高中教学综合训练(四)

2022-05-30 03:23赵红琴
语数外学习·高中版上旬 2022年8期
关键词:偶函数方格直角坐标

赵红琴

一、選择题

A. {2,3}    B.{-1,1}    C.{1,2,3}    D.?

4.已知等比数列{an}的各项均为正数,若log2a1+log2a2+…+log2a8=8,则a4a5=(    ).

A.1    B.2    C.4    D.8

6.中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期,公元前221年,秦王统一中国后,颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”(无盖,不计量厚度)的三视图(其正视图和侧视图为等腰梯形,如图1),则此“斗”的体积为(单位:立方厘米)(    ).

A.2000    B.2800

C.3000    D.6000

A.P1=P2=P3B.P3>P2>P1

C.P1>P2>P3D.P2>P1>P3

A.3    B.4    C.5    D.6

A.1695    B.1696    C.1697    D.1698

11.△ABC中,所有内角都不是钝角,有以下命题:①sin2A=sin2B?A=B;②sin2A>sin2B?Acos2B?A

A.1    B.2    C.3    D.4

12.如图2所示,将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等,若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为().

A.33    B.56

C.64    D.78

二、填空题

13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2;如此循环,最终都能够得到1.图3 为研究角谷定理的一个程序框图,若输入n的值为6,则输出i的值为________.

15.若(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为13,则展开式中各项系数和为________(用数字作答).

三、解答题

(1)求证:BC⊥平面A1EF;

(1)若进行一次高尔顿板试验,求小球落入第7层第6个空隙处的概率;

(i)求X的分布列:

(ii)高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小明同学能盈利吗?

20.已知函数f(x)=cosx+ax2-1

(2)若f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围.

四、选做题

选修4-4:坐标系与参数方程

(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;

选修4-5:不等式选讲

(1)解不等式f(x)≥6;

参考答案与解析

一、选择题

1-12    ABDCD    BCADA    CB

二、填空题

三、解答题

又因为BE是直角三角形ABC的斜边AC的中线,

所以A1B2=A1E2+BE2

所以△A1EB是直角三角形,所以A1E⊥BE,

所以A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥BC,

又因为BC⊥AB,A1F∥AB,

所以BC⊥A1F,所以BC⊥平面A1EF.

(2)由(1)知BC⊥平面A1EF,所以平面ABC⊥平面A1EF,又由A1E⊥AC,所以A1E平面ABC,

以B为坐标原点,以射线BC为x轴,以射线BA为y轴,过B向上作平面ABC的垂线为z轴建立空间直角坐标系,则A1E∥z轴,

由(1)知BC⊥平面A1B1E,

∴Tn=1×40+2×41+3×42+…+n×4n-1

4Tn=1×41+2×42+3×43+…+n×4n

即S2-4S+3=0,解得S=1或S=3.

对任意的n∈N*,,均存在m∈N*

又a1为正整数,

∴满足条件的所有整数a1的值构成的集合为

∴数列{cn}不是等差数列,舍去.

综上,满足条件的所有整数a1的值构成的集合为

(2)(i)由已知X的取值可为1,2,3,4,5,6,7.

∴X的分布列为

∴ξ的可能取值为0,5,10,15,

∴小明同学能盈利.

所以f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),

故f(x)为偶函数.

当x≥0时,f,(x)=-sinx+x,

記g(x)=f′(x)=-sinx+x,所以g′(x)=-cosx+1.

因为g′(x)≥0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,

即f′(x)在[0,+∞)上单调递增,故f′(x)≥f′(0)=0,

所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,

因为f(x)为偶函数,所以当x∈R时,f(x)≥0.

(2)①当a=0时,f(x)=cosx-1,

令cosx-1=0,解得x=2kπ(k∈Z),

所以函数f(x)有无数个零点,不符合题意;

②当a<0时,f(x)=cosx+ac2-1≤ax2≤0,当且仅当x=0时等号成立,故a<0符合题意;

③因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,

又因为f(0)=0,故x=0是f(x)的零点.

当a>0时,f′(x)=-sinx+2ax,

记g(x)=f′(x)=-sinx+2ax,则g′(x)=-cosx+2a.

故g(x)在(0,+∞)单调递增,

故当x>0时,g(x)>g(0)=0即f′(x)>0,

故f(x)在(0,+∞)单调递增,故f(x)>f(0)=0

所以f(x)在(0,+∞)没有零点.

因为f(x)是偶函数,所以f(x)在R上有且只有一个零点.

即x∈(0,x1)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,x1)单调递减,f(x1

又f(2π)=cos2π+a(2π)2-1=4aπ2>0,

所以f(x1)f(2π)<0,

由零点存在性定理知f(x)在(x1,2π)上有零点,又因为x=0是f(x)的零点,

四、选做题

选修4-4:坐标系与参数方程

21.【解析】(1)曲线C1的直角坐标方程为x2+(y-6)2=2.

得x2+y2+9y2=10,

选修4-5:不等式选讲

22.【解析】(1)不等式f(x)≥6,

即2≥6,无解;

当且仅当(2x-7)(2x-5)≤0时取等号,∴m=2.

∴2k2≥1,即k2m≥1.

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