素养导向下学生思维能力、探究能力、做事能力的培养

庄宇

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）明确指出，义务教育数学课程以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，致力于实现义务教育阶段的培养目标，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养。为此，义务教育阶段的数学教育要关注学生数学知识技能的理解和掌握、数学思维的形成和活动经验的积累、理想信念和价值观的引领，逐步形成核心素养。在目标、内容、方法和评价等方面体现数学课程的育人功能。

基于新课标的新理念与新要求，数学教学重心将从重结果转变为重过程，学生的思维能力培养、探究能力培养和做事能力培养将成为最重要的教学任务，教学将从真实生活出发，在问题解决过程中培养学生的实践能力和创新精神。下面笔者以第四学段“图形与几何”领域为例，对课程内容的主要变化与实施建议进行思考。

一、“图形与几何”领域的素养表现

课程目标的确定，立足学生核心素养发展，集中体现数学课程育人价值。课程目标的总目标就是在“三会”的统领下，让学生能够获得“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；同时，在“三会”的统领下，提升“四能”，即发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。此外，新课标还要求使学生对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神。（如表1）

由此可以看出，核心素养也不是空中楼阁，它是我们所熟悉的“四基”“四能”的继承和发展，如果没有了“四基”“四能”，核心素养的培养就不能在现实当中得到落实，也不能在学生身上正确达成。

“三会”所体现的核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段具有不同表现，小学阶段侧重对经验的感悟，也就是强调意识；初中阶段侧重对概念的理解，也就是强调观念。图形与几何领域聚焦的核心素养主要表现在初中阶段更侧重于抽象能力、空间观念、几何直观、推理能力等核心素养的培养，在小学阶段更侧重于符号意识、数感、量感、空间意识、几何直观、推理意识，它们之间具有一定的一致性和阶段性。当然，还有应用意识和创新意识、运算能力等，只是初中阶段“图形与几何”领域重点聚焦在抽象能力、空间观念、几何直观、推理能力这四个方面。下面是新课标对这四个行为表现给出的定义。

（一）抽象能力

抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力。抽象能力的培养要求学生能够从实际情境或跨学科的问题中抽象出核心变量、变量的规律及变量之间的关系，并能够用数学符号予以表达；能够从具体的问题解决中概括出一般结论，形成数学的方法与策略。教师要引导学生感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣。

例如，北师大版初中数学教材八年级下册第六章“平行四边形”的第四节“多边形的内角和外角和”的情境引入和“想一想”，教学中教师先要引导学生把实际问题抽象出数学问题，再从特殊的五边形出发，寻找求解内角和的方法。教师要通过“想一想”教学环节的设计，从“求解五边形、六边形的内角和是多少？”过渡到“探求n边形（n≥3且为自然数）的内角和的方法”，得到“n边形内角和等于（n-2）×180°”。这个过程就是让学生能够从实际情境问题中抽象出核心变量、变量的规律及变量之间的关系，并能够用数学符号予以表达；能够从具体的问题解决中概括从特殊到一般的结论，形成数学的方法与策略。让学生经历从感性思维到理性思维的过程，有助于发展“高度抽象思维”素养。

（二）推理能力

推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力。理解逻辑推理在形成数学概念、法则、定理和解决问题中的重要性，初步掌握推理的基本形式和规则；对于一些简单问题，能通过特殊结果推断一般结论；理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程；感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯。推理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神。

例如，北师大版教材八年级上册第七章“平行线的证明”的第三节和第五节的教学内容，其中平行线的判定的学习过程让学生经历基于“同位角相等，两直线平行”的基本事实出发，推出其他判定方法的过程。而三角形内角和定理的学习则经历了从小学的探索、发现到初中的有逻辑的证明这个过程，让学生理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程；感悟数学的严谨性，发展学生推理能力。在小学学段，推理能力的培养主要是合情推理为主，即通过类比、归纳方法获取数学结论；在初中学段，则是通过类比、归纳获得一个数学猜想，然后再通过演绎推理论证猜想的正确性。

