求解立体几何中截面问题的思路

吉缪明

立体几何中的截面问题较为复杂，对同学们的空间想象和直观想象能力有较高的要求．此类问题的常见命题形式为：（1）判断截面的形状；（2）求截面的周长；（3）求截面的面积．下面重点探讨一下如何求解这三类截面问题．

一、判断截面的形状

判断截面的形状问题多以选择、填空题的形式出现．判断截面的形状，往往需从几何体的形状、特点出发，找到一些线面、线线、面面的垂直和平行关系，以根据面面平行、线面垂直、线线平行等的判定定理和性质定理，确定截面的边界线之间的关系；再根据其图形的特征，即可判断出截面的形状．有时，需通过添加适当的辅助线，来寻找垂直、平行关系，

此题的难度较大，解答时需首先根据题意画出正方体，以明确各点、线、面的位置关系，也便于根据正方体的各点、棱、面之间的位置关系判断出截面的边界线之间的关系．在判断截面的形状时，我们需通过添加辅助线，来构造出平面A1BD、平面EGPKHF，再根据线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、线面平行的判定定理進行证明，

二、求截面的周长

求立体几何中截面的周长，需先根据所给条件和几何体的特点，判断出截面的形状；然后根据几何体中的点、线、面的位置关系求得截面的边长、中线、高线长；最后利用平面几何中的勾股定理、正余弦定理、点到直线的距离公式求得截面的各条边长，从而求出截面的周长．

解答该题，首先要通过添加辅助线，将截面补充完整，已知AF、AE分别是截面与几何体表面的交线，于是分别作AF、AE的平行线，确定H、G点的位置，那么平面AEGHF是完整的截面；然后根据正方体的特点和棱长，运用勾股定理求得截面的各条边长；最后将所有的边长相加，即可得到截面的周长．

首先添加辅助线，得到完整的截面AEPF；然后构造直角三角形，运用勾股定理和余弦定理求得截面AEPF的每一条边长；最后把所有的边长相加，所得的结果即为截面的周长．求截面的周长，需将立体几何问题转化为平面几何问题，在截面上运用平面几何图形的性质和相关定理进行运算．

三、求截面的面积

立体几何中的截面面积问题主要以选择、填空题的形式出现．解答这类问题，需从截面的形状着手，在判断出截面的形状后，往往要通过割补，将截面转化为正方形、平行四边形、菱形、三角形、梯形等规则的图形，以运用正方形、平行四边形、菱形、三角形、梯形等的面积公式来求解，

例4．正四面体ABCD的棱长为2，其外接球的球心为D，过A，B，D的平面截四面体ABCD，则所截得图形的面积为____

由于正四面体与正方体均为中心对称图形，所以正四面体的外接球就是正方体的外接球，添加合适的辅助线，便可确定截面即为△ABM，再根据勾股定理和三角形的面积公式进行求解即可．

由此可见，求解立体几何中的截面问题，关键有两点：（1）要根据几何体中的线面位置关系判断截面的形状；（2）将立体几何问题转化为平面几何问题，运用平面几何知识求截面的边长、周长、面积．

（作者单位：江苏省无锡市第三高级中学）