如何在初中数学教学中培养学生的代数推理能力

徐小青

从学科能力的视角来看，数学学科的综合能力包含逻辑推理能力、归纳总结能力以及推陈出新能力等。在新课程改革的背景下，初中数学课程在内容上经历了相关变动，对学生的学科综合能力要求也发生了一定变化。在代数部分的数学内容学习中，学生除了需要掌握基础的代数理论知识以外，还要学习如何灵活运用所学代数理论知识，以完成更深层次的代数学习。在以往的初中数学课堂中，部分教师所采用的教学方法偏向于纯理论层面的指導，对于学生的拓展能力、理论实践能力与逻辑推理能力等方面缺乏深入培养，这也影响了学生后续的自主学习质量。

为使学生在后续的代数学习中具备较好的逻辑推理能力和理论应用能力，教师应在原有的教学基础上，转变教学理念，优化教学模式，通过多种教学方式，帮助学生在代数部分的学习中培养较好的推理能力。

一、代数推理能力的概念

国外教育专家在研究中对代数推理能力进行了深入探讨，并阐述了代数的三重定义：代数属于一种广义算术；代数是研究函数关系与相关变量的一种手段；代数是一种数学语言。根据这三重定义，代数推理能力也具有三重概念：从具体运算中推理、归纳、总结出适用于整个数学系统的计算法则或者运算体系；在某个情境中，能够根据其中蕴含的数量关系，推理出其中蕴含的函数关系；运用一般形式的数学模型表示归纳所得的函数关系，并对模型的准确性进行评估与验证。

代数推理相关联的数学活动如表1所示：

在代数推理能力的构成上，部分学者认为该能力涉及多种概念集合体，一般情况下体现的思维推理流程包括：建立一般化、常态化的模式；根据相关规则内容实施计算；对运算中的抽象概念进行研究；对函数与数量关系进行研究；构建模型。

二、培养学生代数推理能力的作用

1.能够培养学生的合情推理能力

合情推理能力在解决实际问题或者探究解题思路时，能够以符合规律、符合实际情况的视角为学生提供思维上的帮助。推理的过程实质上属于探索问题解决方法的一种手段。学生在代数性质与数字变化规律中，往往需要结合所知信息进行猜想、验证与推导结论，整个过程都考验学生的思维推理能力，并考查学生能否从合理的猜想角度进行推理验证。例如，在一元一次方程的学习中，学生在类比推理中，可以把解一元一次方程的方法类推到一元一次不等式，以此在合情推理的过程中，根据方程与不等式之间存在的共性或者差异性，总结二者之间存在的关联性。学生在代数推理以及数学理论之间的类推中，可以对其合情推理能力进行相应训练。

2.能够培养学生的演绎推理能力

演绎推理能力一般是指根据既有的理论概念或者案例资料等，学生基于规定的法则或者理论性质进行猜想、推理与实践探究的能力。整个过程都需要学生在现有的定义或者理论性质的基础上进行。代数推理的过程也需要学生按照代数运算的一般规则，在规定的法则内进行逻辑推导。学生在代数概念与代数运算的学习过程中，也通常需要进行公式定义之间的相互推导，培养代数推理能力。这对其后续的代数理论知识学习具有重要作用。因此，教师在教学工作中，应采取多种教学方式培养学生的代数推理能力。

三、培养学生代数推理能力的教学策略分析

1.基于概念与性质培养学生的代数推理能力

“数与代数”这一模块主要涉及代数基础概念、代数运算性质与运算法则等。这一模块内容包括分数和分式、数的运算性质和多项式运算性质等，它们之间具有紧密联系。对于教师而言，理论内容之间的概念关联性可以为学生的代数推理能力培养提供一条有效路径。

根据数学中的不同对象的属性进行类比推理，可以为学生的理论学习、数学概念与法则运算等提供推理能力方面的培养路径，如在关于负指数幂的代数推理问题中，教师可做如下设置：

证明：A+B=0

在该题的解题方法上，关键在于如何理解、运用负指数幂的概念。

在代数概念与性质的教学中，教师应带领学生深入代数的基本性质，通过其中变换的规律和依据，使学生在相关题型的解题过程中，基于基础理论概念进行思考。在解题思路上，主要根据负指数幂的基础性质与分式运算的基本知识进行，这两方面内容为基础性的概念知识。教师在培养学生的代数推理能力时，应对基础概念与理论性质进行深入的讲解，在后续的题型变化中加强对学生的代数推理能力的培养。在数与代数的基本运算中，都可以根据实例操作的方式进行归纳总结，其中的有理数加法、乘法法则等，可以通过归纳推理的方法进行总结。

