数学教学要“讲道理”

李祎，林晴岚

摘要：从认知心理学的角度来看，“讲道理”的教学才能促进有意义学习的发生；从数学学科的特点来看，数学的产生与发展是自然而然的、合情合理的，数学知识之间是逻辑严谨的，因而更应该“讲道理”、更容易“讲道理”；从我国数学教育的现状来看，“讲道理”的教学可以有效解决“会而不懂”的问题。数学教学中，要从深入理解数学和善于稚化思维两方面入手做到“讲道理”。“向量及其运算”的教学，要认识到数和向量内在的关联性和一致性，通过类比迁移、从特殊到一般、“降维”转化等思想，让学生理解向量运算法则（乃至定义）的合理性。

关键词：数学教学；讲道理；向量及其运算；问题串；“降维”转化

数学是理性的科学，并因理性而让人感到解放、有力和震撼。理性精神的培育，离不开“讲道理”。数学教学要“讲道理”应是常识，但在应试教育的背景下，似乎成了一种奢望。在听中学数学课的过程中发现，数学教学中“不讲道理”的现象普遍存在，新知教学“多快好省”地灌输，重结果、轻过程，重记忆、轻理解，把课堂上大量的时间花在习题操练上。究其原因，表面上看与“应试”高压有关，实则可能还是与教师对数学教学的认识及教师的数学学科素养有关。以下先阐述对数学教学中“讲道理”重要性的认识，再谈谈数学教学中怎样才能做到“讲道理”，并以高中“向量及其运算”的教学为例详细说明。

一、数学教学中“讲道理”的重要性

首先，从认知心理学的角度来看，“讲道理”的教学才能促进有意义学习的发生。奥苏贝尔曾把学习分为有意义学习和机械性学习。所谓有意义学习，是指“符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当概念能够建立起非人为的、实质性的联系”。那么，什么是“非人为的、实质性的联系”呢？这就是指，新知识与认知结构中有关概念的联系不是任意的、字面上的联系，而是具有某种合理的或逻辑基础上的本质性联系。“讲道理”的教学就是要循序渐进地引导、循循善诱地启发，激发学生产生主动学习（建立联系）的心向，并通过揭示新旧知识之间的连接点，打通新旧知识之间的逻辑通道，在新旧知识之间建立起各种纵横联系。这样，才能真正促进有意义学习的发生；否则，填鸭式的被动接受、囫囵吞枣式的机械学习的发生就不可避免了。实际上，有意义的学习就是理解性的学习。而大量经验、研究证明，只有理解了的东西才不会被遗忘，尤其是在所学习的内容越来越多的情况下。

其次，从数学学科的特点来看，数学的产生与发展是自然而然的、合情合理的，数学知识之间是逻辑严谨的，因而更应该“讲道理”、更容易“讲道理”。正如弗赖登塔尔的观点：数学是系统化了的常识。也如人教版高中数学教材曾在“主编寄语”中所言：“数学是自然的……数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。”这里，需要特别辨析一下“推理”与“道理”的关系。张奠宙先生很早就指出过，数学“要讲推理，更要讲道理”。其中的“推理”主要指逻辑推理，特别指演绎推理，如解方程的步骤；“道理”则主要指来龙去脉，并包括合情推理，如为什么要学习方程、如何用方程解决问题。实际上，以现代而非传统的观点（由波利亚首先大力倡导而被广泛认可）来看，数学中的（逻辑）推理不限于严谨的演绎推理，也包括灵活的合情推理，即具有传递性的推理形式⑤。《普通高中数学课程标准（2017年版2022年修订）》便持有这样的认识，而《义务教育数学课程标准（2022年版）》更强化了这样的认识。所以，在解读新课标的有关理念时，课标修订组组长史宁中教授多次提到，新概念和新方法的引入必须让学生体会到必要性⑤；核心成员孙晓天教授指出，作为核心素养的数学思维主要表现为推理，即广义的，将各种形式相互协调、熔于一炉的，由“思考现实世界”的需要所决定的推理。而这种广义的推理就可以理解为“讲道理”（建联系）。简单来讲，就是傅仲孙先生所讲的“示以思维之道”：不仅知其然，而且知其所以然，知何由以知其所以然；不仅知道每一个数学概念和结论是什么，而且知道它们是怎么来的，它们有什么用处，它们之间有什么联系等。

