“‘一次函数’小结与思考”教学实录及反思

吴加健

本节课是苏科版数学八（上）“一次函数”的小结与思考课，其主要内容是通过具体问题回顾本章所学知识，进一步感受变量之间的函数关系，知道函数、方程、不等式是刻画现实世界数量关系和变化规律的重要模型，让学生在数学建模中进一步体会数学的应用价值。

一、教学目标

通过自主梳理本章知识结构，能够综合应用本章知识解决相关数学问题;通过知识的系统整理，明晰研究函数的基本路径;通过问题解决，感知一次函数的定义、图像、性质、应用以及它与一次方程（组）、一次不等式的关系;通过单元整体建构，进一步体会方程与函数、化归与转化、数形结合、待定系数法等重要的数学思想方法，培育抽象能力、模型观念、创新意识等核心素养。

二、教学实录

活动一：整体梳理，展示预学。

师：我们知道函数是刻画现实世界运动变化的数学模型。本节课，老师和大家一起进行“一次函数”的小结与思考。请同学们对本章的知识结构进行组内讨论，并梳理和总结，然后和大家分享。

生1：在一个变化过程中，变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么y就是x的函数，x就叫作自变量，y叫作因变量。

师：这个是函数的概念。

生1：函数有三种表示方法：列表法、图像法、解析法。

师：很好！那如何画函数图像？

生2：先列表，再描点，最后连线。

生3：我梳理的还有一次函数的定义、图像与性质、应用。

师：那什么样的函数叫作一次函数？

生3：形如y=kx+b。

师：x和y是变量，其中k和b都是？

生3：k和b都是常量且k不等于0。

师：一次函数有什么特例啊？

生3：有正比例函数。

师：什么样的函数叫作正比例函数？

生3：y=kx，也就是常数b为0的特殊情形。

师：那一次函数的图像是？

生4：一条直线。

师：那么如何来画这个图像呢？

生4：只需确定两个点。

师：函数中的k决定什么？

生5：k决定增减趋势。

师：我们不妨把经过第一、三象限的图像的走向看成上升，把经过第二、四象限的图像的走向看成是下降。b呢？

生5：b的确定和y轴的交点位置相关。

生6：我们还学习了一次函数与方程、一次函数和不等式的关系。

师：一次函数、一次方程、一次不等式，当然后面还有二次、更高次的方程与不等式。函数、方程、不等式存在着千丝万缕的联系。

师：通过提出问题，抽象出函数，到一次函数，这里体现数学建模的思想。同时，我们在研究一次函数的图像与性质的过程中，体会到数量和图形之间的联系，这里面涉及了一个重要的数学思想方法：数形结合。

活动二：整体理解，问题剖析。

师：图1是一次函数y=kx+b的图像，你能获得哪些信息？

生7：因为它经过第二、四象限，所以k<0。又因为它交于y轴的正半轴，所以b>0。

师：交于y轴的点的坐标你可以描述出来吗？

生7：（0，b）。

师：非常好，还有什么信息？

生8：函数值y随着x的增大而减小。

师：若y=kx+b的图像过点（1，2）和（-1，6），你能提出哪些问题？如何思考解决的？（小组讨论）

生8：求这个函数表达式。

师：你准备用什么方法求？

生8：待定系数法。将（1，2）和（-1，6）分别代入y=kx+b，得到一个关于k和b的方程组，求出的函数表达式为y=-2x+4。

师：哪个小组还能提出其他问题吗？

生9：我们小组认为还可以求出直线与x轴和y轴围成的图形的面积。

师：很好，如何解决？

生9：求出直線与x轴和y轴的交点坐标就可以了。

师：还有吗？

……

师：这里涉及直线与坐标轴的交点、直线之间的交点、线段的长度、图形的面积、大小比较、增减性等知识，还有其他的平移变换的问题，希望大家课后再作深度的探讨。

活动三：整体把握，应用迁移。

（1）[x-y=1，2x-y=3;]（2）[x-y=1，2x-2y=2;]（3）[x-y=1，2x-2y=4。]

师：如何通过两条直线位置关系，探索上述二元一次方程组解的情况？

生10：（1）相交，这个方程组有唯一解。

生11：（2）重合，这个方程组有无数组解。

生12：（3）平行，这个方程组无解。

师：由此可见，除了用代入消元法或加减消元法直接解方程组之外，还可以直接用图像判断方程组解的个数。

师：请问y=[2x]、 y=x2+2x+1是不是函数？

生（齐）：是。

师：其实，一次函数只是函数“家族”中的一员，像y=[2x]、 y=x2+2x+1等函数是我们今后要学习的内容，我们可以用研究一次函数的方法来研究这些函数的图像及性质。老师希望同学们学会用数学的眼光观察现实世界，学会用数学的思维思考现实世界，学会用数学的语言表达现实世界，我们的未来一定像k[>]0的一次函数的图像一样，一路上升，前程似锦！

三、教学反思

为了解决教学碎片化问题，感受整体教学观，教师应引导学生自主构建知识体系，提炼数学思想方法。基于已有的学习经验，探究知识的生成，素养的自然生长，进行知识体系的后建构，有利于学生知识的储存、提取与应用。问题串的设计有助于学生更好地理解所学知识，并且逐步建立起整体知识框架，激发学生学习的内驱力。从数学学科的特点看，无论是新知的引入（把握探究新知的一般路径），还是解题的有序思考（指导学生学会思考），都力求自然，从学科本身出发，从学生的基础出发，从学生的认知经历出发，帮助学生积累数学活动经验，发展数学学科核心素养，使数学学习进一步深入。

（作者单位：江苏省盐城市鹿鸣路初级中学）

本文系江苏省教育科学“十四五”规划课题“‘双减背景下初中数学作业设计校本化实践研究”（项目编号：E-c/2021/40）阶段性成果之一。