比如，在有理数乘法法则的归纳中，两个有理数相乘一般包含以下几种情况，即：两个正数相乘；两个负数相乘；正数与负数相乘；正数与0相乘；负数与0相乘；0乘以0。在处理两个有理数相乘的过程中，我们可以根据运算结果推理出运算法则，即两数相乘，同号正，异号负，并把绝对值相乘，任何数与0相乘仍得0。中小学阶段尚不要求运用运算律进行证明，初中阶段只要求学生掌握推理、归纳的方法即可。在该环节的运算推理中，学生往往需要结合两种或者多种运算概念，在类比推理的过程中尝试使用归纳推理的方式进行推算和总结。

2.基于探究性数学活动培养学生的代数推理能力

数学活动的创设主要为学生提供相应的理论实践场所。在当前的教学实践中，针对学生的代数推理能力培养，部分教师对学生的主体性缺乏相应的重视，并且仅注重理论层面上的推理能力培养。代数推理除了涉及理论部分的知识以外，还涉及理论实践层面的规律总结和运算推理等。在教学工作中，教师应注重学生的主体性，在结合代数理论性质与代数推理能力培养的基础上，通过多样化的数学活动创设，为学生提供较好的培养推理能力的环境。

探究性数学活动的展开能够为学生提供多种思维路径，如预测、猜想、联想、验证与归纳总结等。与以往的教学模式相比，数学活动的创设可以在发挥学生主体性的基础上，为其提供丰富的推理能力锻炼途径。教师在数学活动的创设中，还应考虑学生的整体学习情况，通过引入代数运算的专题内容与思维训练内容，使学生站在代数运算的性质研究的角度，通过猜想、验证或者亲自实践的方式去验证。如表2所示。

教师在引入某月日历信息的过程中，设置相应的数学问题，使学生结合日历信息进行思考、讨论、驗证与总结归纳。

教师可设置如下问题：

日历中19日之前代表星期三、星期四、星期五的数字之和与“10”存在哪些关系？

这个关系在其他数字结构中是否成立？代数应该如何表示？

这个关系在其他月份的日历中成立吗？原因或者根据是什么？

这些数字还具有哪些关系？能否用代数进行表示？

在设置相关问题的基础上，教师可引导学生观察表2中19日之前代表星期三、星期四、星期五的数字，并从直觉上尝试说明它们之间具有何种联系。随后，在学生进行实践探究的基础上，教师可提供相应的解决方法指导，通过数字之间的关系探究并根据变化规律猜想等，引导学生运用代数运算的相关方法进行验证与表示。如表3所示。

从表3可以看出，若用a表示表2中19日之前代表星期三、星期四、星期五的中间数字，9个数字的和=9a，那么9个数字可以依次以a为因素进行表示。

在后续的学生代数推理能力培养过程中，教师可引入有关现实生产生活的问题，引导学生以代数运算的思维进行猜想、验证与归纳总结，在此基础上培养学生的推理能力。

3.基于理论应用培养学生的代数推理能力

数形结合模式一般由理论概念与数学图形当作集合体，学生在学习时除了需要从理论概念出发以外，还要学会以几何概念解释理论部分的内容或者进行实际应用。

初中阶段的代数运算在理论概念与结构上难度为中等，教师在培养学生代数运算能力的过程中，可通过数形结合的方式，使学生在思维推理、运算猜想和后续的总结归纳阶段，运用多种数学工具解决实际问题，并在解决问题的过程中锻炼代数推理能力。

比如，实数a、b在数轴上的位置关系如图1所示，试比较a、b的大小。

要使学生深刻理解“正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小”，教师应带领学生结合理论与图形进行推理，可按照“因为……所以……”的思维模式，使学生在解题中尝试结合原理说明答案的来源和依据。

解题步骤为：根据数轴中a、b的位置可判断出，因为a为负数，小于零，所以a在该环节的教学中，重点在于如何培养学生熟练应用所学知识的能力。数学课涉及的题型较多，对学生的审题能力、理论应用能力和判断能力等有较高要求。在对学生代数运算思维的培养中，教师应结合不同题型，使学生根据题型的特点思考如何运用所学知识。

四、结语

综上，代数部分的数学理论内容对学生的思维推理能力具有一定要求，教师应创新教学方式，帮助学生深入学习代数理论知识，重视对学生的学科综合素养培育，确保学生在学习中逐步提高思维推理能力。

（作者单位：江苏省南京东山外国语学校）

责任编辑：刘卫红