赏析一次函数图象 领悟数形结合思想

江俊俊

“数形结合思想”就是把直观的图形和抽象的数结合起来，建立数和形之间的关系，以形辅数，以数定形，利用数与形之间的相互关系来研究问题的思维方法. 该思想为探究一次函数相关问题起到了保驾护航的作用.

一、用“形”探“数”

例1 （2022·贵州·邵阳）在平面直角坐标系中，已知点A [32， m]和点B [72， n]是直线[y=kx+b（k<0）]上的两点，则[m]，[n]的大小关系是（）.

A. [mn] C. [m≥n] D. [m≤n]

解析：根据点在直线上的位置来判断纵坐标之间的大小关系，渗透了用“形”探“数”的思维方法. 由[k<0]可知直线从左向右看是下降的，根据点在直线上的位置，由[32>72]，可知点A在点B的右侧，因此点A的纵坐标小于点B的纵坐标，即[m

例2 （2022·四川·德阳）如图1，已知点A（-2，3），B（2，1），直线[y=kx+k]经过点P（-1，0）. 试探究：直线y = kx + k与线段[AB]有交点时[k]的变化情况，猜想[k]的取值范围是.

解析：观察图象，若经过点P的直线与线段[AB]有交点.

当直线[y=kx+k]经过点P（-1，0），A（-2，3）时，

[-2k+k=3]，[∴k=-3]；

当直线[y=kx+k]经过点P（-1，0），B（2，1）时，[2k+k=1]，[∴k=13].

由此猜想：直线y = kx + k与线段[AB]有交点时，-3 ≤ k ≤ [13].  故填-3 ≤ k ≤ [13].

二、以“数”定“形”

例 3（2022·安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数[y=ax+a2]与[y=a2x+a]的图象可能是（）.

解析：观察[y=ax+a2]与[y=a2x+a]，发现当[x=1]时，两个函数的值都是[a2+a]，说明两直线的交点的坐标为（1，[a2+a]），可排除A项和C项；若[a>0]，则一次函数[y=ax+a2]与[y=a2x+a]都是增函数，四个选项均不成立，故[a>0]这种情形不存在. 当[a<0]时，则一次函数[y=ax+a2]是减函数，交[y]轴于正半軸，[y=a2x+a]是增函数，交[y]轴于负半轴，且两直线的交点的横坐标为1，排除B项. 故选D.

例4 （2022·浙江·台州）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400 m，600 m. 他从家出发匀速步行8 min到公园后，停留4 min，然后匀速步行6 min到学校. 设吴老师离公园的距离为[y]（单位：[m）]，所用时间为[x]（单位：[min）]，则下列表示[y]与[x]之间函数关系的图象中，正确的是（）.

解析：吴老师从家出发匀速步行8 min到公园，说明步行速度为400 ÷ 8 = 50 （m/min），则吴老师与公园的距离与时间的关系为y = 400 - 50x（0 ≤ x ≤ 8），吴老师从家出发匀速步行8 min到公园，则[y]由400变为0；到公园后，停留4 min，说明吴老师与公园之间的距离为0，没有变化，其图象是x轴上的一条线段（8 ≤ x ≤ 12）. 从公园步行6 min到学校，其速度为600 ÷ 6 = 100 （m/min），吴老师离开公园的距离随着时间的增加而增加，当步行18 min时，[y]的值为600. 对照给出的函数图象，如选项C所示. 故选C.

分层作业

难度系数：★★★★解题时间：10分钟

（2022·新疆）A，B两地相距30 km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1 h. 图2是甲、乙行驶路程[y甲]（km），[y乙]（km）随行驶时间[x（h）]变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题：（1）填空：甲的速度为

km/h；（2）分别求出[y甲]，[y乙]与[x]之间的函数解析式；（3）求出点[C]的坐标，并写出点[C]的实际意义. （答案见第27页）

（作者单位：江苏省南通市崇川初级中学）