赵红琴
一、選择题
A. {2,3} B.{-1,1} C.{1,2,3} D.?
4.已知等比数列{an}的各项均为正数,若log2a1+log2a2+…+log2a8=8,则a4a5=( ).
A.1 B.2 C.4 D.8
6.中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期,公元前221年,秦王统一中国后,颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”(无盖,不计量厚度)的三视图(其正视图和侧视图为等腰梯形,如图1),则此“斗”的体积为(单位:立方厘米)( ).
A.2000 B.2800
C.3000 D.6000
A.P1=P2=P3B.P3>P2>P1
C.P1>P2>P3D.P2>P1>P3
A.3 B.4 C.5 D.6
A.1695 B.1696 C.1697 D.1698
11.△ABC中,所有内角都不是钝角,有以下命题:①sin2A=sin2B?A=B;②sin2A>sin2B?Acos2B?A
A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图2所示,将33×33方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等,若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为().
A.33 B.56
C.64 D.78
二、填空题
13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2;如此循环,最终都能够得到1.图3 为研究角谷定理的一个程序框图,若输入n的值为6,则输出i的值为________.
15.若(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为13,则展开式中各项系数和为________(用数字作答).
三、解答题
(1)求证:BC⊥平面A1EF;
(1)若进行一次高尔顿板试验,求小球落入第7层第6个空隙处的概率;
(i)求X的分布列:
(ii)高尔顿板游戏火爆进行,很多同学参加了游戏,你觉得小明同学能盈利吗?
20.已知函数f(x)=cosx+ax2-1
(2)若f(x)在R上有且只有一个零点,求a的取值范围.
四、选做题
选修4-4:坐标系与参数方程
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
选修4-5:不等式选讲
(1)解不等式f(x)≥6;
参考答案与解析
一、选择题
1-12 ABDCD BCADA CB
二、填空题
三、解答题
又因为BE是直角三角形ABC的斜边AC的中线,
所以A1B2=A1E2+BE2,
所以△A1EB是直角三角形,所以A1E⊥BE,
所以A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥BC,
又因为BC⊥AB,A1F∥AB,
所以BC⊥A1F,所以BC⊥平面A1EF.
(2)由(1)知BC⊥平面A1EF,所以平面ABC⊥平面A1EF,又由A1E⊥AC,所以A1E平面ABC,
以B为坐标原点,以射线BC为x轴,以射线BA为y轴,过B向上作平面ABC的垂线为z轴建立空间直角坐标系,则A1E∥z轴,
由(1)知BC⊥平面A1B1E,
∴Tn=1×40+2×41+3×42+…+n×4n-1,
4Tn=1×41+2×42+3×43+…+n×4n,
即S2-4S+3=0,解得S=1或S=3.
对任意的n∈N*,,均存在m∈N*,
又a1为正整数,
∴满足条件的所有整数a1的值构成的集合为
∴数列{cn}不是等差数列,舍去.
综上,满足条件的所有整数a1的值构成的集合为
(2)(i)由已知X的取值可为1,2,3,4,5,6,7.
∴X的分布列为
∴ξ的可能取值为0,5,10,15,
∴小明同学能盈利.
所以f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),
故f(x)为偶函数.
当x≥0时,f,(x)=-sinx+x,
記g(x)=f′(x)=-sinx+x,所以g′(x)=-cosx+1.
因为g′(x)≥0,所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,
即f′(x)在[0,+∞)上单调递增,故f′(x)≥f′(0)=0,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,
因为f(x)为偶函数,所以当x∈R时,f(x)≥0.
(2)①当a=0时,f(x)=cosx-1,
令cosx-1=0,解得x=2kπ(k∈Z),
所以函数f(x)有无数个零点,不符合题意;
②当a<0时,f(x)=cosx+ac2-1≤ax2≤0,当且仅当x=0时等号成立,故a<0符合题意;
③因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,
又因为f(0)=0,故x=0是f(x)的零点.
当a>0时,f′(x)=-sinx+2ax,
记g(x)=f′(x)=-sinx+2ax,则g′(x)=-cosx+2a.
故g(x)在(0,+∞)单调递增,
故当x>0时,g(x)>g(0)=0即f′(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)单调递增,故f(x)>f(0)=0
所以f(x)在(0,+∞)没有零点.
因为f(x)是偶函数,所以f(x)在R上有且只有一个零点.
即x∈(0,x1)时,f′(x)<0,故f(x)在(0,x1)单调递减,f(x1) 又f(2π)=cos2π+a(2π)2-1=4aπ2>0, 所以f(x1)f(2π)<0, 由零点存在性定理知f(x)在(x1,2π)上有零点,又因为x=0是f(x)的零点, 四、选做题 选修4-4:坐标系与参数方程 21.【解析】(1)曲线C1的直角坐标方程为x2+(y-6)2=2. 得x2+y2+9y2=10, 选修4-5:不等式选讲 22.【解析】(1)不等式f(x)≥6, 即2≥6,无解; 当且仅当(2x-7)(2x-5)≤0时取等号,∴m=2. ∴2k2≥1,即k2m≥1.