再次，从我国数学教育的现状来看，“讲道理”的教学可以有效解决“会而不懂”的问题。为了应对升学考试，数学教学中“对题型，套解法”的机械刷题现象很普遍。由此出现了一种“会而不懂”的现象，即学生“会”做题，但不懂数学，也就是学生能够用现成（记住）的基本（核心）知识做题，但不理解基本（核心）知识的来龙去脉与相互联系以及其中蕴含的本质与思想——其实，学生“会”做的往往只是缺少“原创性”、不能充分考查思维能力、以记忆模仿为主就能解决的“练习题”。这种现象比“懂而不会”的现象（能听懂但不会做题）更可怕：学生不懂数学的问题被“会”做题的表象掩盖了。丘成桐先生曾在杭州与一群高考数学“尖子生”见面。结果，他大为失望，并一针见血地指出：“大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系难以培养出什么数学人才。”我们在数学教学中强调“讲道理”，就是要求学生要把“会”建立在“懂”的基础上，先“懂”再“会”，并在“会”中不断深化“懂”，从而做到既“懂”又“会”，不能“懂而不会”，更不能“会而不懂”。这就要求我们做好数学概念、公理、定理、公式和法則等新知的教学。

此外，学生的数学观是长期逐渐养成的。如果教师在教学中经常不讲道理，习惯于照本宣科地“填鸭”，学生便会逐渐丧失质疑问难的精神，从而采取理所当然的态度，习惯于拿来主义和被动接受，认为数学先天这样、本来如此，只管照搬和接受即可。显然，这种数学观的危害是极大的，也是造成目前“会而不懂”现象的根源。

二、数学教学中怎样才能做到“讲道理”

数学教学中，要从深入理解数学和善于稚化思维两方面入手做到“讲道理”。

（一）深入理解数学

在数学教学中，“教什么”比“怎么教”更为重要，因为前者关涉教学内容，后者关涉教学形式，而内容决定形式。数学教师如果没有良好的数学素养，没有对数学知识及其结构体系的通透理解，是不可能真正做好数学教学工作的。正如美国数学家赫斯所言：“问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么；如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学的争议。”章建跃先生曾经提出数学教学的“三个理解”，即理解数学、理解学生、理解教学。在这三者中，无疑“理解数学”更为重要，它是“理解学生”和“理解教学”的基础。

要真正理解数学，不仅要从微观上准确把握每个数学概念、原理的来龙去脉以及本质特征，而且要从宏观上把握数学知识的纵横联系以及结构体系；不仅要揭示数学知识的显性联系，把握数学知识结构之“形”，而且要揭示数学知识的内在关系，领悟数学知识结构之“神”。单墫教授曾经指出学好数学要经历的几个“会”：首先是“学会”，其次是“领会”，最后是“融会”。所谓的“融会”，就是要做到触类旁通、举一反三，如此方能讲出道理，并运用自如。

如果教师不清楚学科内容的研究对象和方法、研究思路和线索，不清楚学科知识的来龙去脉、纵横联系、背景和意义、地位和作用，那么教学就会具有一定的盲目性和机械性，更勿论给学生讲清楚道理了。比如，教学“向量的概念”时，很多教师认识不到数和向量内在的关联性和一致性，只通过与数的区别来介绍向量。这样，“向量的运算”的教学，就难以引导学生采用“降维”思想进行转化，也就难以让学生理解向量运算法则（乃至定义）的合理性。

（二）善于稚化思维

教学既不能“浅入深出”“浅入浅出”，也不能“深入深出”，而要“深入浅出”。能否“深入”，取决于教师的学科知识水平；在“深入”的基础上能否“浅出”，则取决于教师的教学水平。优秀的教师在教学中要善于悬置自己已有的知识，设身处地地站在学生的角度思考，设想自己在“一无所知”的情况下面临新的问题情境时，会怎样思考问题、分析问题、解决问题。概括来讲，也就是要“思学生之所思”“难学生之所难”“错学生之所错”。这样，教师的思维与学生的思维才不会出现脱节或错位，教师所讲的道理才容易被学生理解和接受，有意义学习才可能真正发生。

要做到稚化思维，一方面，要准确把握学生的认知基础，即学生头脑中已有的知识和经验是什么，新知识的生长点和固着点是什么，新旧知识之间存在怎样的联系和落差，应该如何给学生搭建认知的“脚手架”；另一方面，要善于揣摩学生的思维方式，即学生面对陌生问题在寻找解决策略时可能采取的思维方式有哪些，可能会存在哪些认知困难，应该如何引导学生寻找合理的解决策略。在稚化思维的基础上设置引导性问题，教学就不会出现“越位”现象了。