（三）空间观念

空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识，要求学生能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系；感知并描述图形的运动和变化规律。空间观念有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。

例如，北師大版教材七年级上册第一章“丰富的图形世界”第一节“生活中的立体图形”中“想一想”的内容是：下面的物体可以近似地看成由一些常见几何体组合而成，你能找出其中常见的几何体吗？你还能举出其他组合几何体的例子吗？这个活动环节的教学内容体现的就是“能够根据物体特征抽象出几何图形”；有助于对学生空间观念的培养，实际上这其中也蕴含着抽象能力的培养。

再如，北师大版教材七年级上册第一章“丰富的图形世界”的第四节“从三个方向看物体的形状”中的“议一议”：一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面和从左面看到的这个几何体的形状图（如图1所示），请搭出满足条件的几何体，你搭的几何体由几个小立方块构成？与同伴进行交流。

这个活动设计体现的就是“根据几何图形想象出所描述的实际物体”，这有助于对学生空间观念的培养。

（四）几何直观

几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。能够感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语言描述画出相应的图形，分析图形的性质；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。

如图2，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推。

（1）阴影部分的面积是多少？

（2）受此启发，你能求出[12] + [14] + [18] + … + [126]的值吗？

此题为北师大版教材七年级上册第二章“有理数及其运算”第九节“有理数的乘方”课后习题的设置，培养的就是学生运用图形描述和分析问题的意识与习惯；有助于学生把握问题的本质，明晰思维的路径，感悟数形结合思想，增强几何直观能力。

二、“图形与几何”领域的主要变化

（一）体例上的变化

新课标在尺规作图的安排上，改变了相关内容的呈现位置，突出尺规作图的工具性。新課标中尺规作图的学习内容不再单独集中在同一个位置呈现，而是把尺规作图回归到具体的章节中，更突出尺规作图的工具性作用，进一步规范与加强尺规作图的教学，强化了几何直观。在课程内容的结构上，新课标增加了学业要求和教学提示，坚持“教—学—评”一致性。不仅是图形与几何领域，其他领域也都是相应地增加了学业要求与教学提示部分。新课标将各主题的每个内容全部按照“内容要求”“学业要求”“教学提示”三方面给出课程内容的相应要求。学业要求是要求我们要知道学到什么程度，教学提示是要求教师应该怎样去教学。在知识领域的联系上，链接了项目式学习活动，实现不同领域学科内容的整体性。在综合与实践领域中和图形与几何领域对应的内容是“绘制公园平面地图” 项目式学习活动。通过这样的整体性教学活动安排，激发学生学习的兴趣，为数学学习提供载体，使学生在感悟数学意义的同时，发展学科素养。

（二）内容上的变化

“图形与几何”领域共有三个主题，即图形的性质、图形的变化、图形与坐标。与《义务教育数学课程标准（2011年版）》相比，新课标在该领域的“内容要求”部分变化不是很大，主要变化如下页表2所示。

由上表可以看出，新课标在该领域加强了尺规作图，强化了几何直观，更加重视学生空间观念和空间想象力的培养，引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想，感悟几何体系的基本框架。

三、“图形与几何”领域主体内容实施策略

（一）加强尺规作图，培养实践能力，增强几何直观

初中阶段的尺规作图教学不能仅停留在“教师示范作法，学生模仿作图”的实施水平，这样缺乏单元整体的系统设计，缺乏数学思维的深度参与，实际上是对尺规作图教学水平要求的降低，更是对尺规作图在帮助学生有效建立几何直观等提升学生数学核心素养的育人价值上的弱化。尺规作图的教学一定要明确方向，转变观念，就是不仅知道怎么做，还要知道为什么这样做。在尺规作图和画图的教学中，整体设计尺规作图教学活动，让学生在“做中学”“做中思”“做中创”，在活动中不断积累活动经验，将操作和推理有机的融合，真正实现从直观到抽象，从意识到能力的过渡，充分发挥尺规作图在建立几何直观等数学核心素养方面的育人价值。下面通过新课标中给出的样例进一步阐述。

