聚焦学生的数学知识理解

钱志新

摘要：数学知识的学习过程本质上是数学知识理解的过程。如何让学生通过对知识的解释、阐明、应用，乃至对知识的洞察、神入与自知实现对知识的理解，是教师教学的出发点和目标所在。苏教版小学数学一年级上册《认识11～20各数》一课教学，以设计“两问”掌握学生已有的数学知识理解，以设计“四标”定位学生要达到的数学知识理解，以设计“六环”导航学生的数学知识理解历程。

关键词：小学数学;知识理解；再创造；《认识11～20各数》

数学知识的学习过程本质上是数学知识理解的过程。如何让学生通过对知识的解释、阐明、应用，乃至对知识的洞察、神入与自知，实现对知识的理解，是教师教学的出发点和目标所在。低年级学生数学知识、学习经验积累少，数学思想方法体悟不深，基于这样的现实基础，如何教学才能更好地促进他们理解数学知识？苏教版小学数学一年级上册《认识11～20各数》一课，笔者做了积极的尝试。

一、设计“两问”，掌握学生已有的数学知识理解

教学前，教师要掌握学生已有的数学知识理解，应做到“两问”：一问“这节课的学习可以为学生带来些什么”，即教材分析；二问“学生能够怎样学习这节课”，即学情分析。

《认识11～20各数》是小学生认数学习中一节重要的“种子课”，教学意义重大。这节课开启了十进制计数法的学习，对于学生整个认数体系的建构有着极为重要的奠基作用。教师在明确“两问”时，可从以下几个方面展开思考：认识11到20各数的核心概念是什么？学生已有的认数经验有什么？学生认数的方式应该是怎样的？学生在学习这部分知识的过程中可以获得哪些可迁移的能力？要回答这几个问题，可以去了解人类创造数、逐步形成现在的计数方法的过程。

通过查阅相关资料，我们梳理概括出这样一些认识：古人在狩猎等劳作活动中产生计数的需求，最初他们用结绳、刻痕、摆石子等方式，一一对应来记录猎物的数量；随着数量的增加，一一对应的计数方式显得比较麻烦，古人逐渐创造出了按群计数的方法，也就产生了不同的计数单位；在用结绳、刻痕等方式计数的过程中，古人发明了各种计数的符号，包括现在广泛使用的阿拉伯数字——阿拉伯数字用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值。

可见，人类经历了漫长的时间，从具体的现象中产生了量的感知，从量的表达中抽象出了数，创造出了计数的方法。人类创造计数方法的历史中蕴含着认数的几个重要思想方法：数是量的抽象表达；数通过后继加1获得；满十进一是十进制计数法的基本原则；位值概念和位值制。

学生认数的认知方式与发展过程与人类创造数、创造计数方法的过程非常相似。学生在之前的学习中积累了10以内各数的认识经验，感知了数字的符号意义和数量意义，初步建立了10以内各数与相应量的一一对应关系。同时，他们在生活中也积累了较为丰富的比10更多的量的感知经验，有了用更大的数表达量的学习需求。

基于上述分析，这节课可以让学生经历从量到数抽象表达的过程，通过数的“再创造”认识11到20各数，激活思维，深度理解知识，建构认数体系。这同时也可以帮助学生感知数学文化，体会古人智慧，享受数学学习的乐趣。

二、设计“四标”，定位学生要达到的数学知识理解

目标是教学设计的核心。《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”的“三会”目标。宏观的核心素养需要经历层层分解，转化为学段、年级、单元、课时目标，转化为可落地实施、可对照检测的表现性行为标准和学习效果标准。

依据数学核心素养目标指向，聚焦学生数学知识理解，本课目标设定为：

1.通过数小棒、捆小棒、散开小棒等活动，认识计数单位“一”和“十”，理解“10个一是1個十”“2个十是20”，体会十进制计数法。

2.通过后继加1的活动认识11～20各数，知道11～20各数的大小、顺序，初步感知11～20各数的组成，能正确认、读11～20各数，体会十进制计数法。

3.经历估数、数数和用数描述简单生活现象的过程，体会数在日常生活中的广泛应用，培养初步的估计意识、应用意识，发展数感。

4.在认数过程中获得成功的体验，增强数学学习的自信心，培养数学学习的积极情感。

目标1指向本课知识理解“解释与阐明”的层次。学生应当把对“一”和“十”的认识从量、符号认知的层级再上升一个抽象层级，直观体会到它们作为“计数单位”的意义。实现这样的直观体会，学生需要借助数数活动，借助“1捆”的直观表象，体会其“散开”与“捆起来”状态分别代表“10个一”和“1个十”这两种不同的“计数单位”意义。在此基础上，迁移逐一数数的经验，体验“十个十个地数，2个十是20”，开启十进制的感知之门。