比如，无论教学“向量的加法运算”，还是教学“向量的数量积运算”，当学生面对“平面上既有大小又有方向的量”的陌生问题时，引导学生采用从特殊到一般的解决策略，便是减少思维落差、化解教学难点的方法。因为共线向量的加法运算和数量积运算更靠近学生的认知起点，是连接数的运算和向量运算的桥梁，更容易被学生同化、接纳。基于这一认识设置问题引导学生思考，便符合了稚化思维的教学理念。正如波利亚所言：“让你的学生提出问题，要不就像他们自己提问的那样由你去提出这些问题；让你的学生给出解答，要不就像他们自己给出的那样由你去给出解答。”

三、数学教学中“讲道理”的一个具体案例

下面详细阐述上文提及的“向量及其运算”的教学。

（一）“向量的概念”教学诊断与改进

1.传统教学诊断

在“向量的概念”的教学中，很多教师都是结合生活实例，并通过如下导语来引入向量概念的：“我们之前学习的量叫数量，数量只有大小、没有方向；今天我们新学习的量叫向量，向量不仅有大小，而且还有方向。”

采用这种方式导入，就把数量与向量人为地割裂了，会导致学生认为数量和向量是两个完全不同的概念，它们之间没有任何联系。聪明的学生就会想到：之前学习有理数时，为了表示相反意义的量，我们引进了负数，“相反”不就有方向的含义吗？怎么说数量没有方向？

其实，数量也是有方向的，只不过数量是从一维角度来考虑方向的。从本质上看，实数可视作一维向量。在数轴上，如果让一维向量的起點与原点重合，则其终点就会对应数轴上唯一的点和实数，实数的绝对值就是一维向量的大小（即长度或模），实数的正负号就是一维向量的方向，于是，就可以在一维向量与实数之间建立起一一对应的关系。因此可以说，平面向量就是实数的推广，而且在推广中，大小、方向、数乘运算等都是一脉相承的，本质均保持不变。

2.教学设计改进

可以通过问题串引导学生理解向量概念引入的“道理”，具体设计如下：

问题1为了表示大小、多少等，我们引入了数量，并抽象出数的概念。最开始，我们学习了正数。其后，为了表示相反意义的量，我们引入和学习了负数。你能在数轴上解释正负数的意义吗？

正负数的绝对值表示大小，体现了“数”的特征；正负数的符号表示方向，体现了“形”的特征。所以，“数量”即一维向量，也是集数和形为一体的量，只不过它是在两种特定的方向——相反方向上考虑的。结合数轴解释正负数的意义，让学生深刻领悟数量的大小特征和方向意义。

问题2正负数的概念从一维角度体现了数量的方向性。除了在直线上研究数量的方向性，可以在平面上研究数量的方向性吗？你能从生活实例中举出一些具有方向性的数量吗？

通过列举物理学中的位移、速度、力等矢量，学生认识到还有一种具有方向性的量，它无法通过正反两个方向来区分，其方向在平面上具有不确定性。这种在平面上既有大小又有方向的量叫作平面向量，简称向量。由此，顺利实现了从数量学习到向量学习的迁移。

（二）“向量的加法”教学诊断与改进

1.传统教学诊断

翻阅大量教案不难发现，对于“向量的加法”的教学，很多教师均采取了如下方式：基于物理学中的位移模型，抽象出向量加法的三角形法则；基于物理学中力的合成模型，抽象出向量加法的平行四边形法则；根据数学中自由向量的特点，结合实例说明两种法则的等价性。

采用这种方式教学，学生难免会产生疑惑：为何仅根据一个位移模型的物理学实例，就可以直接抽象出一个三角形法则？为何仅根据一个力的合成模型的物理学实例，就可以直接抽象出一个平行四边形法则？向量加法法则的合理性在哪里？其数学意义是什么？再退一步，从根本上讲，向量的加法究竟是什么？它与以往的数量的加法有什么区别与联系？

2.教学设计改进

可以通过问题串引导学生理解向量加法法则（定义）的“道理”，具体设计如下：

问题1对于两个数，依据运算法则，可以进行加减乘除等各种运算。对于两个向量，是否也可以进行类似的运算呢？我们从最简单的加法运算开始研究。

类比是数学学习的重要方式。数量和向量都是关于“量”的概念，而运算是它们的共同特征，因此，这里采取类比方式导入，便是自然而然的事情了。

问题2对于在平面上既有大小又有方向的两个向量而言，什么是它们的“加法”？该怎样把它们“加”在一起呢？不妨从两个特殊的向量——共线向量开始研究。

通过前面的学习，学生知道了向量既有大小又有方向，并且它的大小和方向可以用有向线段来表示。对于这种用几何方式表示的量，什么是其加法？该如何相加？这是学生面临的新挑战。对此，可从特殊情形开始研究。这也是数学惯用的研究思路。

