选用合适的方法，让解函数值域题更高效

刘玉祥

求函数的值域问题通常具有较强的综合性，常见的命题形式是求某个函数在某个定义域内的值域．这类问题中的函数式的形式和结构多种多样，因此求其值域的方法也各不相同，常用的方法有配方法、换元法、基本不等式法、数形结合法、判别式法等．本文重点谈一谈下列三种求函数值域问题的方法．

一、换元法

所谓换元，是指将函数式中的某一部分用一个新元替换，从而改变函数式的结构、形式，以便从新的角度寻找解题的思路．面对结构比较复杂的函数式，如含有根式、绝对值、对数式、指数式等式子时，可将函数式中的一部分，如根号下的式子、绝对值内部的式子、指数式、对数式的真数等用一个新元替换，从而简化函数式，再根据新函数式的性质、图象，求得值域．

该函数中含有根式，于是将这个根式当作一个整体用新元t替换，通过换元，将复杂的函数式转化为关于t的二次函数式，再利用二次函数的单调性，就能求出函数的值域．

首先引入参数t，将其替换根号下的式子，通过换元，将问题转化为关于t的二次函数最值问题．运用换元法求函数的最值，关键是找到合适的式子进行换元，这就需要根据解题需求进行分析．

我们将函数式看作P（x，0）到点Ai（-3，4）、Bi（5，2）的距离之和，然后画出几何图形，将数形结合起来，通过作关于x轴的对称点，找到临界的情形，从而求得函数的最小值．将函数和几何图形巧妙结合在一起，利用图形的直观性可以准确快速地求出函数的值域，

三、利用一元二次方程的判別式

当遇到一元二次函数最值问题时，可将y看作参数，构造关于x的一元二次方程；再根据函数值存在，即方程有解，来建立关于判别式的关系式△≥0，得到关于y的不等式，解该不等式即可求得y的取值范围，即为原函数的值域．

首先将函数式变形为一元二次方程，便可根据方程有解，利用判别式建立关系式△≥0，即可求得y的取值范围，再根据函数的定义域进一步缩小函数的值域，

对于较为复杂的函数值域问题，同学们要学会将函数式进行合理的变形、转化，将问题转化为新元的函数问题、图形问题、方程问题来求解，这样有利于快速找到解题的突破口，不仅能拓宽解题的思路，还能提升解题的效率．

（作者单位：江苏省连云港市灌云县第一中学）