勾股定理中的方法与技巧

卢宗凯

一、巧用勾股数

在初中阶段我们常用的勾股数有下列五组：3，4，5;5，12，13;7，24，25;8，15，17;9，40，41. 用勾股定理求第三邊时，可扩大或缩小相应的倍数.

例1 在Rt△ABC中，∠C = 90°，（1）a = 10， b = 24， c = ;（2）a = [32]， c = [52]，b = .

解析：（1）由 a = 5 × 2，b = 12 × 2，可知c = 13 × 2 = 26. 故应填26.

（2）由a = [12] × 3， c = [12] × 5， 可知b = [12] × 4 = 2. 故应填2.

二、确定图形后用勾股

在三角形中，已知边长未明确是直角边还是斜边，导致图形的形状不唯一，出现双解.

例2（1）在直角三角形中，两条边长分别为3，4，则以第三边为边长的正方形的面积为 ;（2）在△ABC中，AB = 15，AC = 13，BC边上的高AD = 12，则△ABC的周长为 .

解析：未知图形的形状时，同学们在画图的过程中一定要注意是否有双解.

（1）未确定第三边是斜边还是直角边，可分两种情况：第三边是斜边，则42 + 32 = 25;第三边是直角边，则42 - 32 = 7. 于是以第三边为边长的正方形的面积为25或7. 故应填25或7.

（2）由AB =15，AD = 12，∠ADB = 90°，可得BD = 9. 未确定第三边的高是在三角形内还是在三角形外. 如图1，当△ABC是锐角三角形时，BC = BD + CD = 9 + 5 = 14，则△ABC的周长为42;当△ABC'是钝角三角形时，BC' = BD - C'D = 9 - 5 = 4，则△ABC的周长为32. 故应填42或32.

三、折叠中巧用勾股定理

对有直角的图形进行折叠时，可结合“全等三角形的对应边相等”，并利用勾股定理求未知的边长.

例3 长方形纸片ABCD的长AD = 9 cm，宽AB = 3 cm，将这个纸片折叠，使点D与点B重合. （1）求折叠后DE的长;（2）求以折痕EF为边的正方形的面积.

解析：（1）如图2，设DE的长为x cm，则AE = （9 - x） cm，

由折叠知DE = BE = x cm，在Rt△ABE中，∠A = 90°，

则AB2 + AE2 = BE2，[32+9-x2=x2]，解得x = 5，

即DE的长为5 cm.

（2）由DE = 5 cm，得AE = 4 cm，

同理，在Rt△D'BF中，设BF = y cm，则CF = （9 - y） cm.

在Rt△D'BF中，[32+（9-y）2=y2]，解得y = 5.

如图3，过E作EM⊥BF，垂足为M，

MF = BF - BM = 5 - 4 = 1 （cm），

在Rt△EMF中，∠EMF = 90°，

则EF2 = EM2 + MF2 = 32 + 12 = 10（cm2）.

即以折痕EF为边的正方形的面积为10 cm2.

四、遇形同勾股定理的等式，构造直角三角形

若几条线段之间的关系不明确，但出现了边长的平方的形式，可联想直角三角形，并利用勾股定理去解决.

例4 如图4，在Rt△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，点P，Q在AB上，且∠PCQ = 45°. 试探究AP2 + BQ2与PQ2之间的关系.

解析：无法将AP，BQ，PQ放在一个直角三角形中，应先构造全等三角形，再把其中的两条线段进行等量代换.

如图5，过A作AB的垂线，并截取AE = BQ，连接PE，

易证∠EAC = ∠CAB = ∠B = 45°.

∵CA = CB，∴△CEA≌△CQB（SAS），

∴∠QCB = ∠ECA，CE = CQ.

∵∠PCQ = 45°，∴∠QCB + ∠ACP = 45°，

∴∠ECA + ∠ACP = 45°，∴∠ECP = ∠QCP.

∵CP = CP，∴△CEP≌△CQP（SAS），∴PE = PQ.

在Rt△AEP中，∠EAP = 90°，∴AP2 + AE2 = EP2，即AP2 + BQ2 = PQ2.

（作者单位：辽宁省实验学校）