问题3两个共线的向量又可分为方向相同和方向相反两种情况。对于这样两种情况，分别应该如何相加呢？

结合生活实例不难发现：当两个共线向量的方向相同时，就可以不考虑方向，把两个向量的大小直接相加，和向量的方向保持不变；当两个共线向量的方向相反时，和向量的大小是这两个向量大小的差的绝对值，和向量的方向与大小较大的向量的方向保持一致。这时，两个向量的加法完全类似于初中有理数（实数）的加法，或者说它们相加就转化成了有理数（实数）相加，从而学生很容易利用已有知识和经验同化新的知识。

问题4你能用几何方式概括地表示出两个共线向量相加的运算法则吗？

如果令AB=a，BC=b，当A、B、C在同一条直线上时，无论向量a与b的方向相同还是相反，都有AB+BC=AC。这便是特殊情形下的三角形法则，为下一步一般性地概括出向量加法的三角形法则做好了铺垫。

问题5对于两个不共线的向量a与b，当它们首尾相接时，令AB=a，BC=b。这时，它们相加是否仍满足AB+BC=AC呢？让我们从物理学中位移的合成开始研究。

根据物理学中位移的合成，两次位移AB、BC的结果等效于一次位移AC，可以用AB+BC=AC来表示。这能够让学生在得到向量加法的三角形法则的同时，体会向量相加的含义，即把两个向量共同作用的结果称为两个向量的和向量，求两个向量的和向量的过程叫作两个向量的加法。

问题6以上是通过物理学实例概括得到两个向量相加的三角形法则。你能从数学的角度解释两个向量相加的三角形法则的合理性吗？

两个共线的向量相加本质上就是两个数相加。对于两个不共线的向量，由于方向不同，无法直接相加。一个自然的想法是：能否转化成两个共线的向量相加？事实上，如图1，要计算AB+BC，由于向量AB在直线AC上的投影向量是AD，向量BC在直线AC上的投影向量是DC，显然AD+DC=AC，因此通过投影把两个不共线的向量转化成共线向量，便可以相加了。这体现了数学中常用的转化思想。物理学的具体实例，只是提示我们应该向哪条直线上作投影。

问题7物理学中，除了位移的合成之外，还有速度的合成、力的合成等，它们是否也遵循向量相加的三角形法则呢？

不能仅通过一个实例，就直接归纳出运算法则，还需要再举出一个以上的实例来进行归纳概括。以力的合成为例，物理学实验的等效原理表明，力的合成遵循平行四边形法则。由此引发学生的认知冲突与困惑——

问题8向量相加的平行四边形法则与三角形法则是否等价？向量相加的平行四边形法則的合理性又是什么？

由于数学中的向量是自由向量，因此通过向量的平移，可以发现向量相加的平行四边形法则与三角形法则是等价的，只是适用条件和范围不同。如下页图2，要计算AB+AD，由AB在直线AC上的投影向量是AE，AD在直线AC上的投影向量是AF，且AF=EC（即AD平移得到的BC在直线AC上的投影向量），因此向量AB与AD的和向量AC仍然等于它们的投影向量之和。不难发现，对于两个不共线而共起点的向量相加，仍然是通过投影向量转化成两个共线的向量相加，只不过此时是投影到以AB和AD为邻边的平行四边形的对角线上。

（三）“向量的数量积”教学诊断与改进

1.传统教学诊断

对于“向量的数量积”的教学，无论是各个版本的教材，还是常见的教学设计，均采用“力对物体做功”的实例，即当力的方向与位移方向不一致时，通过对力在位移方向上的分解来求功，引出两个向量数量积的定义。

这里，学生同样会产生困惑：为何仅根据一个物理学实例，就可以抽象概括出一个数学概念？可以举出更多的实例吗？如果不能，这样定义两个向量数量积的合理性在哪里？其数学意义是什么？它与两个实数相乘有什么区别与联系？

在实际教学中，几乎所有的教师在通过一个物理学实例直接归纳出向量数量积的定义后，都未能从数学的角度解释定义的合理性，特别是从联系的角度认识向量数量积定义和实数乘法定义之间的关系。显然，这非常不利于学生形成整体性认识。

最新的人教版高中数学教材（根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写）明确引入并强化了投影向量的概念，为我们重新建构对向量数量积的认识提供了极大的方便。