【样例73-尺规作图：垂直平分线 】

1.作一条线段的垂直平分线。如图3（a）所示，在透明纸上画出线段AB，把透明纸对折使点A与B重合，可以直观判断折痕是线段AB的垂直平分线；分析折痕特征，可以知道，折痕上任意一点到点A和B的距离相等。依据这个特征作图，分别以点A和B为圆心，以超过线段AB长度一半的长度为半径，在线段AB的两侧分别画弧，得到交点C和D，作过点C和D的直线与线段AB交于点M。可以验证，画出的直线与之前的折痕重合。因此，点M是线段AB的中点，∠AMC=∠BMC=90°。所以，过点C和D的直线就是所要求的垂直平分线。

2.过一点作已知直线的垂线。这是上一个作图问题的直接推论。设给定的点P和给定的直线l如图3（b）所示，以P为圆心作圆弧交直线l于A和B两点，然后作线段AB的垂直平分线，这也是给定直线的垂线。

通过此样例可知，尺规作图的学习既是知识的建构与技能的训练，更是思维经验和做事经验的积累。重视新课标附录中样例的分析和研究，有助于教师理解新课标理念，理解教材编写意图，进一步提高教学质量。

图4是笔者设计的“线段的垂直平分线”尺规作图的学习路径，仅供参考。

（二）增强推理能力，感悟数学表达，形成理性精神

在义务教育阶段，推理能力有助于逐步养成重理论、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神。新课标强调要通过实例感悟推理过程的逻辑性，包括通过归纳推理得到结论的过程，也包括通过演绎推理验证结论的过程。教学中，可参考新课标样例，由此可知无论是代数问题，还是几何问题，论证的路径大体是一致的，都是基于特殊情况成立的结论，通过归纳（更多用于代数问题）或类比（更多用于几何问题）推断一般情况下类似结论成立。对于推断得到的结论，还需要经过数学证明（包括数学计算）的验证。这个过程就是能够探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律，经历数学“再发现”的过程，能够发展学生质疑问难的批判性思维，帮助学生形成实事求是的科学态度。下面具体看一下新课标中给出的样例。

【样例78-推理过程的逻辑】

如图5，有一个长方形，想象让这个长方形分别以长边和短边所在直线为轴旋转得到两个圆柱，猜想哪个圆柱的体积更大。

在本例中可以用两类非常极端的情况启发学生思考，一类是长边与短边相差不多，另一类是长边与短边相差很大，然后通过计算证明自己的猜想。教学中此例还可以延伸到三角形，可引导学生思考类似的问题，猜想一般多边形的规律，然后想办法证明自己的猜想。学习中努力让学生感悟上述论证的路径是获得数学结论的基本过程。验证的过程是从特殊到一般，是归纳推理；推断的过程是从一般到特殊，是演绎推理。

（三）体会变与不变，感受数学之美，重视本质理解

图形的变化主题中的平移、旋转、轴对称是现实生活中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简洁形式之一。它们不仅是探索图形的一种性质的必要手段，而且也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具。因此它们基本性质的学习，新课标中强调要通过“探索”得到，即通过图形的运动变化去发现这些性质，而不是单纯地把这些性质作为现成的结论呈现给学生。进行这样的探索活动，有助于学生感受图形运动变化过程中的不变量和不变关系，从而为运用图形运动的方法研究图形性质奠定基础，初步建立几何直观。下面通过新课标中给出的样例进一步阐述。

【样例80-图形中心旋转的变与不变】

如图6（a），在平面上，确定旋转中心O和旋转角θ，点P与中心O连接得到线段OP，让线段OP绕点O逆时针旋转θ角，得到线段OP′。这样，称点P′为点P通过中心旋转得到的点。可以看到，旋转前后线段的长度没有发生变化，即OP=OP′。因此，通过中心旋转，虽然点P的位置发生了变化，但旋转前后的点到旋转中心的距离没有发生变化。接下来，考虑一个多边形的旋转。如图6（b），四边形ABCD绕点O顺时针旋转α角，得到四边形A′B′C′D′，因为图形上的每个点都绕点O顺时针旋转了同一个角度α，到点O的距离都保持不变，从而△AOB与△A′OB′，所以AB=A′B′。因此，可以得到结论，在旋转过程中，图形上任意两点间的距离保持不变。

