孔子与数学

吴文俊

孔子（公元前551-公元前479），鲁国陬邑（今山东曲阜东南）人，儒家学派的创始人，他是在我国历史上产生过重大影响的思想家、政治家、教育家孔子出生于没落的贵族家庭，不得不做一些贵族们不屑为之的“鄙事”，如当“乘田”（管畜牧）、“委吏”（司会计）以及替人办丧事等．这让他有更多的机会接触各类的人和事物，深入地了解春秋末期人们的生活实际，

《孟子·万章下》中记载有这样一句话：“孔子常为委吏矣，曰‘会计当而已矣，常为乘田矣，曰‘牛羊苗壮而已矣．”《史记·孔子世家》中说：“孔子贫且贱．及长，尝为季氏吏，料量平．尝为司职吏而畜蕃息．”由这些材料可知，孔子善于计算，当会计时所做的帐目清晰；管牲畜时懂得饲养方法以及使配料用量适当的方法；在管仓库时则能正确使用量器，准确秤量粮食．这说明孔子具备较强的计算能力．

孔子说：“吾不仕，故艺．”（《论语·子罕》下面引文只注篇名）即说他若不做官，就得学会自立于社会的本领．又说：“志于道，据于德．依于仁，游于艺．”（《述而》）后一句是说，要学会多种真本领，

他所说的“艺”具体指什么呢？司马迁经过阅读大量的文献和实地考察，认为孔子教学的核心内容是“六艺”．“六艺”就是礼、乐（国家政治活动）、射、御，（骑射等军训）、书、数（书写与计算）．这个“数”就是指数学，而不是指古代的数术．确切地说，“数”是指“周官九数”，它包括方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要，这九种名目与《九章算术》中的内容大同小异孔子把数学作为教学内容之一，而且按“有教无类”的原则开展教学，这在中国历史上属于首创，孔子的弟子子贡学会了很多数学知识，且擅长计算，在齐、鲁两国经商，是一位很富有的商人；另一个弟子冉多才多艺，善于处理政务．这些都从侧面反映了孔子的教学中均涉及了“六艺”．

孔子50岁时由鲁国中都宰升为司寇，他开始关注经济管理，主张“足食、足兵”（《颜渊》），“博施于民而能济众”（《雍也》）．《荀子·儒效》中记载了这样一段话：“中尼将为司寇……鲁之粥牛马者不豫贾；必蚤正以待之也．”这是说孔子管理市场有方，能使物价平稳．由于对价格进行控制，卖牛马的不敢漫天讨价．对于政务方面，孔子认为“政在节财”（《韩非子·难三》），主张“谨权量，审法度，修废官，四方之政行焉”，第一条就是要检验度量衡，测定长度、容积和重量单位是否准确，

《论语》是儒家记载孔子及其弟子言行的一部言论集，是研究孔子思想的一部重要典籍．《论语》共有514章，15000多字，涉及的数字有220个，如23、8、64、18、15、10、6、2、5、19、12、5、2．此外还有“两”“半”“数”“多”等．

基数，即普通整数．如“百姓有过，在予一人”（《尧日》），“周监于二代”（《八佾》），“三年无改于父之道”（《学而》），“有君子之道四焉”（《公冶长》），“禄之去公室五世矣”（《季氏》），“六言六蔽乎”（《阳货》），“作者七人矣”（《宪问》），“周有八士”（《微子》），“君子有九思”（《季氏》），“十世可知也”（《为政》）．还有整数连用的，如“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲、不逾矩”（《为政》）．

对于分数，当时还没有“几分之几”的表达形式，《论语》中记载了一些关于分数的内容，如“三分天下有其二”（《泰伯》），是说殷朝末期的周文王占据了2/3的国土．季康子与孔子谈到收租时说：“二，吾犹不足”（《颜渊》），这里的“二”是指1或0.2.

约数，即概略数，如“六七十”“百物”“千驷”“千乘之国”“千室之邑”“诗三百”等．古人习惯用三、九，所以其出现的频率也高．还有一类虚指的数，如“吾日三省吾身”（《学而》），是说曾子每日几次反躬自省；“季文子三思而后行”（《公冶长》），是说他办事之前反复思考．类似的还有“闻一知十……闻一知二”（《公冶长》），“善人为邦百年”（《宪问》）等，这些数既有数词的意义，又被文学上添加了修辞意义，补充了数的内涵，这是先秦古籍在语言上的一大特点，

《论语》中将数字与其他词类连用后，有的变成了专有名词，有的变成了副词．如“四海之内皆兄弟也”（《雍渊》），“使于四方，不辱君命”（《子路》），“四时行焉，百物生焉”（《阳货》），“四体不勤，五谷不分”（《微子》）．又如“百官”“百工”“万方”“百姓”，用以表示数量很多，这在汉语中产生了深远的影响．

从商周出土的青铜、器皿、车辆及古建中可以看出，当时的测量、计算结果已达一定的精度，在《泰伯》中，曾子说：“可以话六尺之孤，可以寄百里之命．”其意思是可把幼小的孤儿，也就是国家的命运交付给一个君子．按周尺长为19.91厘米算，六尺约为119厘米，显然这不是成人的身高，《史记·孔子世家》说：“孔子长九尺有六寸，人皆谓之长人，”这就是说，孔子的身高为191厘米，这在当时并不多见．《国语·鲁语》中记录了古代的一种“桔矢”，孔子说：“其长尺有咫．”按周尺8寸为咫算，这种箭长为35.8厘米．《孔子家语》中记载了孔子的一句话：“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻”，这是说中指前两节的长度为1寸，拇指与中指的一扠为1尺，两臂伸开的长度8尺为一寻．这种计量长度的簡易方法在民间广为流传．另外，孔子整理的《诗经》中有“千亩其耘”的句子，孔子也曾多次与季康子议论田赋的事，这些都与田地的面积、产量、人口、赋税有关．

对于容量和重量，孔子说：“噫！斗筲之人，何足算也！”（《子路》）当时一斗即为现在的1937毫升，筲是容量为一斗二升的小竹筐，《论语·雍也》中记载了这样一段话：“子华使于齐，冉子为其母请粟，子日‘与之釜．请益，日‘与之庾．冉子与之粟五秉．”这里的一釜等于当时的6斗4升，庾容16斗，秉合16斛，斛为10斗．《国语·鲁语》记录了季康子用田赋，使冉访问孔子，子日：“其岁收，田一井出稷禾，秉刍，缶米，不是过也，”其中“缶”就是“庾”，“刍”是草．《庄子·寓言》说：“曾子再仕而心再化，日‘吾及亲仕，三釜而心乐，后仕，三千钟而不洎，吾悲，”这里的“一钟”为十釜，即六斛四斗，

从上述内容可以看出，（1）孔子对数学的认识来源于实际的应用，以服务于农业社会的各种需要．（2）孔子非常注重德行方面的教育，虽将“数”列为课程之一，但排在六艺之末，并未把它作为精益求精的学问，由于儒家思想在中国历史上占据统治地位，作为法家代表人物的管仲尽管比孔子出生得早，但他的重数思想却没有得到继承和发展，有一种观点认为儒家排斥自然科学，只是在应用时才提及数学，这是一个较大的课题，需要充分论证．假如管仲的重数思想产生了重大影响，对以后数学的发展，也许会有更积极的作用．当然假设对历史是没有意义的．但无论如何，那个时代先哲们的思想对以后2500年的数学在这个农业社会里的地位、作用和发展方向有很大的影响．

——摘自《中国数学史大系·第一卷》