2.教学设计改进

可以通过问题串引导学生理解向量数量积定义（法则）的道理，具体设计如下：

问题1类似于实数的运算，向量之间除了有加减法运算之外，是否也存在乘法运算呢？如果存在的话，又该如何定义呢？

實数是一维向量，通过与实数类比引出向量的乘法运算，合情合理。这是因为，尽管向量的乘法运算较为复杂，又可分为数量积运算和向量积运算，但是本节课要学习的数量积运算与实数的乘法运算存在内在的关联性与一致性。

问题2类似于向量的加法运算，我们同样从两个特殊的向量——共线向量开始研究。如果是两个共线的向量，应该如何相乘才比较合理？这时，向量的乘法运算与实数的乘法运算存在本质上的差异吗？

从特殊到一般是解决问题的常用策略。当两个向量共线时，如果它们的方向相同，那么它们相乘只要把大小相乘，所得结果为正数，本质上就是实数运算中的“同号相乘得正”；如果它们的方向相反，那么它们相乘也只要把大小相乘，所得结果为负数，本质上就是实数运算中的“异号相乘得负”。这样，两个共线向量的数量积运算就转化成了一维向量的乘法运算，其本质就是实数的乘法运算。

问题3如果是两个不共线的向量，它们在平面上的方向既不相同也不相反，因此无法“直接”相乘，那么应该如何定义它们的乘法才比较合理呢？

在小学学习正数的乘法运算时，遇到的数只有大小、没有方向，因此，两个数可以直接相乘。在初中学习有理数的乘法运算时，遇到的数不仅有大小，而且有方向相同或相反的区分，但是，相乘的结果只需要用正负就可以区分了。如果是平面上带有方向的数，该如何相乘呢？这是学生从未遇到过的巨大挑战，其最棘手的地方在于如何定义“方向”的运算规则才比较合理。

问题4让我们先看一个物理学实例。一个物体在力F的作用下产生的位移为s。当力F与位移s的方向一致时，力对物体所做的功为多少？当力F与位移s的方向不一致时，设力F与位移s的夹角为θ，这时力对物体所做的功又为多少呢？

根据物理学知识可以知道：当力F与位移s的方向一致时，力对物体所做的功W=|F||s|，即力的大小与位移的大小直接相乘；当力F与位移s的方向不一致时，力对物体所做的功W=|F||s|cos θ，这时功的大小变小，即力的功效出现了损耗。两种不同的情形正是引导学生从实数乘法运算过渡到向量数量积运算的典例。

问题5当力F与位移s的方向不一致时，真正使物体前进的力是什么？它的大小是多少？它的方向具有什么特征？你能给出|F|cos θ的物理意义吗？

通过对力F与位移s方向不一致的情况的进一步分析，让学生体会到对力在位移方向上分解的目的，认识到位移方向上分力的大小和方向特征，从而为学生下一步更好地理解投影和投影向量的概念，进而理解向量数量积定义的合理性做好铺垫。

问题6力和位移都是向量，功是由力和位移两个向量确定的。如果我们把功看作两个向量“相乘”的结果，受此启发，我们是否可以给出两个向量相乘的定义？

受物理学实例的启发进行类推，由此给出两个向量数量积的定义便显得合乎情理了，因为这样定义在某种程度上符合了事物的客观规律。但是，学生仍然会存在一定的困惑：还可以举出更多的实例吗？如果不能，那么，这样定义的数学意义是什么？一般情形下的合理性体现在哪里？

问题7平面向量在平面上不仅有大小，而且有方向。因此，定义两个向量相乘的运算法则，关键是解决“方向”的问题。你能从数学的角度解释这样定义向量数量积运算的合理性吗？

当两个向量不共线时，它们无法直接相乘。这时，把其中一个向量投影到另一个向量所在直线上，所得投影向量与后一向量就共线了，就可以相乘了，相乘的方法完全类似于两个实数的乘法。具体来讲，如图3，当向量a和b的夹角θ为锐角时，投影成方向相同的两个共线向量，这时a·b=|a′||b|，而|a′|=|a|cos θ，因此a·b=|a||b|cos θ；当向量a和b的夹角θ为钝角时，投影成方向相反的两个共线向量，这时a·b=-|a′||b|，而|a′|=|a|cos（π－θ），因此a·b=|a||b|cos θ。

问题8两个向量的数量积运算与两个实数的乘法运算之间有什么区别与联系？从中我们能得到哪些启示呢？

通过向量的投影和投影向量，把非共线向量转化成共线向量，把二维平面向量的数量积转化成一维共线向量的数量积。而一维共线向量数量积运算的本质就是实数的乘法运算，由此实现了问题的转化，体现了数学中的“降维”思想。