这个样例是在一个平面上，确定旋转中心和旋转角，通过多边形的中心旋转的前后变化，分析运动过程中的变与不变。样例给出的方法是，研究图形旋转的问题，应先考虑点的变化，再考虑多边形的变化，进而形成研究这类问题的一般方法。

（四）利用信息技术，感悟图形运动，培养空间观念

新課标中倡导，图形的变化的教学中，教师应当通过信息技术的演示或者实物的操作，让学生感悟图形轴对称、旋转、平移变化的基本特征，知道变化的感知是需要参照物的，可以借助参照物述说变化的基本特征。这样的教学活动不仅有助于学生理解几何学的本质，还能引导学生发现自然界中的对称之美，感悟图形有规律变化产生的美，会用几何知识表达物体简单的运动规律，增强对数学学习的兴趣。下面通过新课标中给出的样例进一步阐述。

【样例82-勾股定理的直观证明】

如图7（a），先呈现由四个相同的直角三角形（直角边分别记为a和b）拼出的边长为（a+b）的正方形；然后，如图7（b），动态调整直角三角形的边长（拖动点Q，a和b可以取任意长度）；最后，左、右拖动滑块平移和旋转直角三角形，改变它们的位置，两两拼合直角三角形，在大正方形中拼出两个形状相同的矩形。教师让学生从直观上体会到图7（b）中边长为c的白色正方形面积与图7（c）中边长分别为a和b的两个白色正方形面积之和相等，从而感受a2+b2=c2。

本样例是使用动态几何软件设计教学活动，利用面积的不变性帮助学生体会勾股定理的直观证明。样例指出，恰当的使用动态几何软件设计教学活动，可以让学生更加直观地感悟图形运动，增强空间观念。

（五）避免机械套用，挖掘知识本源，形成化归意识

笔者以平行线的性质和判定为例，简单谈一谈化归意识的渗透和培养。

如图8，AB[?]CD，点P是平面内一点，连接AP，CP，判断∠PAB，∠PCD和∠APC之间的数量关系，并说明理由。（部分教师将此类问题称为“拐角问题”）

若提问学生如何解答，相信会有一部分学生能快速地回答“过拐点做平行线，用‘三线八角解答”。从问题解决的表象上看，显然没有问题，但从深层分析上看，学生只是记住了教师教的方法，“知其然”但不“知其所以然”，更谈不上“何由以知其所以然”。这种模仿套用，会带来学生思维的惰性，只是机械地执行命令，熟练地应用程序，久而久之，会失去独立思考和创新创造能力。究其本源，是学生没有完全理解“三线八角”的内涵与外延。掌握基本模型，缺什么补什么，将未知问题转化为已知问题，这是我们处理几何图形问题的基本套路。因此，本题的突破路径有两种：一是搭截线，二是构平行线。因为“搭”与“构”的方法不同，致使辅助线的不同做法有很多种。以图9的第一幅图为例，分别给出“搭截线”和“构平行线”的几种常见解法（“搭截线”如图10，“构平行线” 如图11）。

在课堂教学中，若能类似地引导学生观察—分析—转化—验证—反思，相信我们培养的学生在面对新问题时，就不是简单的模仿套用，而是勇于探索发现、善于转化化归、乐于创新创造。

教育部中考命题改革专家组副组长张卓玉认为，新课标理念下，教学将以核心素养为指向，依据新的教学结构重组各种教学要素。以问题解决为出发点的教学，以“做中学”“用中学”为导向的能力培养模式，应用驱动、且做且学的整体性学习等将是我们不断探索的问题。

（责任编辑：杨强）