目标2指向本课知识理解“解释、阐明与应用”的层次。通过摆小棒数数的活动，激活学生的动作思维，在应用中进一步理解“一”和“十”这两个计数单位，感知其组合成数的特征，理解“1个十和几个一组成十几的数”，借由数与量的重合体验，感知数所含计数单位的多少与数大小之间的关系。

目标3指向本课知识理解“洞察、神入与自知”的层次。学生经历用数描述简单生活现象、估数等丰富的活动，实现知识的融会贯通和深度理解。

目标4指向学习过程中的兴趣、习惯等品质，培养学生良好的情感、态度和正确的价值观。

三、设计“六环”，导航学生的数学知识理解

无论是教学设计发展演变的进程需要，还是学生数学知识理解的现实需要，都呼唤教学从“教师教的思维”转向“学生学的思维”，教师在“学习设计”的前提下展开教学设计。

围绕教学目标，本课设计了如下六个环节：

环节一：故事中感知计数需要

教师根据搜集的计数发展史资料，组合成适合学生阅读的视频材料，具体内容如下：

【故事場景1】远古人打猎。旁白：远古时代的人类，为了维持生活，每天会外出狩猎和采集果实，他们有时满载而归，有时一无所获。

【故事场景2】远古人满载而归。远古人：今天我抓到了猎物！

【故事场景3】远古人空手而归。远古人：今天没有抓到猎物！

【故事场景4】远古人计数。旁白：生活中这种数与量上的变化，使远古人逐渐产生了数的意识。后来，他们用小石子检查放牧回来的羊的只数，用结绳的方法统计猎物的个数，用在木头上刻道的方法记录捕鱼的数量。

【故事场景5】早上，远古人外出放羊，每放出一只羊，就放进一颗石子一一对应计数。远古人：我要出去放羊了。

【故事场景6】傍晚，远古人放羊回家，每回圈一只羊，就拿起一颗石子一一对应计数。远古人：我的羊都回来了！

以动态视频加旁白说明的方式，呈现远古人狩猎中的计数故事，学生不仅可以知道计数是为满足人类生产生活的需要而产生的，还可以初步体会一些计数的基本原理，激发学习认数的主动意愿。

环节二：模仿中体会“一一对应”

教师首先让学生结合故事情境思考：“远古人用小石子表示羊的数量，你会用小棒模仿古人的方法表示羊的数量吗？”这是引导学生模仿远古人表示羊的数量的方法，经历用小棒和羊一一对应的“再创造”过程，体会计数的基本思想方法。接着追问：“为什么摆9根，你的1根小棒表示几？”通过对话，学生体会到1根小棒表示“一”， 1个“一”，2个“一”，3个“一”……像这样往下数，9个“一”就是大家原来已经认识的9，体会数是后继加1数出来的结果，初步感知计数单位“一”。

数是人类创造的用来表示量的文字符号，是抽象的产物，帮助学生实现从量到数的抽象正是小学低年级认数教学的首要任务。学生模仿着摆小棒表示羊的数量，既经历了从量到数的抽象过程，同时也抽象出了计数单位“一”，为后续进一步获得新的计数单位“十”，并沟通计数单位“一”和“十”之间的联系做好了准备。

环节三：探究中理解“满十进一”

“满十进一”是本课的核心概念，建立“10个一是1个十”的认识是本课非常重要的一个环节，需要学生经历充分、深入的探究理解过程。

第一步，教师以“远古人又养了一只羊，所以又要放进一颗小石子来计数”的情境，激发学生“也要再摆一根小棒”的“再创造”，同时让学生体会到：从几个“一”的角度看， 9个“一”再添1个“一”是10个“一”。

第二步，激活学生已有“数满10根小棒可以捆成1捆” 的学习经验。教师介绍10根小棒捆成1捆，数学上就表示1个“十”，并让学生经历把10根小棒捆起来变成1个“十”的系列动作思维过程——捆出1个“十”，举高1个“十”，放下1个“十”，充分感知1个“十”。

