度量经验无法正迁移。于是，学习面积时，周长的负迁移被放大，教师不得不花费更多的时间比对二者。一般会安排多次辨析：一是首次提出面积概念时，引导学生分别摸一摸面积和周长，强调“周长一条线，面积一大片”;二是在设计含有相同个数小正方形的不同图形后，观察发现这些图形虽然形状各不相同，周长也不尽相同，但它们的面积都是一样的;三是练习中用典型题目“比较甲、乙两部分的周长和面积（图1）”进行辨析。纵观整个辨析过程，传统教学中极其重视对二者“异”，即不同点的比较;而对其“同”的方面，即从度量的角度，都是先确定单位，再量出有几个这样的单位的本质缺少必要的沟通。也就是说，周长要用单位长度度量，面积要用单位面积度量，以后研究体积当然要用单位体积来度量了。

[?]三、教学实践

张奠宙教授曾经指出，面积和长度一样，也是人与生俱来的直觉。把“大小”作为面积，就如同把“长短”作为长度一样，并没有实质性的解惑，并不能帮助学生真正理解面积概念[4]。结合上文分析，笔者尝试在深度研读北师大教材的基础上，从度量的视角，以量感培养为切入点再次进行北师大版“什么是面积”教学实践。

1. 基于经验，初“感”面积

作为直觉的“面积”，再加上学生在日常生活中积累的有关“面积”的经验，教学中教师大可直面学生已有现实。板书“面积”后提问“看到‘面—积，你想到了什么？”通过这一问题，调动学生已有经验和主体意识，在交流中明确面积定然和“面”相关，萌生为什么叫“积”的疑惑，激发他们进一步探究面积的内驱力。

2. 基于标准，三“探”面积

（1）以“面”比“面”，感受面积有“大”有“小”

俗话说，有比较就有鉴别。教学中，一次性出示教材中三组物体的图片（图2）。因为每组物体是成对出现的，学生会自然产生比较的念头。教师要做三件事情：第一，引导学生明确我们要比较的是物体的“面”，即面积，可适时与周长进行初步辨析。第二，在学生用“观察”“重叠”等方法比较面积大小的过程中渗透“标准”意识。比如，把数学书的封面看作标准，语文书和它面积一样大，反之亦然;把1角硬币的正面作为标准，1元硬币面积大;把1元硬币的正面作为标准，1角硬币面积小，等等。明确以某个面为标准进行比较，可以判断另一个面的“大”“小”，感受面积有“大”有“小”。第三，在学生比较过程中初步渗透用“数”刻画面积。比如，若把语文书的封面记作“1”，则数学书的封面也可记作“1”。这样，标准（单位）意识的渗透为后续教学的顺利展开埋下了伏笔——草蛇灰线，伏脉千里！

再者，教学中可进一步隐去这些物体表面的非本质属性，留下长方形、圆形、不规则的树叶轮廓等形状，引导学生明确这些封闭图形的面积也有“大”有“小”。

（2）以“面”量“面”，感受用“数”刻画面积“大小”的必要性

如果说面积悬殊的两个图形让学生感受到了面积有“大”有“小”，那么教材中面积较为接近的两个矩形（图3），更有利于学生感受用“数”刻画面积“大小”，以及统一面积单位的必要性。

教学中借助提供的学具，学生一般会出现以下几种比较方式：一是两者重叠;二是选第三方（小正方形、圆形等）度量（图4）。这时，要适时引导学生对比以下三种方法。方法1实质上是以重叠长方形为标准先度量了第一次;再把余下的部分重叠，又以第二次重叠部分为标准进行比较，得出正方形面积大于長方形面积。此时，正方形面积=第一次重叠面积（标准1）+第二次重叠面积（标准2）+第二次重叠后多出部分;而长方形面积=第一次重叠面积（标准1）+第二次重叠面积（标准2）。方法2则选择了小正方形作为同一标准进行度量，容易得出：正方形面积=16个小正方形，长方形面积=15个小正方形，易知正方形面积大。方法3以小圆形为标准，可知正方形面积大约是16个圆形面积，长方形面积大约是15个圆形。比较这三个方法，学生初步感受到大面积都是用小面积“累积”而成的。但方法1中的度量标准在不断变化，而方法2和3中的度量标准都是不变的，只是因为小圆形不能密铺矩形，所以度量矩形时选择小正方形作为标准更为合理。

当然，选择正方形作为度量面积的单位，还有两件事情要注意：①学生通常会出现不完全铺满即可用乘法“算”出小正方形个数的，应及时对比方法2予以肯定，初步从乘积的角度感受“积”，为从计数向计算过渡埋下伏笔。②教师可出示不同大小的正方形作为标准度量的情况，引导学生初步体会统一正方形标准的必要性，为后面进一步学习做好铺垫。

（3）以“面”积“面”，感受“积”出来的面积

在学生初步感知面积的基础上，教材适时地安排了“在方格纸上画3个不同的图形，使它们的面积都等于7个方格的面积”的练习。之所以是“7个方格”应该有两个原因：一是“7个方格”不多不少，方便画图;二是“7”作为质数，会倒逼学生画出非长方形的不规则图形，便于体会面积相同，形状可能不同，从“累积”的角度理解面积的意义。如果选用合数个，大部分学生会画成长方形，不利于多样化。但笔者恰恰以为可以让所画图形的面积等于“8个方格”的面积（图5），这样更有利于后面的比较。一方面，面对形状各异的图形，学生体会到尽管它们各不相同，但面积都是“8个方格”的大小，都是由8个小正方形的面积“累积”出来的;另一方面，用联系的观点发现它们都可以转化成“2×4”的长方形，即从“乘积”的角度再次渗透计数到计算的进阶。这样，一组素材引导学生从“累积”和“乘积”两个角度深刻理解面积是由小面“积”出来的，渗透面积的“有限可加性”和“运动不变性”。至于学生都画成长方形的担忧稍显“杞人忧天”，因为题目要求画3个不同的图形，再加上教师只需提示“看谁画出来的图形与别人不一样”即可激发学生求异的积极性。

3. 基于反思，再“议”面积

经历了上面的活动，学生对面积的感知就相对深刻了。教师请学生反思前面的学习过程，回顾全课，再“议”面积。此时，至少有两个话题。其一，再说一说“什么是面积”。学生所体会的面积就不仅仅是“物体的表面或封闭图形的大小”，更多的是“面积就是用小面累积出来的”“面积就是图形中含有小面（单位面积）的个数”“长方形面积就是长、宽两条边上所能摆放小正方形块数的乘积”“面积是量出来的”等。这些看似零散的感悟，实际直指面积的本质。其二，就是与周长进行对比和辨析。引导学生不仅比较它们的“异”，更要比较二者之“同”，即它们都是用相应的单位去度量的结果。周长是用单位长度去度量，而面积是用单位面积去度量。也就是以“线”量“线”，以“面”积“面”。在度量活动中发展学生的“量感”，培养其度量意识。

参考文献：

[1]  娜仁格日乐，史宁中. 度量单位的本质及小学数学教学[J]. 数学教育学报，2018，27（06）：13-16.

[2]  宋健泳. “面积”单元的教学重构和价值追寻——以度量思想的感悟为视角[J]. 小学数学教师，2020（11）：64-69.

[3]  李淑民，姜永春. 把握度量本质 破解疑难问题——基于《面积》单元整体分析[J]. 教育实践与研究（A），2020（11）：62-64.

[4]  张奠宙. 深入浅出，平易近人——怎样测量长度、面积和体积[J]. 小学教学（数学版），2014（09）：4-6.