第三步，让学生观察不同状态下的10根小棒——捆起来的10根、散着的10根，体会从量的角度看都是10根小棒，而从计数单位的角度看，展开来表示10个“一”，捆起来表示1个“十”。这里，用量沟通这两个计数单位之间的联系——10个一是1个十，并告诉学生：“一”和“十”在数学上叫计数单位，计数单位是人类经历了漫长的过程才发明的。

第四步，视频呈现远古人用1颗大石子代替10颗小石子的过程，古今沟通，让学生体会他们自己创造“10个一是1个十”的过程和古人其实是一样的。

第五步，让学生继续“做数学”，把刚才捆小棒的橡皮筋取下，1个“十”就变回了10个“一”，反向体会1个“十”也就是10个“一”。

五个步骤的探究环环相扣，从古到今、从今到古，不断打通古今联系，构成了从量到数到计数单位的“再创造”过程。学生对“十”的认识，实现了思维的进阶和理解的深化。

环节四：摆数中体验计数原理

数是数出来的，多数一年级学生早在幼儿园的时候就会数11到20各数了，但如何体现数学中数数与生活中“唱数”的不同，如何让学生在数数中体会11到20各数中蕴含的计数原理，还需要让学生“再创造”远古人“摆数”的过程。具体教学过程如下：

1.操作对比认识11

教师首先让学生边操作边思考“10根添1根是几根”，然后观察不同的摆法，发现无论是1根1根依次摆，或者是10根和1根稍微分开一点摆，还是摆1捆和1根，10根小棒添1根都是11根，体会10后继加1可以得到11这个数。接着让学生比较几种不同的摆法中哪一种看起来更清楚，直观感受摆1捆和1根的方法既方便摆又方便看。在这一基础上，介绍“1捆表示1个十，1根表示1个一，1个十和1个一合起来就能得到11”，自然而然地帮助学生从计数单位的角度认识11的组成。然后请学生介绍11怎么写，围绕“两个‘1的意思一样吗”展开讨论，帮助学生再次体会“11”左边的“1”表示1个十，右边的“1”表示1个一，1个十和1个一合起来就是11，使学生对位值制的理解开始萌芽。

2.类推迁移认识十几和20

教师首先请学生思考“11继续依次添1还能得到哪些数”，让学生摆一摆，说一说。通过不同的形式展开交流，如“11根添1根为什么是12根”“17根是怎么摆的？比17根少1根是几根，多1根是几根”等，让学生结合摆的过程表达自己对十几的数的理解和认识。然后引导学生系统观察梳理所有十几的数，发现它们的共同点——1个十和几个一合起来就是十几，完善对十几的数的认识。最后让学生自主迁移“满十进一”原理，认识“19添1是20，20是2个十”。

在人类计数的过程中，计数单位“十”的发明是一个创举。有了它，表达十几和几十的数就是水到渠成的事情。学生学习也是如此。把认识十几和20的学习过程设计成知识的组合运用与类推迁移，再现人类创造计数方法的过程，学生不仅理解得清晰透彻，学习的过程还始终兴趣盎然，同时思维也得到了较好的发展。

环节五：思辨中感悟位值原理

无论是用大小不同的石子，还是用1捆和1根小棒来表示不同的计数单位，对古人和低年级学生而言，都已经是伟大的创造了。更伟大的是“位值制”的发明，把相同的符号摆在不同的位置去表达不同的值。让学生经历位值原理的“再创造”过程也很有挑战性。

教师创设问题情境：“我们认识了很多表示数的方法，比如11，可以用一大一小两颗石子来表示，也可以用1捆和1根小棒来表示。如果给你两个一样大小的珠子，能不能表示11呢？ ”在学生欲说还休、迟疑不定间，教师给学生提供一个可以串珠子的架子（计数器原型），让学生在尝试摆放珠子的过程中领悟：同样的珠子放在不同的位置就可以表示不同的意思，让其中一颗珠子表示1个十，一颗珠子表示1个一，两颗珠子就可以表示11了。由此，学生对位值制的理解从浅层感知性理解走向深度神入性理解。

环节六：游戏中洞察知识本质

课的最后，教师设计了系列游戏和实践活动：通过和“数宝宝”捉迷藏的游戏，让学生说出和12相邻的数，找到数轴上15的位置，比较16和18哪个更接近20，估计蘑菇和花伞的数量；通过沉浸式场景体验活动，让学生用自己的方法一个一个、两个两个、五个五个地数人数。由此，学生在丰富的活动中综合运用知识，达成对知识的深刻洞察和自知。